Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Решение. Скорость шара пишем в виде п пзе; тогда ю зависит -гнг, — гнг от времена тоже посредством множителя е п удовлетворяет уравнению Л~р+ йзф = О, где й = оз(с, Ищем решение в виде н = пг1(г) (начало коор. динат выбрано в точке нахождения центра шара в данный момент времени). Для 1 получаем уравнение (пу) (Л1+ йз1) = О, откуда Л1+йз1 = сонм, С точностью до несущественной аддптнвной постоянной имеем отсюда 1 = Ае'"'1г. Постоянная А определяется нз условия др(дг = и, при г = Я, и в результате получаем ГЬ(г Л1 и ')З Гйт — 1 2 2(йЯ йз)гг .
(-)' Излучение имеет дппольный характер. На достаточно больших расстояниях от шара можно пренебречь единицей по сравнению с Йг, и н приобретает вид (74,11) с вектором А, равным А пе а(г юдз 2 — 2 Гак — йтйт Замечая, что (Ке А) ! А )г2, получаем для полного излучения согласно 3 - 2! (74,13): 2 тт х1з~ з 1- — "(паР Зсз 4+ а Д41 ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА $ 74) 401 При ы/7/с ча 1 зто выражение переходит в ри/(з 1 — (ц (зы' бсз '(зто может быть получено и непосредственно подстановкой в (74,13) выражения А = и/7»/2 из задачи 1 з 11). При ю/7/с Ъ 1 имеем: 1 — йз ( цз (з. 2нрс 3 что соответствует формуле (74,4).
Действующая на шар сила сопротивления жидкости получается интегрированием проекции снл давления (р' — рф'!г д) иа направление ц по поверхности шара и равна 4к — Ьзйз+ 1(2+ Ьг/(з) "- 3 р /7'" 4+йь/7» '(о смысае комплексной свлы сопротивления см. конец 5 24). 2. то же, если радиус /7 шара сравним по величине с ц/т/ьз (но в то же время )ь л» /7).
Решение. Если размеры тела невелики по сравнению с ц/т/ы, то для определения излучаемой волны надо исходить не из уравнения цьр = О, а нз уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости. Соответствующее решение этого уравнения для шара определяется формулами (1), (2) в задаче 5 % 24. Прн переходе к больш»и расстояниям первый член в (1), экспоненцнальио загухающий с г, можно опустить. Второй же член приводит к скорости т — Ь (цу) (г —. 1 Сравнение с (74,6) показывает, что /(з Г 3 3 ь А~ — Ьп к» вЂ” ~!— — — ц 2 1. (ь — 1) к 2ькз ~ гда к /с (а/2т) ь .
т. е. отлвчается от соответствующего выражения для !/з (ьдеальной жидкости множителем, стоящим в скобках. В результате получаем: кр/1з г 3 9 9 9 1~ — зьь 1+ — + — + — + — ! ц !з без ~ к 2кз 2кз 4к' ! При к д» 1 это выражение переходит в приведенную в задаче ! формулу, а при к ~! получаем: йкр/7 2с' т.е.
излучение пропорционально не четвертой, а второй степени частоты. 3. Определить интенсивность излучения звука сферой, совершающей малые (гармонические) пульсацнониые колебания с произвольной частотой. Решение. Ищем звуковую волну в виде ~р — вь г (/7 — равновесный радиус шара) и определяем гостоянную а нз условия дьр! — ьвг — и изя дг(г ц !гл. шп звзц где и — радиальная скорость точек поверхности сферы: яз /йК-1 ' Интенсивность излучеивв й%' / 2ирс(из(з +„,, ПриМ ь! / — р е%') и,)з в соответствии с (74,10), а при йЯ л 1 1 2ирсйз ! из Р в соответствии с (74,4).
4. Опрелелнть волну, излучаемую шаром (ралиуса )7), совершающим малые пульсациониые колебании; радиальная скорость точек его поверхности есть произвольная функция времени и(/), Решение. Решение ищем в вике йз = /(Е)/г, тле Р = ! — (г — й)/с, и определяем / из граничного условия (д~р/дг) =я = и(Ц, которое приводит к уравнению д/ с/ (/) + — !7си (1), д! Решая зто линейное уравнение и заменяя в решении аргумент ! иа !', полу.
чаем. гт йз (г, Г) — — е ~ и (т) а~™дт. (1) Г Ф Если колебания шара прекращаются, например, в момент времени Г = О (т.е. и(т) = О при т ) О), то на расстояйии г от центра, начиная с момента времени г = (г — /7)/с, потенциал как функция времени будет иметь вил ф = сопз(е- иа, т.е движение букет затухать зкспоиеициальио. Пусть Т вЂ” время, в течение которого происхолит существенное изменение скорости и(/). Если Т л )7/с (г.е.
клина излучаемых воли Х гТ ~ )!), то в (!) можно вынести медленно меняющийся множитель и(т) из-под знака интеграла, заменив его иа и(д). На расстояниях г ~ )7 получим тогда: )7' г г ч ~р — — и / —— е)' что совпадает с формулой (74,8). Если же Т С /7/с, то аналогично получаем: ы с)7 Г дф и — — 1 и(т) дт, п — =* — и(Г'), г дг г В что соответствует форм! ле (74,4), б, Определить движение, возникающее в идеальной сжимаемой жидкости при произвольном поступательном движении в ией шара радиуса )7 (скорость движения мала по сравнению со скоростью звука). Решение. Ищем решение в виде ф б!т 1 (/') (И г ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА 483 $74] (г — расстояние от начала координат, выбранного в точке нахожденяя дентра шара в момент времени 1' = 1 — (г — ]т)/с); поскольку скорость шара п мала по сравнению со скоростью звука, то аффектом перемещения начала координат можно пренебречь), Скорость жидкости 3(]п) п — 1 3(1'п) п — 1' п(п1") ъ йга<$ ~Р з + сг 7 + 7 сг '(и — еднничиый вектор вдоль направления г; ' означает дифференцирование 1 по его аргументу).
Граничное условие е, = ип при г = ]т, откуда 2сз 1" (1) + йс 1' (1) + — 1 (1) ](гзп (1), ]рг Решая зто уравнение методом вариации постоянных, получаем для функция 1(1) общее выражение: с 1(1) г](зе ' ]Д ~ и (т) з]п ( ) етщп 7(т. ]р 00 (3) (где 1'-. О). Полная интенсивность излучения будет убывать со временем по закону 8П З З ЩГО]Д . 7ГС1' Мт 1 — ср]7 изе з]п' ]ч — — — ). 3 Й 4)' Всего за все время будет нзлучена энергия — р]г пй 3 7.
Определить интенсивность излучения звука бесконечным цилиндром (радиуса Я), совершающим пульсадноиные гармонические колебания; длина волны А л ]г. Решение. Согласно формуле (74,14) находим сначала, что на расстояниях г ~ Х (в задачах 7, 8 г — расстояние от ося цилиндра) потенциал ]р ]ти 1п йг, где и изе — скорость точек поверхности цилиндра. Из сравнения с фор— гвт муламн (71,7) и (71,8) находим теперь, что на больших расстояниях потенциал будет иметь внд / гп гаг ~р= — ]ри чт/ — е 'Ч 2й.
Отсюда скорость т ]си чч/ — ие / нй ~/ 21г При подстановке в (!) Здесь надо писать 1' вместо 1. В качестве нижнего предела выбрано -сь так, чтобы было 1 О при! = -со. 6. Шар радиуса ]7 в момент времеви 1 = О начинает двигаться с по. стоянной скоростью и,. Определить возникающее в момент начала движения звуковое излучение. Решение, Попагая в формуле (3) задачи 5 п(т) = О прк т( О и п(т) = пз при т) О и подстзвляя в формулу (2) (сохранив в последней только последний, наименее быстро убывающий с расстоянием член), найдем скорость движения жидкости вдали от шара: ]7 А/2 -г1']д Г с1' и Ч т = — п (пв,) — е г ЗШ ]ч — — — ) ]г 4) !гл.
тчи 404 ЗВУК (п — единичный вектор, перпендикулярный к оси цнлиялра) и интенсивность излучения (иа елиницу клины цялнялра) лт 1 = — р<Ит )па Р 2 8. Определить излучение звука цилиялром, совершающим гармонические поступательные колебания в направлении, перпендикулярном к своей оси. Решение.
На расстояниях г ~ й имеем: 9 — гНч (!!зц!п Мг) (ср, формулу (74,!8) и закачу 3 з !0). Отсюда заключаем, что иа больших расстояниях ума . е ц щг нй гр )(з ~/ — б!ч = — Яз (пп) л — е 29 Ч/г. !! 2!г откупа скорость т = — й)Тз чмг — в (вп) в , . йм щг. '!( 2г Интенсивность излучения будет пропорциональна квалрату косинуса угла между направлениями колебаний и излучения.
Полная интенсивность Т= —,рюз)(4) и,(з. 4сз 9. Определить интенсивность излучеяия звука от плоской поверхности с периодически колеблющейся температурой, частота колебаний ю ~ сз(К, где Х вЂ” температуропроволиость жидкости. Р е ш е н не. Пусть переменная часть температуры поверхиостя есть г -гвт Тзе щ. Эти колебания температуры создают в жнлкости затухающую тепловую волну (52,15): Т' Т' -щ! -и-г! «/ей~» са е в результате чего будет испытывать колебання н плотность жилхостш р' - ! — ! Т' = — р8 Т', Г др (, дТ г'л где () — температурный коэффициент расширения. Это в свою очередь прн.
водит к возникновению движения, опрелеляюшегося уравнением непрерывности: до др' р — — — = — гюрй Т'. дх дт На твердой поверхности скорость с„ = о = О, а прн удалении от нее стре- мится н прекелу 1 — ! -гвг о = — !юй (з Т' дх — 8 ~/вХ Таа 42 Это значение достигается иа расстояниях уг1()ю, малых по сравнению с с(ю, и служит граничным условием лля возникающей звуковой волны. Отсюда находим интенсивность излучение звука с 1 см' поверхноств; Т вЂ” срй ю)(~ То ~ . 406 ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА % т41 1б. Точечный источник, излучающий сферическую волну, находится на расстоянии ! от твердой (полностью отражаюшей звук) стенки, ограничивающей заполненное жадностью полупространство.
Оцределнть отношение полной интенсивности излучаемого источником звука к интенсивности нзлученил, которсе имело бы место в неограниченной среде, а также зависимость интенсивности от направления иа больших расстояниях от источника. (ч.-- Решеиие. Совокупность излучаемой н от- г г ражеииой от стенки воли описывается решением ь)р волнового ураввеиия, удовлетворяющим условию 0'4 равенства пулю нормальной скорости о„= д1р/дл на степке. Таким решением является Рве.
49 (постоянный множитель для краткостл опусиаем), где г — расстояние от источника звука О (рнс. 49), а г' — расстояние от точки О', расположенной относительно поверхности степки симметрично с О. На больших расстояниях от источника имеем: г' ке г — 2!соз 6, так что 44э -вг1 ( + -шш ° а) Г Зависимость интенсивности излучения от направления определяется здесь множителем соз'(Л! соз 9). Для определения полной интенсивности излученяя интегрируем поток энергии Ч Р 'г — Рфт41 (см. (65,4)) по поверхности сферы сколь угодно малого радиуса с центром в точке О. Это дает 2нрйв ~1+ ). В иеогйоаиичеииой же среде мы имели бы чисто сферическую волну гр=е'4 ' 4М1!г с полным потоком энергии 2нрйв. Таким образом, искомое отношение интенсивностей равно 5(п 2й! 2А! Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
