Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 72
Текст из файла (страница 72)
кости приводит к значительному увеличению коэффициента затухания волн, ГЛАВА Ч111 ЗВУК й 64. Звуковые волны Переходя к изучению движения сжимаемой жидкости (или газа), мы начнем с исследования малых колебаний в ней; колебательное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидкости называют звуковыми волнами. В каждом месте жидкости в звуковой волне происходят попеременные сжатия и разрежения. В силу малости колебаний в звуковой волне скорость ч в ней мала, так что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (чЧ)ч. По этой же причине относительные изменения плотности и давления в жидкости тоже малы. Мы будем писать переменные р и р в виде Р=Ро+Р Р=ро+Р (64 1) где ро, ро — постоянные равновесные плотность и давление жидкости, а р', Р' — их изменения в звуковой волне (р' <( ро,р' (( ро).. Уравнение непрерывности —, + 61чрч= О др д1 при подстановке в него (64,1) и пренебрежении малыми величинами второго порядка (р', Р', ч надо при этом считать малыми величинами первого порядка) принимает вид — + ро б (ч ч = О.
др' д1 (64,2) Уравнение Эйлера — + (ч7) ч = —— дч чр д1 Р в том же приближении сводится к уравнению — + — =О. дч Чр' д1 ро (64,3) Условие применимости линеаризованных уравнений движения (64,2) и (64,3) для распространения звуковых волн заключается в малости скорости движения частиц жидкости в волне по сравнению со скоростью звука: в « с.
Это условие можно получить„например, из требования р' « ро (см. киже формулу (64,!2) ). 36! ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ ;$ оо! Уравнения (64,2) н (64,3) содержат неизвестные функции ч, р', р'. Для исключения одной из ннх замечаем, что звуковая волна в идеальной жидкости является, как и всякое другое движение в такой жидкости, адиабатическим. Поэтому малое изменение р' давления связано с малым изменением р' плотности уравнением (дуо Го (64,4) Заменив с его помощью р' на р' в уравнении (64,2), получим: — +Ро(д ) п(ч У=О. (64,5) Два уравнения (64,3) и (64,5) с неизвестными ч и р' полностью описывают звуковую волну. Для того чтобы выразить все неизвестные величины через одну нз них, удобно ввести потенциал скорости согласно ч = = вагаб ф.
Из уравнения (64,3) получим равенство Р= Рдг (64,6) связывающее р' с ф (индекс у ро и ро здесь и ниже мы будем для краткости опускать). После этого найдем из (64,5) уравнение д2 — ~ — с счф= О. (64,7) которому должен удовлетворять потенциал ф; здесь введено обо- значение (64,8) Для решения этого уравнения вводим вместо х, г новые переменные $ = х — сг, т! = х + с(. Уравнение вида (64,7) называется волновым.
Применив к (64,7)' операцию йтаб, найдем, что такому же уравнению удовлетворяет каждая из трех компонент скорости ч, а взяв производную по времени от (64,7), найдем, что волновому уравнению удовлетворяет и давление р' (а потому и р'). Рассмотрим звуковую волну, в которой все величины зависят только от одной из координат, скажем, от х. Другими словами, все движение однородно в плоскости у, г; такая волна называется плоской.
Волновое уравнение (64,7) принимает вид д'ф ! доф (64,9) дхо с' [гл. чш звук Легко убедиться в том, что в этих переменных уравнение (64,9) принимает вид д'<р — = О. дч д5 Интегрируя это уравнение по $, находим: ач ~ (ч)' где Р(я) — произвольная функция. Интегрируя еще раз, получим ф| =)~($)+~э(Ч) где ~1 и 1а — произвольные функции. Таким образом, ф = ~1(х — с1)+ 12(х + сг). (б4,10) Функциями такого же вида описывается распределение также и остальных величин (р', р', ч) в плоской волне. Будем говорить для определенности о плотности. Пусть, например, 1з — — О, так что р' = )1 (х — с~).
Выясним наглядный смысл этого решения, В каждой плоскости х=сопз1 плотность меняется со временем; в каждый данный момент плотность различна для разных х. Очевидно, что плотность одинакова для координат х и моментов времени 1, удовлетворяющих соотношениям х — сг = сопз1, нли х = сопз( + с(. Это значит, что если в некоторый момент ~ =О в некоторой точке жидкости ее плотность имеет определенное значение, то через промежуток времени 1 то же самое значение плотность имеет на расстоянии с( вдоль оси х от первоначального места (и то же самое относится ко всем остальным величинам в волне). Мы можем сказать, что картина движения распространяется в среде вдоль оси х со скоростью с, называемой скоростью звука. Таким образом, )~(х — сг) представляет собой, как говорят„ бегущую плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. Очевидно, что 1з(х+ с1) представляет собой волну, распространяющуюся в противоположном, отрицательном, направлении осн х.
Из трех компонент скорости ч = вагаб ф в плоской волне отлична от нуля только компонента и„ = дф/дх. Таким образом, скорость жидкости в звуковой волне направлена вдоль распространения волны. В связи с этим говорят, что звуковые волны в жидкости являются продольными. В бегущей плоской волне скорость и„ = и связана с давлением р' и плотностью р' простыми соотношениями. Написав ф=((х — с1), имеем и = — = ~'(х — сг), Р = — Р дг =ус~ (х с() ЗВУКОВЫВ ВОЛНЫ 363 Сравнив этн выражения, находим: 0=— Р' рс ' Подставляя сюда согласно (64,4) р'=сзр', находим связь между скоростью н изменением плотности: ср' и=— р (64, 11) (64,12) Укажем также связь между скоростью н колебаниями температуры в звуковой волне.
Имеем Т' = (дТ/др),р' н, воспользовавшнсь известной термодннамнческой формулой н формулой (64,11), получим: Т вЂ” о, срт ся (64,13) 1 г' д*г' т где 6 = — ( — ) — температурный коэффициент расширения. и (,дт /с Формула (64,8) определяет скорость звука по аднабатнческой сжнмаемостн вещества. Последняя связана с нзотермнческой сжнмаемостью известной термодннамнческой формулой (64,!4) Вычислим скорость звука в идеальном (в термодннамнческом смысле слова) газе.
Уравнение состояния идеального газа гласит р)г = — = —, Р Лт р р где )с — газовая постоянная, а )г — молекулярный вес. Для скорости звука получим выражение с= ~/у —, (64, 15) ') Полезна обратить внимание на то, что скорость звука в газе порядка величины средней тепловой скорости молекул. ') Выражение для скорости звука в газе в виде с' Ргр было впервые получено Ньютоном (1637).
Необходимость введения в ато выражение множителя у была показана сталласол. где посредством т обозначено отношение т = сс/с„. Поскольку т обычно слабо зависит от температуры, то скорость звука в газе можно считать пропорциональной квадратному корню нз температуры'). Прн заданной температуре она не зависит от давлення газа '). 1гл. юп звтк Весьма важным случаем волн являются монохроматичесхие волны, в которых все величины являются простыми периодическими (гармоническими) функциями времени. Такие функции обычно бывает удобным писать в виде вещественной части комплексного выражения (см, начало 5 24).
Так, для потенциала скорости напишем Ф = Ке (<ра (х, у, г) е-' '), (64,16) где ы — частота волны, Функция Фч удовлетворяет уравнению е2 ЛВ+ —,~ го=6 (64, 17) получающемуся при подстановке (64,16) в (64,7). Рассмотрим бегущую плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. В такой волке все величины являются функциями только от х — с1, и потому, скажем, потенциал имеет вид (64, 18) где А — постоянная, называемая комплексной амплитудой. Напи- сав ее в виде А = аен' с вещественными постоянными а и а, бу- дем иметь: ~р = а соз ( — х — а1 + а) .
~с (64,19) Постоянную а называют амплитудой, а аргумент под знаком соз — фазой волны. Обозначим посредством и единичный вектор в направлении распространения волны. Вектор в 2п к= — и= — п Х называют волновым вектором (а его абсолютную величину часто называют волновым числом).
С этим обозначением выражение (64,18) записывается в виде ~р= Ке(Ае'<"т- и). (64,21) Монохроматические волны играют весьма существенную роль в связи с тем, что всякую вообще волну можно представить в виде совокупности ялоскнх монохроматических волн с различными волновыми векторами и частотами. Такое разложение волны на монохроматические волны является ие чем иным, как разложением в ряд или интеграл Фурье (о нем говорят также как о спектральном разложении). Об отдельных компонентах этого разложения говорят как о моиохроматических компонентах волны или как о ее компонентах Фурье. ЗВУКОВЫВ ВОЛНЫ 353 Задачи 1. Определить скорость звука в мелкодисперсной двухфазной системе: пар с взвешенными в нем мелкими капельками жидкости («влажный пар») или жидкость с распределенными в ней мелкими пузырькамн пара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
