Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Как мы знаем, вторая вязкость проявляется в тех процессах, которые сопровождаются изменением объема (т. е. плотности) жидкости. При сжатии или расширении, как и при всяком другом быстром изменении состояния, в жид- ~гл. шм звмк кости нарушается термодинамическое равновесие, в связи с чем в ней начинаются внутренние процессы, стремящиеся восстановить это равновесие. Обычно эти процессы настолько быстры (т. е.
их время релаксации настолько мало), что восстановление равновесия успевает практически полностью следовать за ходом изменения объема, если только, конечно, скорость этого изменения не слишком велика. Существуют случаи, когда время релаксации процессов установления равновесия в теле велико, т. е. эти процессы протекают сравнительно медленно. Так, если мы имеем дело с жидкостью или газом, представляющими собой смесь веществ, между которыми может происходить химическая реакция, то при каждых данных плотности и температуре существует определенное состояние химического равновесия, характеризующееся определенными концентрациями веществ в смеси.
Если, например, сжать жидкость, то состояние равновесия нарушится и начнет происходить реакция, в результате которой концентрации веществ будут стремиться принять равновесные значения, соответствующие новому значению плотности (и температуры). Если скорость этой реакции не слишком велика, то установление равновесия происходит сравнительно медленно и не будет поспевать за изменением сжатия. Процесс сжатия будет сопровождаться тогда внутренними процессами приближения к состоянию равновесия.
Но процессы установления равновесия являются процессами необратимыми; они сопровождаются возрастанием энтропии и, следовательно, диссипацией энергии. Поэтому, если время релаксации этих процессов велико, то при сгкатии или расширении жидкости происходит значительная диссипация энергии, и поскольку эта диссипация должна определяться второй вязкостью, то мы приходим к выводу, что ~ будет велико '). Интенсивность процессов диссипации, а с ними и величина ь, зависит, естественно, от соотношения между скоростью процессов сжатия и расширения и временем релаксации. Если, например, речь идет о сжатиях и расширениях, вызываемых звуковой волной, то вторая вязкость будет зависеть от частоты волны.
Таким образом, значение второй вязкости не будет просто константой, характеризующей данное вещество, а само будет зависеть от частоты того движения, в котором она проявляется. О зависимости величины ь от частоты говорят как о ее дисперсии. Излагаемый ниже метод общего рассмотрения всех этих явлений принадлежит Л.
И. Мандельштаму н М, А. Леонтовичу (1937). ') Медленным процессом, приводящим к большим ь, часто является так. иге передача энергии от поступательных степеней свободы молекул к колебательным (виутримолекулярным) степеням свободы. ВТОРАЯ ВЯЗКОСТЬ й ац Пусть $ — некоторая физическая величина, характеризующая состояние тела, а йе — ее значение в состоянии равновесия; й» является функцией от плотности и температуры. Так, для жидких (или газовых) смесей величиной с может являться концентрация одного из веществ в смеси, а $» есть тогда значение концентрации при химическом равновесии. Если тело не находится в состоянии равновесия, то величина й будет меняться со временем, стремясь принять значение й». Б состояниях, близких к равновесному, разность й — йе мала, и можно разложить скорость с изменения $ в ряд по этой разности. Член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, так как й должно обратиться в нуль в состоянии равновесия, т.е.
при ~ = й». Поэтому с точностью до членов первого порядка имеем: (81,! ) Коэффициент пропорциональности между й и с — $» должен быть отрицательным, так как в противном случае $ не стремилось бы к конечному пределу. Положительная постоянная т имеет размерность времени и может рассматриваться как время релаксации для данного процесса; чем т больше, тем медленнее происходит приближение к равновесию. В дальнейшем мы будем рассматривать процессы, в которых жидкость подвергается периодическому адиабатическому ') ежа.
тию и расширению, так что переменная часть плотности (и других термодинамических величин) зависит от времени посредством множителя е — '"', речь идет о звуковой волне в жидкости. Вместе с плотностью и другими величинами меняется также и положение равновесия, так что $» можно написать в виде 5»=5,+ в'„где е,— постоянное значение $», соответствующее среднему значению плотности, а в' — периодическая часть, пропорциональная е-'"' Написав истинное значение с в виде й= й»»+ ~', мы заключаем из уравнения (81,1), что й' тоже является периодической функцией времени и связано с $, посредством (81,2) 1 — Ът Вычислим производную от давления по плотности при рассматриваемом процессе.
Давление должно теперь рассматриваться как функция от значений плотности и величины $ в данном состоянии, а также от энтропии, которая предполагается ') Иэмененае энтропин (в состояниях, близких к равновесному) является Величиной второ~о порядка малости. Поэтому с точностью до величии первого порядка можно говорить об адиабатичнастн процесса. 1гл. шп звяк постоянной и которую мы будем для краткости просто опускать. Имеем: Согласно (8(,2) подставляем сюда З4 1 Зьо 1 З~з др др 1 — йот др 1 — 1мт др и получаем: Сумма есть не что иное, как производная от р по р при процессе настолько медленном, что жидкость находится все время в состоянии равновесия; обозначая ее посредством (др/др) „„, имеем окончательно: Пусть, далее, рз — давление в состоянии термодинамического равновесия; рз связано с другими термодинамическими величинами уравнением состояния жидкости и является при заданных плотности и энтропии вполне определенной величиной.
Давление же р в неравновесном состоянии отлично от р, и является функцией также и от ~. Если плотность получает адиабатическое приращение бр, то равновесное давление меняется на между тем как полное приращение давления есть (др/др)бр, где др/др определяется формулой (81,3). Поэтому разность р — р, между истинным и равновесным давлениями в состояние с плотностью р+ бр равна Нас интересуют здесь те изменения плотности, которые обусловлены движением жидкости. Тогда бр связано со скоростью уравнением непрерывности, которое мы напишем в виде — + рб1чу=О, лзр ВТОРАЯ ВЯЗКОСТЪ 437 4 М] где с(/с(г обозначает полную производную по времени.
При периодическом движении имеем: с(бр/й = — (в бр, и поэтому бр= —. б(чч. Р 1 О» Подставляя это выражение в р — рм получаем: тр р — р,=, . (с, '— с'„) б(чч, (81,4) где введены обозначения с» = ( — Р), с' = ( — Р), (81,5) — (р — р,)б» = . (с'„— с)б, Йчч. С другой стороны, сравнивая это с общим выражением (15,2 — 3) для тензора напряжений, в которое й(чч входит в виде ь 61чч, мы приходим к результату, что наличае медленных процессов установления равновесия махроскопически эквивалентно наличию второй вязкости, равной та = — (с' — с,'). (81,6) На обычную же вязкость и эти процессы не влияют.
При процессах, настолько медленных, что тв (( 1, ь равно ь, = тр (с' — с»т) (81,7) 7 растет с увеличением времени релаксации т в согласии со сказанным выше. При больших частотах ь оказывается функцией частоты, т. е. обнаруживает дисперсию. Рассмотрим теперь вопрос о том, каким образом влияет наличие процессов с большим временем релаксации (для определенности будем говорить о химических реакциях) на распространение звука в жидкости. Для этого можно было бы исходить из уравнения движения вязкой жидкости с 1., определяемым формулой (81,6). Проще, однако, рассматривать движение формально как не вязкое, но с давлением р, определяющимся не уравнением состояния, а полученными здесь формулами. 'Тогда все известные нам уже из й 64 общие соотношения остаются формально применимыми.
В частности, связь волнового век- смысл которых выяснится ниже. Для того чтобы связать полученные выражения с вязкостью жидкости, напишем тензор напряжений ом. В этот тензор давление входит в виде члена — рб,», Выделяя отсюда давление р,, определяющееся уравнением состояния, находим, что в неравновесном состоянии в а„ входит дополнительный член «гл. чмо звук тора с частотой по-прежнему определяется формулой й = оо/с, где с=(др/др) но, причем производная др/др равна выражению (81,3).
(Величина с не имеет, однако, теперь смысла скорости звука уже хотя бы потому, что она комплексна.) Таким образом, получаем: о 1 — Ссот 2 2 со — с Есо« (81,8) Определяемый этой формулой «волновой вектор» является величиной комплексной, Легко выяснить смысл этого обстоя- тельства. В плоской волне все величины зависят от координаты х (в направлении распространения) посредством множителя е'о~.
Написав й в виде й = й~+ 1йо с вещественными й, и йо, получаем е1»" =е'о', -о", т. е. наряду с периодическим множителем е'о" получается также затухающий множитель е-":" (йо должно быть, конечно, положительным), Таким образом, комплекс- ность волнового вектора является формальным выражением того, что волна затухает, т. е. имеет место поглощение звука. При этом вещественная часть комплексного «волнового век- тора» определяет изменение фазы волны с расстоянием, а мни- мая его часть есть коэффициент поглощения. Нетрудно отделить в (81,8) вещественную и мнимую части; в общем случае произвольных <о выражения для й~ и хо довольно громоздки, и мы не выписываем их здесь.
Существенно, что й~ (как и й,) является функцией частоты. Таким образом, если в жидкости могут происходить химические реакции, то распространение звука с достаточно большими частотами) сопровождается дисперсией. В предельном случае малых частот (сот « 1) формула (81 8) дает в первом приближении й = со/со, что соответствует рас- пространению звука со скоростью со, Так, разумеется, и должно было быть: условие сот « 1 означает, что период 1/оо звуковой волны велик по сравнению со временем релаксации; другими словами, установление химического равновесия практически ус- певает следовать за колебаниями плотности в звуковой волне, и поэтому скорость звука должна определяться равновесной произьодной (др/др)р„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
