Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Выбираем плоскость стенки в качестве плоскости х = О, а плоскость падения в качестве плоскости к, р. Угол падения (равный углу *отражения) есть 6. Изменение плотности в падающей волне в некоторой почке на поверхности (скажем, в точке к р = О) есть р! Ае ьа!. Отращенная волна имеет ту же амплитуду, так что у стенки в ней рз р!. Реальное изменение плотности жидкости, в которой распространяются одновре— ге! именно обе волны (падаю!два и отраженная), есть р =2Ав .
Скорость .жидкости в волне определяется согласно ИОГЛОШЕНИВ ЗВУКА В обратном предельном случае больших частот нз (3) находим: ю ег 2 2 й — + 1 — (с — сг) сг 2Хсз В этом случае звук распространяется с «нзотермнческой» скоростью сг '(всегда меньшей скорости еь). Коэффициент же поглощения оказывается снова малым (по сравнению с обратной длиной волны), причем он не зависит от частоты н обратно пропорционален теплопроводности'). 4.
Определить дополнительное поглощение звука, распространяющегося в смеси двух веществ, связанное с днффузней ()т. Г. Шапошников и 3. А. Гольдберг, 1952). Решен ие. В смеси ныеется дополнительный источник поглощения звука, связанный с тем, что возникающие в звуковой волне градиенты температуры и давления приводят к появлению необратимых процессов термо- и бародиффузии (градиента же массовой концеятрацни, а с ней н чистой диффузии, очевадно, не возникает).
Это поглощение определяется членом — ®),~1' Л~ в скорости изменения энтропии (59,13) (мы обозначим здесь концентрацию посредством С в отличие от скорости звука е). Диффузионный поток г йг йр 1-- ртт( — рт+ —" рр) ~т р с йр нз (59,10). Вычисление, аналогичное произведенному в тексте, с нспольаованием ряда соотношений между производными термодпч" -"е"кпт чин приводит к следующему результату: к выражению (79,5) для ьь .'.- фициента поглощения добавляется член ь( д)ь 1 ((дС)в г ер (дт)д с(дС)в г~ ' (дС )и 5. Определить эффективное сечение поглощения звука шариком, радиус которого мал по срзвнеяию с 1/тты.
Решение. Полное поглощение складывается нз эффектов вязкости н теплопроводности газа. Первый определяется работой стоксовой силы трения при обтекании шарика движущимся в звуковой волне газом (как и в задаче 3 $ 73, предполагается, что шарик не увлекается этой силой). Второй эффект определяется количеством тепла О, передаваемым в единицу времени от газа шарику (задача 3 э 73): дисснпация энергии прн передаче тепла д ') Второй корень квадратного по А' уравнения (3) соответствует быстро затухающим с х тепловым волнам.
В предельяом случае ыХ ц сз этот корень дает '= Ч "+" 'Ч / ге Вы Х 2Х в согласии с (52,15). В случае же юХ 2» с' получается Й (1+1) л У 2Хер ' 4ЗО звук !гл. уп! прп разности температур Т' между газом (впали от Нтарика) и шариком равна дТНТ. Для суммарного эффективного сечения поглощеиня получается выражение о = — [зт+ 2х( — — !я. 5 80.
Анустичесное течение Одно из самых интересных проявлений влияния вязкости на звуковые волны состоит в возникновении стационарных вихревых течений в стоячем звуковом поле прн наличии твердых препятствий или ограничивающих его твердых стенок, Это движение (его называют акустическим течением) появляется во втором приближении по амплитуде волны; его характерная особенность состоит в том, что скорость движения в нем (в пространстве вне тонкого прнстеночного слоя) оказывается не зависящей от вязкости,— хотя самим своим возникновением оно обяззно именно вязкости (Яау(есной, 1883). Свойства акустического течения наиболее типичным образом проявляются в условиях, когда характерная длина задачи (размеры препятствий или области движения) малы по сравнению с длиной звуковой волны л, но в то же время велики по сравнению с введенной в $ 24 глубиной проникновения вязких волн 6 = ~У2ч~ок (80,1) Х ~ 1а 6.
Ввиду последнего условия, в области движения можно выделить узкий акустический пограничный слой, в котором происходит падение скорости от ее значения в звуковой волне до нуля на твердой поверхности. Поскольку скорость газа в атом слое (как и в самой звуковой волне) мала по сравнению со скоростью звука, а его характерный размер — толщина 6 — мал по сравнению с Х (ср. условие (10,17)), то движение в нем можно рассматривать как несжимаемое. Рассмотрим акустический пограничный слой у плоской твердой стенки (плоскость хг), причем движение будем считать плоским — в плоскости ху (Н. 5сййпййпд, 1932).
Приближения, связанные с малой толщиной пограничного слоя, описаны в 9 39 и сохраняют силу для рассматриваемого нестационарного движения, Нестационарность приводит лишь к появлению в уравнении Прандтля (39,5) членов с производными по времени: — "+ п — "+ п — — у — =У вЂ” +' —, (80,2) до» до» до» д'о» дГГ, дГУ д!» дл и др дую дл д! (производная Ыр/с(х выражена через скорость У(х,() течения вне пограничного слоя с помощью уравнения (9,3)).
В данном случае (80,3) У = по соз йх ° соз оз! = по соз йх ° гсе и '"' Акустическое течение 2 801 (й=е>/с), что соответствует стоячей плоской звуковой волне с частотой О>. Искомую скорость ч в пограничном слое выразим через функцию тока ф(х, у,г) согласно удовлетворяющее требуемым условиям при у = 0 и у = Оо, есть о>п = ке гп соз йх ° е '"> (1 — е "У)), 1 О где / >и 1 — 1 т д (80,4) Соответствующая функция така (удовлетворяющая условию ф>'> = 0 при у = О, эквнвалеятпому условию п1» = 0) есть фп'=Ке(гусов йх ь>»(у)е (80,5) ~п> (у) — у ( в-ку 1 к В следующем приближении пишем у =у>»+ у>2> и для скорости у>2> получаем из (80,2) уравнение дО>„> д дО> ' дУ дО>П дО>» — — — = (> — — пп> — — пп> — '" . (80,6) д> ду' дх к дх О ду В правой стороне имеются члены с частотами О>+О>=2О> и О> — О> = О, Последние приводят к появлению в у>2> не зависящих от времени членов, которые и описывают интересующее нас стационарное движение; ниже мы будем понимать под ум> только эту часть скорости.
Соответствующую часть функции тока пишем в виде „2 ф>2> = — О з! п 2йх ° Ь>2>(у) (80,7) и для функции >.>2>(у) находим уравнение 2 2 ~ь1 > ~ + 2 >се(ь" ь" "), (80,8) где штрихи означают дифференцирование по у. чем автоматически удовлетворяется уравнение непрерывности (39,6) . Будем решать уравнение (80,2) последовательными приближениями по малой величине оΠ— амплитуде колебаний скорости газа в звуковой волне. В первом приближении пренебрегаем квадратичными членами полностью.
Решение уравнения дОП> у~ОП> — — — =- — >О>П СОЗ йХ Е-"", к Ок д> ду2 0 (гл. юн звчк 432 Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям ()2)(0)=0, Ц)2)'(0)=0, эквивалентным требованию о<2) =о<2)=0 на твердой поверхности. Что же касается условий вдали от стенки, то можно лишь потребовать, чтобы скорость о),') стремилась к конечному значению (но не к нулю). Подстановка (80,5) в (80,8) и двукратное интегрирование приводят к следующему результату для производной 9(зг) ь(2) (У) и-зи)е е-у)е з)п у е — а)а соз —" + 3 1 .
у 6 4 6 + — в У' )хсоз — — з(п — ) У ат У Ут 46 х 6 бл При у-).оо она стремится к значению ь)2)' (оо) = 3/8, (80,9) чему отвечает скорость Зоо 2 О(а (со) = — 3!П 26Х. = 3. (80,10) Этот результат демонстрирует указанное в начале параграфа явление. Мы видим, что вне пограничного слоя возникает (во втором приближении по оо) стационарное движение, скорость которого не зависит от вязкости. Ее значение (80,10) служит граничным условием при определении акустического течения в ос.
нонной области движения (см. задачу)'). Задача ') Поперечная скорость, отвечающая пр одольн ой скорости ( 80,9), есть 2 Зоей 2 о) )= — — усоз26х Со) ). 4с Х При решении задачи о движении вне пограничного слоя ага скорость возникает автоматически в силу уравневия непрерывности, если поставить граничное условие о„' = 0 при у О. 12) 2) Другимк словами, отношение о,/с предполагается малым по сравнению со всеми другимн малыми параметрамн задачи; в частности, ос) си~ 616. Определить акустическое течекае в пространстве между двумя плоскапараллельиыми степкамв (плоскости у = 0 и у = 6), в котором имеется стоячая звуковая волна (80,3), Расстояние 6 между плоскостями (играющее роль характерной длины 1) удовлетворяет условиям (80,1) (1сау1е(у6, 1883).
Р е ш е н н е. Ввиду малости скоростн Ф" искомого станионарвого движения по сравнению со скоростью звука, его можно считать аесжимаемым. .Более того, ввиду предполагаемой сколь угодной малости скорости от в зау- 12) 2 2 козой волне ( а вместе с ией и скорости о) о~( с), в уравнении движения можно пренебречь квадратичными членами ').
Тогда уравнение ( 1 5,1 2) для ВТОРАЯ ВЯЗКОСТЬ $80 функции тока сводится к уравнению (отметим, что оиа возникает из члена с вязкостью, но сама вязкость нз него выпадает). Ищем ф'з' в виде (30,7), Ввиду условия Ь С ]г производные по у велики по сравнению с производными по л; пренебрегая последними, получим для функции ~(з~(у) уравнение = О. Ввиду очевидной симметрии задачи, течение симметрично относительно плоскости у Ь/2.
Это значит, что о]„](л, у)=а) ](л, ь — у), овгз](х, у) = — о!„'(х, ь — у), для чего должно быть Р (у)- — Р (Ь вЂ” у) таким решением уравнения (1) является ьм'(у) А(у — — )+В(у — — ), Ь Ь Постоянные А и В определяются граничными условиями ь]з! (о) =о, ь]з]'(о) - з/3. В результате находим для функции тока выражение а нз него следующие окончательные формулы для распределения скоростейз Зее Г 3 (у — Ь/2) 1 = — — з]п 2Ьл ~!в ]бе ~ (Ь/2)' Скорость о!8] меняет знак иа расстоянии (Ь/2) (1 — 3 ~) = ОА23Ь/2 от степин. Описываемое зтимн формулами течение состоит из двух рядов вихрей, симметрично расположенных относительна серединной плоскости у = Ь/2 н перваднчных вдоль осн л с периодам Ь/2.
5 81. Вторая вязкость Второй коэффициент вязкости ~ (мы будем говорить о пем просто как о второй вязкости) имеет обычно тот же порядок величины, что и коэффициент вязкости ть Существуют, однако, случаи, когда ( может достигать значений, значительно превышающих значения т].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
