Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Можно показать, что это размазывание пропорциональна квадрату величины интервала б(с волновых векторов, входящих в разложение волнового пакета. Задача Определить изменение с высотой амплитуды звука, распространяюшегося в поле тяжести в изотермической атмосфере. Р е ш е н н е. Вдоль нзотермической атмосферы (рассматриваемой как идеальный газ) скорость звука постоявна Плотность потока энергии, очевчлно, падает вдоль луча обратно пропорциональчо квадрату расстоиния г от источника: г срое ео —. г' Отсюда следует, что амплитуда колебаний скорости в звуковой волне меняется вдоль луча обратно пропорционально г Ч?р .
При этом плотность р меняется, согласно барометрической формуле, как р с» ехр ( — Илз/)(гг) (е — высота, и — молекулярный вес газа, и — газовая постоянная). $68. Распространение звука в движущейся среде Соотношение ю= ей между частотой и волновым вектором имеет место только для монохроматической звуковой волны, распространяющейся в неподвижной среде, Нетрудно получить аналогичное соотношение для волны, распространяющейся в движущейся среде (и наблюдаемой в неподвижной системе координат) . Рассмотрим однородный поток жидкости со скоростью и. Назовем неподвижную систему координат х, д, т системой К н введем также систему К' координат х', у', г', движущуюся относительно системы К со скоростью и.
В системе К' жидкость неподвижна, и монохроматическая волна в ней имеет обычный вид: р=сопз1е'ок !гл юп заик )задиус-вектор г' в системе К' связан с радиусом-вектором г в системе К равенством г'= г — пб Поэтому в неподвижной системе координат волна имеет внд ф = сопз1е! Ьт- !аз+за)с! Коэффициент при 1 в показателе есть частота со волны. Таким образом, в движущейся среде частота связана с волновым век. тором й соотношением со =ей+ и11. (68,1) Скорость распространения волн равна ды к — =с — + и.
дй (68,2) это есть геометрическая сумма скорости с в направлении (с и скорости и «сноса» звука вместе с движущейся жидкостью. Определим плотность энергии звуковой волны в движущейся среде. Полная мгновенная плотность энергии дается выражением 1 сер' риз р'из Г ро', с'р' — (р+ р') (и + н)з + — = — + — +руп+1 — +р'пи+в 2 2р 2 2 2 2р) (оз — )сп) н = 1!с'р'/р, которое следует из линеаризованного уравнении Эйлера — + (п7) н = — — Чр. дт ! дс р Учитывая также (68,1), найдем окончательно, что плотность звуковой энергии в движущейся среде.
Е=Ез з и — !си где Е,=сзр'/р=р'/рс — плотность энергии в системе отсчета, движущейся вместе со средой '). ') Эта формула наглядно истолковывается с квантовой точки зрении! число звуковых квантов (фононов) й! = Е!йы Е,)З(м — 'кв) ие зависит от выбора системы отсчета. (ср. (65,1); индекс 0 у невозмущеннык значений величин опускаем). Первый член здесь — энергия невозмущенного течении.
Следующие два члена — первого порядка малости, но при усреднении по времени они дадут величины второго порядка, связанные с энергией возбуждаемого волной среднего течения. Все эти члены следует опустить и, таким образом, интересующая нас плотность энергии звуковой волны каь таковой дается заключенными в скобки тремя последними членами. Скорость н изменение давления в плоской волне в движущейся среде связаны соотношением з 683 глспгостглиннин звгкл в движгшанся саван зл С помощью формулы (68,1) можно рассмотреть эффект Доплера, заключающийся в том, что частота звука, воспринимаемого наблюдателем, движущимся относительно источника, не совпадает с частотой колебаний последнего. Пусть звук, испускаемый неподвижным (относительно среды) источником, воспринимается наблюдателем, движущимся сосноростью и.
В покоящейся относительно среды системе К' имеем Ф =ссс/с, где ыс — частота колебаний источника. В системе же К, движущейся вместе с наблюдателем, среда движется со скоростью — и, и частота звука будет согласно (68,1) ы = сй — нн. Вводя угол 8 между направлением скорости и и волнового вектора й и полагая й = ыс/с, найдем, что воспринимаемая движущимся наблюдателем частота звука равна И ы=ыс(1 — — созй). с (68,4) В некотором смысле обратным случаем является распространение в неподвижной среде звуковой волны, испускаемой движущимся источником. Пусть и обозначает теперь скорость дви-' жения источника.
Перейдем от неподвижной системы координат я системе К', движущейся вместе с источником; в системе К' жидкость движется со скоростью — и. В системе К', где источнин покоится, частота излучаемой им звуковой волны должна быть равна частоте ыс колебаний, совершаемых источником. Изменив в (68,1) знак перед и и вводя угол О между направлес пнями и и н, будем иметь: С другой стороны, в исходной неподвижной системе К частота связана с волновым вектором равенством сл = сй.
Таким образом, мы приходим н соотношению мо сз = Р— — о с (68,5) Этой формулой определяется связь между частотой ссс колебаний движущегося источника звука и частотой сс звука, слышимого неподвижным наблюдателем. Если источник удаляется от наблюдателя, то угол 0 между его скоростью и направлением приходящей в точку наблюдения волной заключен в пределах я/2 О ( и, тан что соз 0 О. Из (68,5) следует, таким образом, что если источник движется, удаляясь от наблюдателя, то частота слышимого наблюдателем звука уменьшается (по сравнению с ссс).
Напротив, для приближающегося к наблюдателю источника О ~ 0 (я/2, так что сов О ) О, и частота ы ) сзс растет прн 1гл, юп ЗВУК Зтя увеличении скорости и. При и соз 0 ) с согласно формуле (68,5) Вз делается отрицательной, что соответствует тому, что слышимый наблюдателем звук будет в действительности доходить до него в обратном порядке, т. е.
звук, излучеиный источником в более поздние моменты времени, дойдет до наблюдателя раньше, чем звук, излучеиный в более ранние моменты. Как было указано в начале й 67, приближение геометрической акустики соответствует случаю достаточно малых длин волн, т. е. больших значений волнового вектора. Для этого, вообще говоря, частота звука должна быть достаточно велика. Однако в акустике движущихся сред последнее условие становится не обязательным, если скорость движения среды превосходит скорость звука. Действительно, в этом случае А может быть большим даже при равной нулю частоте: из (68,1) получаем при ы = 0 уравнение с/г = — п(г, (68,6) которое имеет решения, если и ) с. Таким образом, в среде, движущейся со сверхзвуковыми скоростями, могут существовать стационарные малые возмущения, описывающиеся (при достаточно больших й) геометрической акустнкой.
Это значит, что такие возмущения будут располагаться вдоль определенных линий — лучей. Рассмотрим, например, однородный сверхзвуковой поток, движущийся с постоянной скоростью в, направление которой выберем в качестве оси х. Компоненты вектора й, лежащего в плоскости х, у, связаны соотношением (из — с) й,= с й„, получающимся путем возведения в квадрат обеих частей равенства (68,6), Для определения формы лучей воспользуемся уравнениями геометрической акустики (67,4), согласно которым дв . да х —, у д(гх ' дад ' Разделив одно из этих уравнений на другое, получим: ду дкчдзу дх до>/дах Но это отношение есть согласно правилу дифференцирования неявных функций не что иное, как производная — дл„/дйу (взятая при постоянной, в данном случае равной нулю частоте).
Таким образом, уравнение, определяющее форму лучей по заданной зависимости между Й, и й„, гласит: дУ дВУ (68,8) % аз) вяспрострднвннн зинка в двнжтщннся срндп 373 Подставив сюда (бб,у), получим: При постоянном и это уравнение определяет два прямолинейных луча, пересенаюших ось х под углами ~а, где з)па = с/и.
К подробному изучению этих лучей мы возвратимся в газо- динамике, в которой они играют большую роль. Задачи Решение. Подставляя (68,1) в (67,4), получим уравнения распространяющнхсн в стационарно движущейся среде с распределением скоростей н(х, у, г), причем везде и ~ с. Предполагается, что скорость «заметно меняется лишь на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны звуна. Р е ш е н и е. Подставляя (68,! ) в (67,4), получим уравнения распространения лучей в виде й — (йр) п — (и го! и), й г в=с — +н.
й С помощью этих уравнений вычисляем с точностью до членов первого ног! рядка по «производную — (йт); при вычислении используем равенство Н вЂ” мг — + (ту)н (тг7) и гы — (й!7) «. г!п д« с г(1 д( й Получаем; — (йт) — йо (п го! «), с( д! где п — единичный вектор в направлении ч. С другой стороны, И г!п — (йт) = и — (йо) + йо —.
Л гИ Н' Поскольку п и Нп/Ж взаимно перпендикулярны (нз па = 1 следует, что пп = О), то из сравнения обоих выражений находим и = (го!и, п). Вводя элемент проходимой лучом длины г(1 = сЖ, пишем онончательно г(п 1 — — (го1 п, п). оя с (П Этим уравнением определяется форма лучей; п есть единичный вектор касательной н лучу (отнюдь не совпадающий теперь с направлением М1). й. Определить форму звуковых лучей в движущейся среде с распределением скоростей и, и(г), и„= и, = О.
Решение. Раснрыная уравнение (1), находки: Иля лг г(п г(лв — — — — О Ж с г(г ' пт (уравненне длн л, можно не писать, твк как пг = 1). Второе уравнение дает лв =" сопя! ~ лвр. зт4 звук (гл. ьчге В первом же пишем п, = итпй, после чего иптегркрование дает и (а) по око+ —. с Эти формулы решают поставленную задачу. Предположим, что скорость и равна нулю при и = 0 и возрастает пв направлению вверх (г(игг(а ) 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
