Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е определяющую распределение скоростей и давления в жидкости в произвольный момент времени по их распределению в начальный момент Предварительно получим некоторые вспомогательные формулы. Пусть будут <р(х,у, з, () н ~Р(х,у,г,1) — два каких-либо решения волнового уравнения, обращающиеся на бесконечности в нуль. Рассмотрим интеграл взятый по всему пространству, н вычислим его производную ио времени. Помня, что р н ф удовлетворяют уравнениям Ь~р — с-'ф = О, Лф — с-'ф = О, овщвв вешании волнового тгхвнения имеем: а =1(фф — фф) а = сл 10р ДФ вЂ” ф Дф) Л' = '1 61у(ФЧ вЂ” Юр)а .
Последний интеграл может быть преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и потому обращается в нуль. Таким образом, мы приходим к результату, что Н/с(1= 0, т. е. 1 есть не зависящая от времени постоянная; 1 = ~ (рф — фф) с(К = сопз(, Рассмотрим„далее, частное решение волнового уравнения: В(г с Оо О) (7, 2,2) где г — расстояние от некоторой заданной точки 0 пространства, 1с †некотор определенный момент времени, а 6 обозначает 6-функцию.
Вычислим интеграл от ф по пространству. Имеем. ~ ф дУ = ~ 4пфгз с(г = 4п ~ гб (г — с (го — 1)1 бг. Аргумент у 6-функции обращается в нуль при г = с(1с — 1) (предполагается, что 1, ) 1). Поэтому в силу свойств 6-функции имеем: ~ фбу=4пс(1с — (). (72,3) Дифференцируя это равенство по 1, получаем: ф и'К = — 4пс, (72„4) Подставим теперь в интеграл (72,1) в качестве ф функцию (72,2), а под ф будем понимать искомое общее решение волнового уравнения. Согласно (72,1) 1 есть величина постоянная; на этом основании напишем выражения для 1 в моменты времени 1= О и ( = 1с и приравняем их друг другу. При 1= 1, обе функции ф и ф отличны от нуля только при г=О. Поэтому прн интегрировании можно положить г в д и ф равным нулю (т.
е. взять значения в точке О) и вынести «р и ф из-под знака интеграла: (х, у, х — координаты точки О). Согласно (72,3) и (72,4) второй член здесь обращается при 1= 1с в нуль, а первый дает 1 = — 4псф(х, у, я, 1с). 1гл, чш 386 звук Вычислим теперь 1 при 1 = О, Написав ф = — = — — и обо- 81 дга значая посредством фа значение функции у при 1=0, имеем: (ЧЧ 81 + Фоф) ~~ 81 ~ Фоф~» ~~ ~ Фаф~ Элемент объема пишем в виде г('г" = г'Игс(о, где с(а — элемент телесного угла, и в силу свойств б-функции получаем~ 1 Ччф ~ с(У = !~гр Ь (г — с10) г(г с(о = с10 Р~фо 1 до н аналогично для интеграла от фаф.
Таким образом, ! — (с14 ~ ~ра~, ~(о) с!4~ ~ра~ с(о. Наконец, приравнивая оба выражения для ! и опуская индекс нуль у 14, получаем окончательно: Ф(» У А 1)= 4, ~81 (1~ Фо~, „~(о) +1$ Фо~,„с(о~. (725) Эта формула Пуассона определяет распределение потенциала в пространстве в любой момент времени, если задано распределение потенциала и его производной по времени (что эквивалентно заданию распределения скорости и давления) в некоторый начальный момент времени. Мы видим, что значение потенциала в момент времени 1 определяется значениями ф и ф, ко-.
торые они имели в момент времени 1=0 на поверхности сферы с радиусом г = с1 и центром в точке О. Предположим, что в начальный момент времени ~р и фа были отличны от нуля только Рнс. 44 в некоторой конечной области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью С (рис. 44). Рассмотрим значения, которые будет принимать ~р в последующие моменты в некоторой точке О. Эти значения определяются значениями ~рм фа на расстоянии г с1 от точки О, Но сферы радиусов с1 проходят через область внутри поверхности только при с(/с(1(О/с, где с( н 0 — наименьшее и наибольшее расстояния от точки О до поверхности С.
В другие моменты времени подынтегральные выражения в (72,5) обратятся в нуль. Таким образом, движение в точке О начнется в момент 1=й/с н закончится в момент 1= О/с. Распространяющаяся из области С волна имеет два фронта: передний и задний. Движение в жидкости начинается, когда к данной ее точке подходит поверхность переднего фронта, на заднем же фронте колебавшиеся ранее точки приходят в состояние покоя. 387 БОКОВАЯ ВОЛНА Задача Вывести формулу, определяюшую потенциал по начальным условиям для волны, зависящей только от двух координат: х и у. Решение.
Элемент поверхности сферы радиуса г = сг можно, с одной стороны, написать в виде д1 = сзс»с(о, где ссо — элемент телесного угла. С другой стороны, проекция д1 на плоскость ху равна Их с(у = с(1 сс где р есть расстояние от центра шара до точки х, у. Сравнив оба выражения, можно написать ссх ссу с(о = сг )/(сс)г — р» Обозначая координаты точки наблюдения посредством х, у, а координаты переменной точки в области интегрнрования посредством $, Ч, мы можем. следовательно, в рассматриваемом случае заменить до в общей формуле (72,5) иа о'и с(ч гс ч1сэсэ — (х — $) э — (у — ч) удвоив при этом получаюшееся выражение, поскольку дх Иу представляетсобой проекцию двух элементов поверхности сферы, иаходяшихси по разные стороны от плоскости х, у. Таким образом, окончательно получаем: Вэ $, Ч)двдЧ + ч (х, у, х, С) =— 2лс дг + 1 ((' фз(а Ч)дадЧ 2лс ),) Ч/сэгз — (х — й)э — (у — т))з где интегрирование производится по поверхности круга с центром в точке О И радиусом г = сг.
Если в начальный момент фэ, фю отличны от нуля только в конечной области С плоскости х, у (точиее — в некоторой цилиндрической области пространства с образуюшсс»си, параллельными осн х), то колебания в точке О (рис. 44) аачвутся в момент времени С = с((с, где И вЂ” ближайшее расстояние от О до этой области. Но в дальнейшем круги радиуса сг ) И с центром в точке О всегда будут заключать в себе часть или всю площадь области С, и ф будет стремспься к нулю только асимптотически. Таким образом, в отличие от «трехмерных» волн рассмотренные здесь двухмерные волны имеют передний, ио не имесог заднего фронта (ср. $71). 5 73. Боковая волна Отражение сферической волны от границы раздела между двумя средами представляет особый интерес ввиду того, что оно может сопровождаться своеобразным явлением возникновения боковойс волньс.
Пусть () (рис. 45) — источник сферической звуковой волны, находящийся (в первой среде) на расстоянии 1 от плоской неограниченной поверхности раздела между двумя средами 1 и 2. Расстояние 1 произвольно и отнюдь не должно быть 'большим [гл. юп Збб звнк по сравнению с длиной волны Е. Плотности двух сред и скорости звука в них пусть будут рь рн и сь сь Предположим сначала, что с, ) сн.
Тогда на больших (по сравнению с Х) расстояниях от источника движение в первой среде будет представлять собой совокупность двух расходящихся волн. Одна из них есть сферическая волна, непосредственно испускаемая источником (прямая волна); ее потенциал <р~~' = —, (7ЗЛ) где г — расстояние от источника, а амплитуду мы условно полагаем равной единице; множители е — ' ' во всех выражениях мы будем в этом параграфе для краткости опускать. Вторая же — отраженная— волна имеет волновые поверхности, представляющие собой сферы с центром в точке жлна Прннемлейнея нелла Рис. 45 Рис. 4б (зеркальиое отображение источника Я в плоскости раздела); это есть геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же промежуток времени доходят лучи, одновременно вышедшие из точки Я и отразившиеся по законам геометрической акустики от поверхности раздела (на рис.
46 луч сеАР с углами падения и отражения 0). Лмплитуда отраженной волны убывает обратно пропорционально расстоянию г' от точки Я' (послсднюю называют иногда мнимым источником), но зависит, кроме того, и ог угла 0 — так, как если бы каждый луч отражался с коэффициентом, соответствующим отражению плоской волны с данным углом падения й.
Другими словами, на больших расстояниях от- бОКОВАЯ ВОЛНА $73! раженная волна описывается формулой с ' с,рэсо»я — р, ус',— с,»!и В Иг' ./»» ° 2 'р (г 3,2) /» г.э г ь суисс» В+р, Ч/с, — с, с!б О (ср. формулу (66,4) для коэффициента отражения плоской волны). Эта формула, справедливость которой (для больших г') сама по себе естественна, может быть строго выведена указанным ниже способом.
Более интересен случай, когда с! < св Здесь наряду с обычной отраженной волной (73,2) в первой среде появляется еще бдна волна, основные свойства которой можно усмотреть уже из следующих простых соображений. Обычный отраженный луч С/АР (рис. 46) удовлетворяет принципу Ферма в том смысле, что это есть путь наиболее быстрого пробега из точки (/ в Р из всех путей, лежащих целиком в среде 1 и испытывающих однократное отражение. Но принципу Ферма удовлетворяет (при с~ сэ) и другой путь: луч падает на границу под углом полного внутреннего отражения Ос(ейпйс —— = с,/с«), затем распространяется по среде 2 вдоль границы раздела и, наконец, снова переходит в среду 1 под углом Ос ЯВСР на рис.
46); очевидно, что должно быть О ) Ос. Легко видеть, что такой путь тоже обладает экстремальным свойством: время пробега по нему меньше, чем по любому другому пути из Я в Р, частично проходящему во второй среде. Геометрическое место точек Р, до которых в один и тот же момент времени доходят лучи, одновременно вышедшие из Я вдоль пути !;!В и затем перешедшие снова в среду 1 в различных точках С, есть, очевидно, коническая поверхность, образующие которой перпендикулярны к прямым, проведенным из «мнимого источника» Я' под углом Ос. Таким образом, если с, ( с,, то наряду с обычной отраженч пой волной со сферическим фронтом в первой среде будет распространяться еще одна волна с коническим фронтом, простирающимся от плоскости раздела (на котором ои смыкается с фронтом преломленной волны во второй среде) до касания фронта сферической отраженной волны (последнее происходит по линии пересечения с конусом, с углом раствора Оо и осью вдоль линии Щ', см, рис, 45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
