Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 83
Текст из файла (страница 83)
То же в жидкости, ограниченной свободной поверхностью, Р е ш е и и е. На свободной поверхности должно выполняться условие р'= — рф=б; в моиохроматической волне это эквивалентно требованию к1 = О. Соответствуюшее решение волнового уравнения есть На больших расстояниях от источника интенсивность излучения определяется множителем з(пэ(А! соз 0). Йскомое соотношение интенсивностей равно з(п 22! 2Л! звчк сгл. шм $75.
Возбуждение звука турбулентностью Турбулентные пульсации скорости тоже являются источником возбуждения звука в окружающем объеме жидкости. В этом параграфе будет изложена общая теория этого явления (М У Пйй(5111, 1952). Будет рассматриваться ситуация, когда турбулентность занимает конечную область Уо, окруженную неограниченным объемом неподвижной жидкости. При этом самая турбулентность рассматривается в рамках теории несжимаемой жидкости — вызываемым пульсациями изменениемплотности пренебрегаем; это значит, что скорость турбулентного движения предполагается малой по сравнению со скоростью звука (как это предполагалось и во всей главе 111).
Начнем с вывода общего уравнения, учитывающего, наряду с движением в звуковых волнах, также и движение жидкости в турбулентной области. Отличие от произведенного в $54 вывода состоит лишь в том, что должен быть сохранен нелинейный член (чч)ч — хотя скорость о мала по сравнению с с, но она велика по сравнению со скоростью жидкости в звуковой волне. Поэтому вместо (54,3) пишем: — + (чч) ч + — р = О.
дч 1 д1 Ра Применив к этому уравнению операцию б)ч н используя уравнение (64,5) Р 1 зЦ1 др' получим: 1 д'р', д Г ди~ч — — 5Р— Ро — пь р~ ды дк~ ~ дкь ~' Правую сторону этого уравнения можно преобразовать с помощью уравнения непрерывности гйчч = О (турбулентность рассматривается как несжимаемая!): можно вынести знак дифференцирования по хь из-под скобок. Окончательно пишем: ар', а г„ (индекс у рз снова опускаем). Вне турбулентной области выражение в правой стороне этого уравнения представляет собой малую величину второго порядка и может быть опущено, так что мы возвращаемся к волновому уравнению распространения звука.
Правая же сторона, отличная от нуля в объеме У,, играет роль источника звука. В этом объеме ч — скорость турбулентного движения, ВОЭБУЖДЕННЕ ЗВУКА ТУРБУЛЕНТНОСТЬЮ 407 В тм Уравнение (75,1) — типа уравнения запаздывающнх потенциалов. Решение этого уравнения, описывающее исходящее от источника излучение, есть (см.
П, $ 62). Здесь г — радиус-вектор точки наблюдения, г1— бегущей точки в области интегрирования, )7 =!г — г,~; подынтегральное выражение берется в «запаздывающий» момент времени ! †)7/с. Интегрирование и (75,2) фактически производится лишь по объему )те, в котором подынтегральное выражение отлично от нуля. Основная часть энергии турбулентного движения заключена в частотах и/1, отвечающих основному масштабу турбулентности 1; и — характерная скорость движения (см.
ф ЗЗ). Таковы же будут, очевидно, и основные частоты в спектре излучаемых звуковых волн. Соответствующие же длины волн Х с!/и » !. Для определения интенсивности излучения достаточно рассмотреть звуковое поле на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны )с (в «волновой зоне»), эти расстояния велики 'и по сравнению с линейными размерами источника — турбулентной области '). Множитель !/)7 в подынтегральном выражении н этой зоне можно заменить множителем 1/г и вынести его изпод знака интеграла (г — расстояние точки наблюдения до начала координат, выбранного где-либо внутри источника); тем самым мы пренебрегаем членами, убывающими быстрее, чем 1/г, которые все равно не дают вклада в интенсивность уходящих на бесконечность волн, Таким образом, (75,3) Производные в подынтегральном выражении берутся до взятия значения при ! — !(/с, т.
е. только по первому аргументу функций Т;а(гн !). Эти производные можно заменить производными от функций Т,а(г, ! — )г/с), взятыми по обоим аргументам, вычитая из них каждый раз йронзвадные по второму аргументу. Первые представляют собой полные днвергенции и интегралы от них, будучи преобразованы в интегралы по удаленным замкнутым поверхностям, обращаются в ноль, поскольку вне турбулентной области Ты =О. Производные же по «текугцим» координатам гь входящим в состав аргумента ! — !(/с, можно заменить производными по координатам точки наблюде- ') Говоря о порядках величии, мы ие проводим различия между осиоиным масштабом ! и размерамн турбулентной области, хотя последние и могут заметно превышать первый.
ВОзБуждение 3ВукА тупяулентт!Остью $7Ы лагается при этом «стацнонарной»). Эту последнюю операцию осуществляем, написав квадрат интегралов в виде двойных интегралов н производя усреднение (которое обозначаем угловыми скобками) под знаком интегралов. В результате получим следующий результат: «Перекрестное» произведение двух членов в (75,7) при интегрировании по направлениям выпадает, так что полная интенсивность оказывается равной сумме монопольного и квадрупального излучений. Обе эти части в данном случае — вообще говоря,одинакового порядка величины.
Оценим этот порядок величины (вернее в выясним зависимость / от параметров турбулентного движения). Компоненты тензора Тм из, где и — характерная скорость турбулентного движения. Каждое дифференцирование по времени умножаег этот порядок величин на характерную частоту и/1. Поэтому О и'/12. Корреляция между скоростями турбулентных пульсаций в различных точках простирается на расстояния 1. Поэтому количество энергии, испускаемой в виде звука единицей массы турбулентной среды в единицу времени 7 пв, пв пвв 12 с' М св7 ' (75,9) Интенсивность излучения пропорциональна, таким образом, восьмой степени скорости турбулентного движения.
Турбулентное движение поддерживается за счет мощности, подводимой от некоторого внешнего источника. В «стационарном» случае эта мощность совпадает с диссипируемой в единицу времени энергией. Отнесенная к единице массы, эта последняя еявсс из/1'). Акустический коэффициент полезного действия можно определить как отношение излучаемой мощности к диссйпируемой: (75,10) Стоящая здесь высокая степень отношения и/с приводит к тому, что при и/с « 1 эффективность турбулентности как излучателя звука низка. ') См. (ЗЗД). Мы ие делаем здесь раз7ичия между и и Ьи; выбор системы отсчета, по отиошеиию к которой рассматривается движение, устанавливается тем, что жидкость вие турбулевтиой области предполагается иеподвижиой.
1 Р Ц (вт (Г ) «) (Гз )) ") 771) 2+ + зб', ~~(97«(гы т)Я7»(гз, т)) с()т,с()72. (75,8) [гл. юп звтк ао 5 76. Принцип взаимности При выводе уравнений звуковой волны в $64 предполагалось, что волна распространяется в однородной среде. В частности, плотность среды рс и скорость звука в ней с рассматривались как постоянные величины. Имея в виду получить некоторые общие соотношения, применимые и в общем случае произвольной неоднородной среды, выведем предварительно уравнение распространения звука в такой среде.
Напишем уравнение непрерывности в виде — + р%чт=О. др дГ Но в силу адиабатичности звука имеем: и уравнение непрерывности приводится к виду -дс- + хсрр + рсз б! ч и = О. д Это уравнение совпадает по форме с уравнением (64,6), но коэффициент ррсз в нем есть функция координат.
Что касаетси уравнения Эйлера, то мы имеем, как и в $64: дс Рр' а~ рс ' Исключая т из обоих этих уравнений (и опуская индекс у ра); получаем окончательно уравнение распространения звука в неоднородной среде: Ур' ! д'р' бЬ вЂ” — — — г =О. р рс' д1 (76,() Если речь идет о монохроматической волне с частотой сс, то р' = — са'р', так что ссс б(ч — + —, р'=О.
рс (76,2) Рассмотрим звуковую волну, излучаемую источником небольших размеров, совершающим пульсационные колебания (такое Положим, как обычно, р = рс+р', причем ра является теперь заданной функцией координат, Что же касается давления, то в р = ра+ р' должно по-прежнему быть рс = сопз(, поскольку в равновесии давление должно быть постоянно вдоль всей среды (если, конечно, отсутствует внешнее поле). Таким образом, с'точностью до величин второго порядка малости имеем: ++рсс'йч =О.
принцип взаимности а та1 (р — — рл — ) ~(= О. СА+СВ (76,3) Внутри малой сферы СА давление р' в волне, создаваемой источником, находящимся в А, быстро меняется с расстоянием от А, и потому градиент чррл' велик. Давление же р, создаваемое источником, находящимся в В, в области вблизи точки А, значительно удаленной от В, является медленно меняющейся функцией координат, так что его градиент 17рв относительно мал.
При достаточно малом радиусе сферы Сл можно поэтому в интеграле по ней пренебречь вторым членом подынтегрального выражения по сравнению с первым, а в последнем можно вынести почти постоянную величину р' из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А. Аналогичные рассуждения применимы к интегралу по сфере Са, и в результате мы получаем из (76,3) следующее соотношение: р~(А) 1 — Л=р'„(В) 1 — пт. Се в ') Размеры источника должны быть малымн по сравнению с расстоянием между А н В, а также по сравнению с длипоа волны.
излучение, как мы видели в $ 74, изотропно). Обозначим точку, в которой находится источник, посредством А, а давление р' в излучаемой им волне в точке В ') посредством р„(В). Если тот же самый источник помещен в точку В, то создаваемое им в точке А давление обозначим соответственно посредством ра(А). Выведем соотношение между рл(В) и рл(А). Для этого воспользуемся уравнением (76,2), применив его один раз к излучению источника, находящегося в точке А, а другой раз — к излучению источника, находящегося в В: 2 ч т урл ет , . трн йи — + — р' О, йк — + — р' =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
