Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 75
Текст из файла (страница 75)
коэффициент отражения обращается в нуль, т. е. звуковая вол- на целиком преломляется, не отражаясь вовсе; такой случай. возможен, если с, ) сш но ртсз) р~с~ (или наоборот). ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА й 87. Геометрическая акустика Плоская волна отличается тем свойством, что направление ее распространения и ее амплитуда одинаковы во всем пространстве. Произвольные звуковые волны этим свойством, конечно, не обладают. Однако возможны случаи, когда звуковую волну, не являющуюся плоской, в каждом небольшом участке пространства можно рассматривать как плоскую.
Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление волны почти не менялись на протяжении расстояний порядка длины волны. Если выполнено это условие, то можно ввести понятие о лучах как о линиях, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением распространения волны, и можно говорить о распространении звука вдоль лучей, отвлекаясь при этом от его волновой природы, Изучение законов распространения звука в таких случаях составляет предмет геометрической акустики. Можно сказать, что геометрическая акустика соответствует предельному случаю малых длин волн, Х- О. Выведем основное уравнение геометрической акустики— уравнение, определяющее направление лучей. Напишем потенциал скорости волны в виде ф = паж. (67,1) В случае, когда волна не плоская, но геометрическая акустика применима, амплитуда а является медленно меняющейся функцией координат и времени, а фаза волны ф есть «почти линейная» функция (напомним, что в плоской волне ф ='кг — вт+а с постоянными й и гв).
В малых участках пространства и малых интервалах времени фазу ф можно разложить в ряд; с точностью до членов первого порядка имеем: ф=фо+ гайгай ф+ — т. дф Соответственно тому, что в каждом небольшом участке пространства (и в небольших интервалах времени) волну можно рассматривать как плоскую, определяем волновой вектор и частоту волны в каждой точке как к — =— цгад ф в дч дф дг д1 ' (67,2) Величина ф называется эйконалом.
В звуковой волне имеем ы /с = я~= й, + й„+ й,. Подставляя сюда (67,2), получим следующее основное уравнение геометрической акустики: Я) + ('у ) + Я) ~~- Я) =О. (67,3) англ, чпг звэк Если жидкость неоднородна, то ноэффициент сг является функцией координат. Как известно нз механики, движение материальных частиц может быть определено с помощью уравнения Гамильтона-Яноби, являющегося, кан н уравнение (67,3), уравнением в частных производных первого порядка. Аналогичной ф величиной является прн этом действие а частицы, а производные от действия определяют импульс р и функцию Гамильтона Н (энергню)' частицы согласно формулам р = до/дг, Н = — ао/дг, аналогично формулам (67,2).
Известна, далее, чта уравнение Гамильтона-Якоби энвнвалентно уравнениям Гамильтона, имеющим внд р= — дН/дг, т— = г=дН/др. Вследствие указанной аналогии между механикой материальной частицы н геометрической акустикой мы можем непосредственно написать аналогичные уравнения для лучей: дв дв к= — —, г= —. дг' д1г' (67,4) дв дв дв да — = — + — г+ — к. дГ дГ дг дв При подстановке (67,4) два последних члена взаимно сокращаются; в стационарном же случае дв/дг = О, а потому н г(в/г(( = О. При стационарном распространении звука в неподвижной неоднородной среде в = сй, где с есть заданная функция координат.
Уравнения (67,4) дают г=сп, К= — йЧс. (67,5) Абсолютная величина вентора й меняется вдоль луча просто по закону й = в/с (с в = сапа(). Для определения же изменения направления п полагаем во втором нз уравнений (67,5) й = — и и пишем: й — —, п (рсг) = — й рс, в ' в с с' В однородной изотропной среде в = сй с постоянным с, так что К =О, г =сп (п — единичный вектор в направлении к), т. е. как и должно было быть, лучи распространяются по прямым линиям, сохраняя при этом постоянную частоту в.
Частота остается, разумеется, постоянной вдоль лучей вообще всегда, ногда распространение звука происходит в стационарных условиях, т. е, свойства среды в каждой точке пространства не меня1атся со временем. Действительно, полная производная ат частоты по времени, определяющая ее изменение вдоль распространяющегося луча, равна ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АКУСТИКА зат откуда — = — Чс+ п(пЧс). ип Л/ Вводя элемент проходимой лучом длины с/! СЖ, перепишем это уравнение в виде — = — — + — (пЧС).
с/п Чс п и'1 с с (67,6) Йч (сŠ— «) = О, )рф ) (67,7) которое и определяет распределение Е в пространстве. Вторая из формул (67,4) определяет скорость распространения волн по известной зависимости частоты от компонент волнового вектора. Это — важная формула, относящаяся не только к звуковым, но и ко всяким волнам вообще (мы уже пользовались, например, этой формулой в $12 в применении к гравитационным волнам). Приведем здесь еще один вывод этой формулы, полезный для уяснения смысла определяемой ею скорости.
Рассмотрим волну (или, как говорят, волновой пакет), занимающую некоторую конечную область пространства. Предположим, что волна такова, что в ее спектральное разложение входят монохроматические компоненты с частотами, лежащими в некотором малом интервале; то же самое относится и к компонентам их волновых векторов. Пусть ш есть некоторая средняя частота волны н й — средний волновой вектор.
Тогда ') Как известно из дифференциальной геометрии, производная оп/о/ вдоль луча равна Гч/й, где «/ — едннппный вектор главной нормали, а /т— радиус кривизны луча. Выражение же в правой стороне уравнения (67.6] есть, с точностью до множителя !/с, производная от скорости звука по направлению главной нормали; позтому можно написать зто уравнение в виде ! 1. — — — («1 Рс). с Луч изгибается в сторону уменьшения скорости звука. Этим уравнением определяется форма лучей; п есть единичный вектор касательной к лучу').
Если уравнение (67,3) решено и эйконал ф как функция координат н времени известен, то можно найти также и распределение интенсивности звука в пространстве. В стационарныч условиях оно определяется уравнением с))чп =О (т) — плотность потока звуковой энергии), которое должно выполняться во всем пространстве вне источников звука. Написав з) =сЕп, где Е— плотность звуковой энергии (см. (65,6)), и имея в виду, что п есть единичный вектор в направлении й =Чз«, получим следующее уравнение: сгл, счи зев в некоторый начальный момент времени волна описывается функцией вида емгг (г) (67,8) Функция )'(г) заметно отлична от нуля только в некоторой малой (но большой по сравнению с длиной волны 1/й) области пространства.
Ее разложение в интеграл Фурье содержит согласно сделанным предположениям компоненты вида е" л", где ЛК вЂ” малые величины. Таким образом, каждая из монохроматических компонент волны пропорциональна в начальный момент времени множителю вида ф„сапа! е' '"+ а" с ". (67,9) Соответствующая ей частота есть са(й+М) (напоминаем, что частота является функцией волнового вектора). Поэтому в момент времени 1 та же компонента будет иметь вид фа = сапа! ехр(с ((с+ ЛФс) г — сса((с+ 1й)с).
Воспользовавшись малостью а(с, напишем: м (1с+ /й) сз(!с) + -~- ~й. Тогда фь принимает вид фь — — сапа! еы""-"и ехР !с гМс (г — — сЯ. (67,10) да Если теперь произвести обратное суммирование всех моно- хроматических компонент волны со всеми имеющимися в ней Лк, то, как видно из сравнения (67,9) и (67,10), мы получим: ф=есс"'- '>1(г — — с), да (67,1!) где !' — та же функция, что и в (67,8). Сравнение с (67,8) показывает, что за время 1 вся картина распределения амплитуды дм в волне передвинулась в пространстве на расстояние — с (эксдь паненциальный множитель перед ! в (67,1!) влияет только на фазу волны).
Следовательно, скорость ее равна дм дСс ' (67,12) Эта формула и определяет скорость распространения волны с произвольной зависимостью са от к. В случае а = сй с постоянным с ана приводит, конечно, к обычному результату (/ = =-м/тс = с, В общем же случае произвольной зависимости м((с) скорость распространения волны является функцией ее частоты Ф ав) пасппостпднаиип звука в движтшаися спада зев и ее направление может не совпадать с направлением волнового вектора. Скорость (6?„12) называют также групповой скоростью волны, а отношение ю/А — фазовой скоростью. Подчеркнем, однако, что фазовая скорость не соответствует реальному физическому распространению чего бы то нн было. По поводу изложенного вывода отметим, что выражаемое формулой (6?,!1) передвижение волнового пакета без изменения его формы является приближенным и связана с предполаженной малостью интервала ЛЕ. Вообще же говоря, при зависящей от ю скорости У волновой пакет по мере своего распространения «размазывается» — занимаемая им в пространстве область расширяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
