Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Если звук распространяется сиротин ветра» (п, ( 0), то его траектория искривляется, загибаясь вверх. Прп распространенни же спо ветру» (п, ) 0) луч искривляется, загибаясь вниз; в этом случае луч, вышедший из точки а = 0 под малым углом наклона к оси к (п„р близко к единице), поднимается лишь на конечную высоту з = з „, которую можно вычислйть следующим образом. На высоте з»„луч горизонталеп, т. е. п, = О. Поэтому имеем адесгс п„+ пя = пао -)- пао+ 2пко е 2 о з так что и (зт»к) а 2п о — .пиь с откуда по заданной функции и(з] и начальному направлению луча по можно определить з ., 3.
Получить выражение принципа Ферма для звуковык лучей в стационарно двяжущейся среде. Решение. Принцип Ферма требует минимальности интеграла ~йий взятого вдоль луча между двумя задаинымн точками, причем и предполагается выраженным как функция от частоты ы н направления луча п (см.
П $53). Эту функцию можно найти, исключая и и й из соотношений ю = ой+ нй и оп = с)г/А+ и. В результате принцип Ферма приобретает вид ) Г г( В неподвижной среде этот интеграл сводитси и обычному ) —. ,) с $ 69. Собственные колебания До снх пор мы рассматривали колебательное движение в неограниченных средах. Мы видели, в частности, что в таких средах могут распространяться волны с произвольными частотами. Положевие существенно меняется для жидкости, находящейся в сосуде конечных размеров. Са мые уравнения движения (волновые уравнения) остаются при этом, конечно, теми же, но к ннм необходимо добавить теперь граничные условия, которые должны выполняться на поверхности твердых стенок (или на свободной поверхности жидкости). Мы будем рассматривать здесь только свободные колебании, происходящие при отсутствии переменных внешних сил (колебания, совершаемые под действием внешних сил, называют вынуждеаными).
Уравнения движения для ограниченной жидкости отнюдь не при всякой частоте имеют решение, удовлетворяющее соответ- соиственНЫЕ КОЛЕБАния ствующим граничным условиям. Такие решения существуют лишь для ряда вполне определенных значений ы. Другими словами, в среде конечного объема могут происходить свободные колебания лишь с вполне определенными частотами. Их называют частотами собственных колебаний, илн собственными частогажи жидкости в данном сосуде. Конкретные значения собственных частот зависят от формы и размеров сосуда.
В каждом данном случае существует бесконечный ряд возрастающих собственных частот. Нахождение нх требует конкретного исследования уравнения движения с соответствующими граничными условиями. Что касается первой, т. е. наименьшей, из собственных частот, то ее порядок величины очевиден непосредственно из соображений размерности.
Единственным, входящим в задачу параметром с размерностью длины являются линейные размеры 1 тела. Ясно поэтому, что соответствующая первой собственной частоте длина волны Л1 должна быть порядка величины !; порядок величины самой частоты ш1 получается делением снорости звука на Ли Таким образом, Л1 1, ау~ с/й (69,! ) Выясним характер движения при собственных колебаниях.
Если искать периодическое по времени решение волнового уравнения, скажем, для потенциала скорости, в виде ф = фо(х,у, г) и-™, то для фе будем иметь уравнение ыт ь~,+ —,, ф,=о. (69,2) ') Это может ие иметь места и случае формы сосуда, обладавшей аыеоиой симметрией, иаиример, а случае шара. В неограннченной среде, когда не надо учитывать никаких граничных условий, это уравнение обладает как вещественнымн, так и комплексными решениями. В частности, оно имеет решение, пропопциональное е'"', приводящее к потенциалу вида ф= СОПБ(Е ~а™~. ТаКОЕ РЕШЕНИЕ ПрЕдСтаВЛяЕт СОбОй ВОЛНУ, раС- пространяющуюся с определенной скоростью, или, как говорят, бегущую волну.
Но для среды конечного объема комплексные решения, вообще говоря, не могут существовать. В этом можно убедиться путем следующего рассуждения. Уравнение, которому удовлетворяет фо, вещественно, и то же самое относится к граничным условиям. Поэтому, если фо(х, у, г) есть решение уравнений движения, то и комплексно сопряженное ф' тоже есть решение. Поскольку, с другой стороны, решение уравнений при заданных граничных условиях, вообще говоря, однозначно ') (с точностью до постоянного множителя), то должно быть ф,'=сопйф, где 376 ~гл шм звкк сопв( — некоторая комплексная постоянная, модуль которой равен единице. Таким образом, фс должно иметь вид фс=/(Х, у, г)Ег ы т. е.
являетси произведением некоторой функции координат на простую периодическую функцию времени. Такое решение имеет характер, совершенно отличный от бегущей волны. В бегущей волне фазы Ь' — Ы+ а колебаний в различных точках пространства в один и тот же момент времени различны, будучи равными только в точках, удаленных друг от друга на расстояние, равное длине волны. В волне же (69,3) в каждый момент времени все точки тела колеблются в одной и той же фазе (вс+а). Ни о каком распространении такой волны, очевидно, нельзя говорить.
Такие волны называют ,стоячиии. Таким образом, собственные колебания представляют собой стоячие волны. Рассмотрим плоскую стоячую звуковую волну, в которой все величины являются функцией только от одной координаты, скажем, х (и от времени). Написав общее решение уравнения д'ф, в' в виде ф, = а сов ( —, х + 6), будем иметь: ф =асов(в7+ а) сов(в х+ 6). Надлежащим выбором начала координат и начала отсчета времени можно обратить а и 6 в нуль, так что будет ф =асов вг соз — х. с (69,4) Для скорости и давления в волне имеем: дф е ОЭ о = — = — а — совв7 вш — х; дк с с р = — р — = рв в1 п в7 сов — х. дф в дГ с В точках х=О, пс/в, 2пс/в, ..., удаленных друг от друга на расстояние пс/в = Х/2, скорость о всегда равна нулю; этн точки называют узлами скорости. Посредине между пима (при х = =пс/2в, Зпс/2в, ...) расположены точки, в которых амплитуда с вещественной функцией 7" и вещественной постоянной а.
Потенциал ф имеет, следовательно, вид (берем вещественную часть от фсе-~ '): ф = ~(х, у, г) сов(вг + а), (69,3) зтт СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ колебаний скорости со временем максимальна; эти точки называют пучносгнми волны. Что же касается давления р'„то для него первые точки являются пучностями, а вторые — узлами. Таким образом, в стоячей плоской звуковой волне пучности давления совпадают с узлами скорости, и обратно. Интересным случаем собственных колебаний являются колебания газа, находящегося в сосуде, в котором имеется маленькое отверстие (такой сосуд называют резонатором). В залзкнутом сосуде наименьшая из собственных частот, как мы знаем,— порядка величины с/(, где ( — линейные размеры сосуда. Прн наличии же маленького отверстия появляется новый внд собственных колебаний со значительно меньшей частотой.
Эти колебания связаны с тем, что если между газом внутри и вне сосуда появляется разность давлений, то эта разность может выравниваться посредством входа и выхода газа нз сосуда наружу. Таким образом, появляются колебания, сопровождающиеся обменом газа между резонатором и внешней средой. Поскольку отверстие мало, то этот обмен происходит медленно; поэтому период колебаний велик, а частота соответственно мала (см. задачу 2).
Что касается обычных колебаний, имеющихся в заминутом сосуде, то их частоты под влиянием наличия малого отверстия практически не меняются. Задачв (. Определить собственные частоты звуковых колебаний жидкости в сосуде, нмеюшем форму параллелепнпеда. Р е шея не. Ищем решенке уравнения (69,2) в виде шз сопы соз дх соз гу соа зх, прячем уз+ гз+ з' = чз/сз. На стенках сосуда имеем условия: дф и — О нрн х О а, х дх н аналогнчно Врн у О, Ь н х= О, с, где а, Ь, с — длины сторон параллелевнпеда.
Отсюда находим д = шн(а, г = лн/Ь, з = рл(с, где ш, я, д — пронзвольные целые числа. Таким образом, собственные частоты равны Гш' лз рз л ют стпт )„ 'л а' Ьа ст )' 2. К отверстию резонатора првсоедннена тонкая трубочка (сеченвя д, длины !); определять собственную частоту колебаннй. Р е шеи не. Поскольку трубочка является тонкой, та пря колебаннях, сопровождающкхся входом н выходом газа нз резонатора, можно считать, что заметной скоростью обладает только газ в трубочке, а скорость газа внутри сосуда практнческк равна нулю. Масса газа в трубочке есть ор(, а сила, дей. ствующая ва него, есть 8(рз — р) (р, рз — давления газа соответственно внутрк резонатора я во внеп1ней среде]; поэтому должно быть ор!б = 5(р — рз) (о — скорость газа в трубочке).
С другой стороны, для пронзводной от давлення по времени имеем р = сзр, а уменьшение — р плотности газа в резонаторе в единицу временк можно считать равным вытекающему в едкннцу (гл. Уп( ЗВУК Зта времени количеству газа Ври, деленному на объем (г резонатора. Таким об- стяр разом, имеем р = — — о, откуда р саяр . сзя Р— — о — — (Р— Рс). (г Пг Это уравнение дает р — рт =- сонм сов озсй где собственная частота юе равна /Г / 'Ч ((г' Эта частота мала по сравнению с с(ь (ь — линейные размеры сосуда), а длина волны соответственно велика по сравнению с Е.
При решении мы подразумевали, что линейная амплитуда колебаний газа в трубочке мала по сравнению с ее длиной 1. В противном случае колебания сопровождаются выходом из трубочки наружу заметной доли находящегося в ней газа, и становится неприменимым использованное выше линейное уравнение движения газа в трубочке. 5 70. Сферические волны Рассмотрим звуковую волну, в которой распределение плотности, скорости и т. д. зависит только от расстояния до некоторого центра, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
