Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 90
Текст из файла (страница 90)
$ 122). удАРные Волны 1гл, !х точки О возмущения. Ветви же В'О и А'О можно назвать приходящими в точку О; область А'ОВ' между ними есть та область течения, которая может влиять на движение в точке О. Понятие о характеристиках (в трехмерном случае — характеристических поверхностях) имеет и несколько иной аспект. Это †лу, вдоль которых распространяются возмущения, удовлетворяющие условиям геометрической акустики.
Если, например, стационарный сверхзвуковой поток газа обтекает достаточно малое препятствие, то вдоль отходяших от этого препятствия характеристик расположится стационарное возмушение движения газа. К этому результату мы пришли еше в $68 при изучении геометрической акустики движущихся сред. Говоря о возмущении состояния газа, мы подразумеваем слабое изменение каких-либо характеризующих это состояние величин: скорости, плотности, давления и т.
п. По этому йоводу необходимо сделать следующую оговорку: со скоростью звука не распространяются возмущения значений энтропии газа (при постоянном давлении) и ротора его скорости. Эти возмущения, раз возникнув,'не перемещаются вовсе относительно газа, а относительно неподвижной системы координат переносятся вместе с газом со скоростью, равной скорости каждого данного егоэлемента. Для энтропии это является непосредственным следствием закона ее сохранения (в идеальной жидкости), который как раз н означает, что энтропия каждого элемента газа остается постоянной при его перемещении. Для ротора скорости (завихренности) то же самое следует нз закона сохранения циркуляции.
Для этих возмущений характеристиками являются сами линии тока. Подчеркнем, что последнее обстоятельство не меняет, разумеется, общей справедливости высказанных выше утверждений об областях влияния, так как для них был существен лишь факт существования наибольшей возможной (равной скорости звука) скорости распространения возмущений относительно самого газа. Задача Найти соотношения между малымн изменениями скорости и термодинамических величин прн произвольном малом возмущении в однородном потоке газа. Решение.
Обозначим малые изменения величин прн возмущении сямволом б (вместо штриха, как в 5 64). В линейном по этим величинам приближении ураннепие Эйлера принимает внд дбч 1 — + (ч ч) бч + — ч бр = О д1 р (1) (ч — постоянная певозмущенная скорость потока), уравнение сохранении энтропни: — + чрбз = О, дбз дг СТАПИОНАРНЫИ ПОТОК СЖИМАЕМОГО ГАЗА 445 н уравнение непрерывности: — + чгбр+ рс'йсчЬч =О дбр дс (3) '(злесь подставлено бр=с бр+(др/дз)рбз; члены с бз выпадают в силу (2)). для возмущения вила ехр(с(йг — ас)1 находим систему алиебранческих уравнений: (чй — а) бз =О, (чй а) бч + йбрсср = О, (чй — а) бр + рс'1с Ьч = О.
Отсюда видно, что возможны два вида возмущений. В одном из них (знтропийно-вихревая волна) а чс, бзФО, бр=о, бр=~ — ) бз, йбч=о; /др ч чдз)р Это — звуковая волна с частотой, сдвинутой эффектом Доплера. Задание возмущения одной из величин в этой волне определяет возмущения всех остальных величин. В 83. Стационарный поток сжимаемого газа Уже непосредственно нз уравнения Бернулли можно получить ряд общих результатов, касающихся произвольного адиабатического стационарного движения сжимаемого газа. Уравнение Бернулли для стационарного движения гласит у пс+ 2 =сопи( где сопз( — величина, постоянная вдоль каждой из линий тока (если же движение потенциально, то сопи( одинакова и для разных линий тока, т. е, во всем объеме жидкости).
Если на одной линии тока есть точка, в которой скорость газа равна нулю, то можно написать уравнение Бернулли в виде оз пг+ — = ше, 2 (83,1) где ше — значение тепловой функции в точке с О = О. Уравнение сохранения энтропии при стационарном движении сводится к чЧЗ = одз/д( = О, т. е. з = сопи(, где сопи( есть опять величина, постоянная вдоль линии тока, Напишем это уравнение в виде, аналогичном (83,1): (83,2) отлична от нуля также н завихренность го1 бч = сййбч).
Возмущения бз я бч в этой волне независимы, Равенство а = чй означает перенос возмущения движущимся газом. В другом типе возмущений (а — ч)с)'=с'й', ба=о, бр=с'бр, (а — чй) бр =рсзйбч, ()сбч1 =О. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 1ГЛ. !Х Из уравнения (83,1) видно, что скорость о больше в тех местах, где тепловая функция ти меньше. Максимальное (вдоль данной линии тока) значение скорость имеет в точке, в которой тр минимально. Но при постоянной энтропии имеем с(пг= г(р/р; поскольку р ) О, то дифференциалы г(п! и з(р имеют одинаковые знаки и потому изменение гн и р направлено всегда в одну сторону. Следовательно, можно сказать, что вдоль линии тока скорость всегда падает с увеличением давления, и наоборот.
Наименьшее возможное значение давление и тепловая функция получают (при адиабатическом процессе) при равной нулю абсолютной температуре Т= О. Соответствующее значение давления есть р=О, а значение ю при Т=О примем условно за нулевое значение, от которого отсчитывается энергия; тогда будет и ю =О при Т= О. Из (83,1) заключаем теперь, что наибольшее возможное значение скорости (при заданном значении термодинамических величин в точке с о = О) равно ааааа т/2 о (83,3) о!(п+ — =О и'р Р между дифференциалами с(о и с(р.
Написав г(р = сзг(р, имеем отсюда а!р ро оо сз (83 4) н затем: (83,5) Отсюда видно, что по мере возрастания скорости вдоль линии тока плотность потока возрастает до тех пор, пока скорость остается дозвуковой. В области же сверхзвукового движения плотность потока падает с увеличением скорости и обращается в нуль вместе с р при о = о ,„ (рис. 52). Это существенное различие между до- и сверхзвуковыми стационарными потоками может быть истолковано наглядно еще и следующим образом.
В дозвуковом потоке линии тока сближаются друг с другом в ') В действительности, извечно, пра сильном понижении температуры должна произзйти Койдеисацйй газа и образование двухфазной системы— тумана. Эта скорость может достигаться при стационарном вытекании газа в вакуум '). Выясним теперь характер изменения вдоль линии тока плотности потока жидкости 1=ро. Из уравнения Эйлера (УЧ)У= = — Чр/р находим, что вдоль линии тока имеет место соотноше- ние % оз1 СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК СЖИМАЕМОГО ГАЗА 447 направлении увеличения скорости. При сверхзвуковом же движении линии тока расходятся по мере увеличения скорости.
Поток 1' имеет максимальное значение /„ в точке, в которой скорость газа равна местному значению скорости звука: !. =Р,с„ (83,6) где буквы с индексом, показывают значения соответствующих величин в этой точке. Скорость О, =с, называют критической, 877 а,га а,аа 7,аа ~,аа г,аа гйа Рис. 52 В общем случае произвольного газа критические значения величин могут быть выражены через значения величин в точке с о = 0 в результате совместного решения уравнений С э.=зо ш.+ шо ° 2 (83,7) Очевидно, что всякий раз, когда число М = о/с 1, мы будем также. иметь о/с„( 1, а когда М ) 1, то и о/с, ) 1.
Поэтому в данном случае отношение М, = о/с, может служить критерием, аналогичным числу Маха, и даже более удобным, поскольку с, есть величина постоянная в противоположность скорости с, меняющейся вдоль потока. В применениях общих уравнений гидродинамики особое место занимает термодинамически идеальный газ. Говоря о таком газе, мы будем всегда (за исключением только особо оговоренных случаев) считать, что его теплоемкость является постоянной величиной, не зависящей от температуры (в интересующей нас температурной области). Такой газ часто называют политропноып мы будем пользоваться этим термином, имея в виду подчеркнуть каждый раз, что речь идет о предположении, идущем гораздо дальше термодинамической идеальности. Для политропного газа известны все соотношения между термодинамическими величинами, выражающиеся к тому же весьма простыми формулами; это часто дает возможность до конца решать уравнения гидродинамики. Выпишем здесь, для справок, эти соотноше* рия, которыми нам неоднократно придется пользоваться в даль.
нейшем, 44В удАРные волны 1ГЛ. 1Х Уравнение состояния термодинамически идеального газа гласит Ф' = р/р = ИТ/(з, (83,8) где Я = 8,3!4 1О' эрг/К моль — газовая постоянная, а р — молекулярная масса газа. Скорость звука в таком газе была вычислена в 5 64 и дается формулой с' = уРТ/и = у р/р, (83,9) где введено отношение теплоемкостей у = ср/с„. Это отношение всегда болыце единицы, а для политропного газа оно постоянно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
