Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Это — эффект второго порядка, поскольку ц есть величина вто,рого порядка. Наконец, рассмотрим звуковое поле в области простран-ства, неограниченной по своей длине и ограниченной по поперечному сечению (волновой цуг конечной апертуры); вычислим среднее значение переменной части давления р' в нем. В первом звгк (гл. юа приближении, соответствующем обычным линейным уравнениям движения, р' является периодической знакопеременной функцией и среднее значение р' обращается в нуль. Этот результат, однако, может не иметь места, если обратиться к более высоким приближениям.
Если ограничиться величинами второго порядка малости, то оказывается возможным выразить р' через величины, вычисляемые с помощью линейных уравнений звука, так что не приходится прибегать к непосредственному решению нелинейных уравнений движения, получающихся при учете величин высших порядков. Характерным свойством рассматриваемого звукового поля является то, что разности значений потенциала скорости гр в различных его точках остаются конечными при неограниченном увеличении расстояния между ними (и то же самое относится.
к разности значений <р в заданной точке пространства в различные моменты времени). Действительно, это изменение даетсах интегралом <р — ~р, = ~ чг сй, 1 который может быть взят по любому пути между точкамн 1 и 2; указанное свойство потенциала становится очевидным, если заметить, что в данном случае можно выбрать путь, проходящий вдоль длины цуга вне его'). Имея в виду это свойство, будем исходить нз уравнении Бернулли оз дЧ в+ — + — = сопзй 2 дг Усредним это равенство по времени.
Среднее значение производной дгр/дг' обращается в нульз). Написав также гн = сне+ в' и включив постоянную гис в сопи(, находим ы'+ пз/2 = сопи(. Поскольку сопИ одинакова во всем пространстве, а вие волновоггг цуга вдали от него ги' и и обращаются в нуль, то ясно, что эта ') Подобные соображения, по существу, использованы н при выводе (68,8), основанном на утверждении, что ф = О везде вокруг волнового пакета вдали от него. ') По общему определению средних, для среднего значения производной от некоторой функнни )(Г) имееы гп — — 1 — лг - — у (г)2) — ) (- т)2)).
() ( Г лг т .1 нг т — т/я Если функция /(г) остается конечной при всех б то при увеличении интер- вала усреднения Т зта величина стреиитсв к нулю. ЭННРГИЯ И ИМПУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН за! постоянная должна быть нулем, так что — йа го'+ — = О. 2 (65,9) -.Разложим, далее, ва' по степеням и', с точностью до члена вто- йзого порядка имеем: .и поскольку (дго/др), = 1/р, то то ~~,' ~~~ Л ~, жЪ,' .Подставив это в (65,9), получим: рава р' рава сар' а 1 а 2 2Раса 2 2ра (65,10) чем и определяется среднее давление.
Стоящее справа выражение является величиной второго порядка малости и для его вычисления надо пользоваться р' и о, получающимися путем решения линейных уравнений движения. Для средней плотности .имеем 'чдо)а~ 2 чдр~)аР (65,11) Ввиду конечности площади поперечного сечения волнового цуга, ои не может представлять собой строго плоскую волну. Но если линейные размеры сечения достаточно велики по сравнению с длиной волны звука, волновое поле может быть близко к плоскому с высокой точностью. В бегущей плоской волне о = ср'/рв, так что от=сер'/'рз и выражение (65,10) обращается в нуль, т. е. среднее изменение давления является эффектом более высокого порядка, чем второй.
Изменение же плотности '= ~ (Э)." Первый член равен нулю, а во втором вводим единичный вектор п в направлении распространения волны (совпадающем с точ- 0 Отметим, что производная (дар)дра), фактически всегда отрицательна и поэтому в бегущей волне Р' ( Й в нуль не обращается'). В этом же приближении имеем для среднего значения тензора плотности импульса в бегущей пло:ской (в указанном выше смысле) волне: р'+ ри,иа р'+ раоаов. звз звэк ~гл, чгм ностью до знака с направлением ч). Воспользовавшись соотношением (65,2), будем иметь для плотности потопа импульса: йи = Еи!ПФ. (65,12г Если волна распространяется вдоль оси х, то отлична от нуля только компонента П, = Е Таким образом, в рассматриваемом приближении имеется средний поток только х-компоненты импульса, причем он переносится в направлении оси х.
По поводу всего сказанного в последнем абзаце лишний раз подчеркнем, что речь идет о волновом цуге, ограниченном по своему сечению. Для волны, плоеной в строгом смысле этого слова, эти результаты были бы несправедливы (в частности р' могло бы быть отличным от нуля уже в квадратичном приближении — см. задачу 4 в $101). Формально это связано с тем, что для строго плоской волны (которую нельзя обойти «сбоку») несправедливо, вообще говоря, утверждение о конечности потенциала щ во веем пространстве (или в течение всего времени). Физическое различие связано с возможностью (в случае ограниченного по сечению волнового цуга) возникновения поперечного движения, приводящего к выравниванию среднего давления.
$68. Отражение и преломление звуковых воли Когда звуковая волна падает на границу раздела между двумя различными средами, она отражается и преломляется. Движение в первой среде является тогда наложением двух волн (падающей и отраженной), а во второй среде имеется одна (преломленная) волна. Связь между всеми тремя волнами определяется граничными условиями на поверхности раздела.
Рассмотрим отражение и преломление монохроматической продольной волны в случае плосной границы раздела. Плоскость дг выберем в качестве граничной. Легко видеть, что все три волны — падающая, отраженная и преломленная — будут иметь одинаковые частоты а и одинаковые компоненты й„, А, волнового вектора (но не компоненту й» по направлению, перпендикулярному к плоскости раздела). Действительно, в неограниченной однородной среде монохроматическая волна с постоянными й и а является решением уравнений движения. При наличии границы раздела добавляются лишь граничные условия, которые в нашем случае относятся к х=О, т. е.
не зависят нн от времени, ни от координат у и г. Поэтому зависимость решения от 1 и от у, г остается неизменной во всем пространстве и времени, т. е. а, й„, я» остаются теми же, какими онн были в падающей волне. Из этого результата могут быть непосредственно выведены соотношения, определяющие направления распространения от- 3 261 ОТРАжение и НРеломление 3ВукОВых ВОлн звз раженной и преломленной волн. Пусть ху — плоскость падения волны.
Тогда в падающей волне Ос=О; то же самое должно иметь место и для отраженной и преломленной волн. Таким образом, направления распространения падающей, отраженной и преломленной волн лежат в одной плоскости. Пусть 0 — угол между направлением волны и осью х. Тогда из равенства величин Йс — — (а/с)з)п 8 для падающей н отражен,иои волн следует, что О, =0'Р (66,1) "г, е, угол падения 8~ равен углу отражения 9;. Из аналогичного же равенства для падающей и преломленной волн следует соотношение (66,2) 2Ы92 с, а,= А,ехр11а ~ — созО, + — з!ПО, — гЦ, ~с, с~ ~р, = А; ехр ~1а ~ — — соз8, + — зш О, — сц, с с~ 1 с, аз = Асехр22(а ~ —" сов 0, + — з1п О, — (Я.
с ~ С2 с, На поверхности раздела (х=О) должны быть равными давле- ния (р= — рф) и нормальные скорости (е =д~р/дх) в обеих средах; этн условия приводят к равенствам Коэффициент отражения 12 определяется как отношение средних (по времени) плотностей потока энергии в отраженной н падаю- щей волнах. Поскольку плотность потока энергии в плоской волне равна срез, то имеем: с2 Г 2 с,р22, ~ А~ ~ Д=== —. с~рр~ ~ А,) 2 2 Простое вычисление приводит к результату Я= -( р 2а Е, — р, 2я Е, 12 кчттзчб, у ' (66,3) между углом падения 8~ н углом преломления 02 (с~ и с2 — скорости звука в обеих средах).
Для того чтобы получить количественное соотношение между интенсивностями падающей, отраженной и преломленной волн, пишем потенциалы скорости в этих волнах соответственно ввиде 1гл. шп ЗВУК Углы 0~ я 02 связаны друг с другом соотношением (66,2); выразив 02 через Оь можно представить коэффициент отражении в вида г 2 2 рзсз соз О, — р, с~ — сз зш О~ сз з1п 8~ (66,4) Для нормального падения (0~ =О) зта формула дает простгь ( рзс, — р,с, 12 (66,5р, р,сз + р~с~ .Прн угле падения, определяющемся из 22 22 Рзся РЛ 1г г,-- Задача Определить давление, оказываемое звуковой волной на границу раздела..
между двумя жидкостямн. Решение. Сумма полных потоков энергии в отраженной и преломленной волнах должна быть равна падающему потоку энергии. Относя поток внергии к единице площади поверхности раздела, напишем это условие в, виде с~Е1 соя О~ с,Е~ соя 81+ сзЕ2 соя Ол где Ео Е,, Ет — плотности энергии в падающей, отраженной и преломленной волнах. Вводя коэффициент отражения )1 Е,~Еэ имеем отсюда Искомое давление р определяется как х-компонента импульса, теряемого ш единицу времени звуковой волной (отнесенная к единице плошади граиицьз.
раздела). С помощью выражения (66,12) для тензора плотности потока импульса в звуковой волне найдем: 2 ' 2 2 р Е,соз 8, + Е, оз О~ — Е соз Оа Подставляя выражение для Еь вводя Е и используя (66,2), получим: р=Е, з(п О, соя 8, [(1+ Л) с(88, — (1 — Е) с168,). Для нормального падения (8, = О) найдем с помощью (66,6) 22 22 2з Р~с~+ Рзст — 2Р,Рзс~ р 2Е~ (р,с, + р,с,)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
