Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 81
Текст из файла (страница 81)
ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА Э И1 звука, есть (74,4) Она не зависит от частоты колебаний (при заданной амплитуде скорости). Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, когда длина излучаемой волны велика по сравнению с размерами тела: Л,з !. (74,5) (74,6) (г — расстояние до начала координат, выбранного где-нибудь внутри тела). При этом, конечно, существенно, что расстояния, о которых идет речь, все же велики по сравнению с размерами тела.
Только по этой причине можно ограничиться в ф членами, наименее быстро убывающими с ростом г. Мы оставляем в (74,6) оба написанных члена, имея в виду, что первый член не во всех случаях присутствует (см. ниже). Выясним, в каких случаях этот член — а/» отличен от нуля. В 4 11 было выяснено, что потенциал — а/г приводит к наличию отличного от нуля потока жидкости через поверхность, окружающую тело; этот поток равен 4пра.
Но в несжимаемой жидкости такой поток может иметь место только за счет изменения общего объема жидкости, заключенной внутри замкнутой поверх Тогда вблизи тела (на расстояниях, малых по сравнению с длн 'ной волны) в общем уравнении (74,1) можно пренебречь членом с-7 —,. Действительно, этот член — порядка величины В7 ф/с' 2 — ф/Лз, между тем как вторые производные по координатам в рассматриваемой области ф/!з. Таким образом, вблизи тела движение определяется уравнением Лапласа Аф =О. Но это — уравнение, определяющее потенциальное движение несжимаемой жидкости, Следовательно, вблизи тела жидкость движется в рассматриваемом случае как несжимаемая. Собственно звуковые волны, т.
е. волны сжатия и разрежения, возникают лишь на больших расстояниях от тела. На расстояниях, порядка размеров тела и меньших, искомое решение уравнения Аф = О не может быть написано в общем виде и зависит от конкретной формы колеблющегося тела. Для расстояний же, больших по сравнению с 1, но малых по сравнению с Л (так что уравнение Аф=О еще применимо), можно найти общий вид решения, воспользовавшись тем, что ф должно убывать с увеличением расстояния. С такими решениями уравнения Лапласа нам уже приходилось иметь дело в $11. Как и там, пишем общий вид решения в форме Я 1 ф = — — +А!7— Г Г (гл. з иг ЗВУК ности.
Другими словами, должно происходить изменение объема тела, что и будет приводить к вытеснению жидкости из рассматриваемого объема пространства или, наоборот, к «засасыванию» жидкости в него. Таким образом, первый член в (74,6) присутствует в тех случаях, когда излучающее тело производит пульсации, сопровождающиеся изменением его объема.
Предположим, что это имеет место, и определим полную интенсивность излучаемого звука. Объем 4яа жидкости, протекающей через замкнутую поверхность, должен быть равен изменению объема )г тела в единицу времени, т. е. производной г(у/г(г (объем )г является заданной функцией времени): 4яа = )г'. Таким образом, на расстояниях г, удовлетворяющих условию ( « г « Х, движение жидкости описывается функцией р (!) <Р юг ' С другой стороны, на расстояниях г)>'), (в волновой зоне) <р должно представлять расходящуюся сферическую волну, т.
е. должно иметь вид Ф= ( (г — г(е) (74,7) г Поэтому мы приходим к результату, что излучаемая волна имеет на всех расстояниях (больших по сравнению с () вид р (( — ггс) Ф= 4иг (74,8) то получаем (п — единичный вектор в направлении г); р (( — г/с) (74,9)~ Интенсивность излучения, определяющаяся квадратом скорости, оказывается здесь не зависящей от направления излучения, т. е. излучение симметрично по всем направленням. Сред- получающийся заменой в р(() аргумента г' на Š— г/с. Скорость у = вагаб юр направлена в каждой точке по раднусувектору и по величине равна о =д~р/дг.
При дифференцировании (74,8) надо (для расстояний г л» Х) брать производную только от числителя; дифференцирование знаменателя привело бы к члену высшего порядка по ! /г, которым следует пренебречь Поскольку пл. шм звэк анализа правилам дифференцирования функций от скалярного аргумента: и, подставляя 7(1 — г/с) = — Чг/с = — п7с, получаем окончательно: у = —, и (пА). (74, 12) Интенсивность излучения будет теперь пропорциональна квадрату косинуса угла между направлением излучения (направление и) и вектором А (такое излучение называют дипольным). Полное же излучение равно интегралу 7= —, ') — г(7, р Г (вА) с~ з г' Опять выбираем в качестве поверхности интегрирования сферу радиуса г, причем введем сферические координаты с поляриои осью вдоль вектора А.
Простое интегрирование приводит к окончательной формуле для полного излучения в единицу времени: (74,13) Компоненты вектора А являются линейными функциями компонент скорости и тела (см. 5 1!). Таким образом, интенсивность излучения является здесь квадратичной функцией вторых производных от компонент скорости тела по времени. Если тело совершает гармоническое колебательное движение с частотой ы, то, подобно предыдущему случаю, заключаем, что интенсивность излучения пропорциональна ы' при заданном значении амплитуды скорости.
При заданной же линейной амплитуде колебаний тела амплитуда скорости сама пропорциональна частоте, н потому излучение пропорционально ы'. Аналогичным образом решается вопрос об излучении цилиндрических звуковых волн пульсирующим или колеблющимся перпендикулярно к своей оси цилиндром произвольного сечения. Выпишем здесь соответствующие формулы, имея в виду их дальнейшие применения. Рассмотрим сначала пульсационные малые колебания цилиндра, и пусть 5 =Я(1) есть переменная площадь его сечения. На расстояниях г от оси цилиндра, таких, что 1« г «1 (1 — поперечные размеры цилиндра), получим аналогично (74,8) 2 8 И) (74, 14) где Г(1) — функция времени (коэффициент при !птах выбран так, чтобы получи~ь правильное значение потока жидкости через ко- ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА аксиальную цилиндрическую поверхность). В соответствии с формулой для потенциала расходящейся цилиндрической волны (первый член формулы (71,2)) заключаем теперь, что на всех расстояниях г > 1 потенциал определяется выражением г -гм С я ((') щ' Ф (74,15) и мы получим; Г-г)г с ) ь(и)д' 2п 1/Ег ) ч/е (( — г') — г (74,16) Наконец, скорость и = д~р/дг; для осуществления дифференцирования удобно сделать в интеграле подстановку — г/с= в: после чего пределы интегрирования не будут содержать г.
Множитель г-4м перед интегралпм не дифференцируется, так как это дало бы член более высокого порядка по 1/г. Производя дифференцирование под знаком интеграла и перейдя затем обратно к переменной 1', получим: г — и (74,17) Интенсивность излучения определится произведением йпгрспг. Обратим внимание на то, что в отличие от сферического случая здесь интенсивность излучения в каждый момент времени определяется всем ходом изменения функции 3(1) за время от — ~ до 1 — г/с.
Наконец, для поступательных колебаний бесконечного цилиндра в направлении, перпендикулярном к его оси, на расстояниях При г-~0 главный член этого выражения совпадает с (74,14), причем автоматически определится также и функция 1(1) в последнем (предполагаем, что при 1 в — со производная 8(1) достаточно быстро обращается в нуль). При очень же больших значениях г (в волновой зоне), основную роль в интеграле. (74,!5) играет область значений 1 — 1' — г/с; поэтому в знаменателе подынтегрального выражения можно положить: (1 — 1) — — - "2 — ~1 — 1 — — ], гз гг г г' г гл Сг С С звяк (гл. шп 4ОО 1 « г « Х потенциал имеет внд ~р= 1((ч(А!пгг), (74,18) где А(1) определяется путем решения уравнения Лапласа для обтекания цилиндра несжимаемой жидкостью. Отсюда снова заключаем, что на всех расстояниях г з 1 г-гы А (1') г(1' ч' 1ч ~ (( г)г зу з) пз В заключение необходимо сделать следующее замечание.
Мы полностью пренебрегали здесь влиянием вязкости жидкости н соответственно этому считали движение в излучаемой волне потенциальным. В действительности, однако, в слое жидкости толщины (и/ю)ыт вокруг колеблющегося тела движение не потенциально (см. $ 24).
Поэтому для применимости всех полученных формул необходимо, чтобы толщина этого слоя была мала по сравнению с размерами 1 тела: (и/ш) чз« 1. (74,20) Это условие может не выполняться прн слишком малых часто- тах нлн слишком малых размерах тела. Задачи 1. Определить полную интенсивность излучения звука шаром, совершаю- щим поступательные малые (гармоннческие) колебания с частотой ю, причем длина волны сравнима но величине с радиусом и шара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
