Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Из сравнения этого уравнения с уравнением (86,1) ударной аднабаты вблизи точки ! видно, что обе кривые касаются в этой точке, причем имеет место касание второго порядка — совпадают не только первые, но и вторые производные. Для того чтобы выяснить взаимное расположение обеих кривых вблизи точки ), воспользуемся тем, что согласно (86,1) и (86,2) при рз > р| на ударной адиабате должно быть зз ) хь между тем как на адиабате Пуассона остается зт = зь Поэтому абсцисса точки на ударной адиабате должна быть прн той же ординате рз больше абсциссы точки на адиабате Пуассона.
Это следует из того, что согласно известной термодинами- ческой формуле энтропия растет с увеличением объема прн постоянном давлении — для всех тел, которые расширяются при нагревании, т. е. у которых (д7удТ)Р)О. Аналогично убеждаемся в том, что ниже точки ! (т.
е. прн Рз «Р1) абсциссы точек адиабаты Пуассона должны быть больше абсцисс ударной адиабаты. Таким образом, вблизи точки своего касания обе кривые расположены указанным на рис. 55 образом (НН' — ударная адиабата, а РР'— адиабаты Пуассона)' ), причем в силу (86,2) обе обращены вогнутостью вверх. ') Для политропного газа Это аыражеиие проше всего можно получить путем дифференцирования урааиения аднабаты Пуассона р'г'т = сонм. ') Так, зто может иметь место а области аблизн критической точки жидкость — газ. Ситуация с нарушением услоаня (88,2) может быть также имитирована на ударной адиабате для среды, допускавшей фазовый переход 1а результате чего иа адиабате аозникает излом).
См. об атом а книге: Зельдоаич я. Б,, Райзер Ю. П. Физика ударных воли и аысокотемпературиых гидродииамических калений. — Изд. 2-е. — Мл Наука. 1988, гл. 1, $19; гл. Х1, й 20. з) При (д'г!дт), ( О расположение обеих кривых было бы обраткым, 482 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ [гл.
гх При малых Рт — Р~ и Ут — У, формулу (85,6) можно написать в первом приближении в виде 1е--(Ф). мы пишем здесь производную прн постоянной энтропии, имея виду, что касательные к адиабатам Пуассона н ударнол в точке 1 совпадают). Далее, скорости п1 н пз / в том же приближении одинаковы и равны ='= ч'-'('~). = Й вЂ”.,"). Но это есть не что иное, как скорость звука с. Таким образом, скорость распространения ударных волн слабой интенсивности совпадает в первом приближении со ско,у ростью звука: о = с. (86,3) Рис.
бб Из полученных свойств ударной адиаба- ты в окрестности точки 1 можно вывести ряд существенных следствий. Поскольку в ударной волне должно выполняться условие зз ) зн то должно быть и Рз ьРь т. е. точки 2 (Рп Уз) должны находиться выше точки 1. Далее, поскольку хорда 12 идет круче касательной к адиабате в точке 1 (таис. 53), а тангенс угла наклона этой касательной равен производной (др,/дУ~)сн имеем: ~>-(Ж)., Умножая зто неравенство с обеих сторон на У~, находим: где с| — скорость звука, соответствующая точке 1. Таким обрааом, О~ '-» Сь Наконец, из того, что хорда 12 расположена менее круто, чем касательная в точке 2, аналогичным образом следует, что пз сз ').
') Последняя аргументання применима только вблизи точки 1, где тангенс угла наклона касательной к ударной адиабате в точке 2 отличается от производной (дрпдУз) и лишь иа величину второго порядка малости. Упомянем еще, в заключение, что при (да)г/дра), < 0 из условна зз) з1 для ударных волн слабой интенсивности следовало бы Рз < Рь а длЯ скоРостей — те же неРавенства о, ) сь оя < сь й 87. Направление изменения величин в ударной волне Таким образом, в предположении положительности производной (86,2) для ударных волн слабой интенсивности можно весьма просто показать, что условие возрастания энтропии с необходимостью приводит также и к неравенствам (87,1) (87,2) Ра > Рь о~ >сь па< са.
Из замечания, сделанного по поводу формулы (85,6) следует, что если Ра ) Рь то )га < )гь (87,3) а поскольку)= о~/)г~ = пг/1'а, то и') П1 > Оз. (87,4) Неравенства (87,1) и (87,3) означают, что при прохождении газа через ударную волну происходит его сжатие — его давление и плотность возрастают. Неравенство п~ » с~ означает, что ударная волна движется относительно находящегося перед ней газа со сверхзвуковой скоростью; ясно поэтому, что в этот газ не могут проникнуть никакие исходящие от ударной волны возмущения. Другими словами, наличие ударной волны вовсе не сказывается на состоянии газа впереди нее. Покажем теперь, что все неравенства (87,1 — 4) справедливы и для ударных волн произвольной интенсивности — при том же предположении о знаке производной (дз)г/дрз), а).
Величина 1' определяет наклон хорды, проведенной из начальной точки ударной адиабаты 1 в произвольную точку 2 ( †)з есть тангенс угла наклона этой хорды к оси )г). Покажем, прежде всего, что направление изменения этой величины при перемещении точки 2 вдоль адиабаты однозначно связано с направлением изменения энтропии за при том же перемещении. ') Если перейти в систему отсчета, в которой газ 1 перед ударной волной покоится, а волна движется, то йеравенство о, ) о, означает, что газ позади ударной волны будет двигаться (со скоростью о, — о,) в ту же сторону, куда движется сама волна.
') Йеравенства (97,1 — 4) были получены для ударных воли произвольной интенсивности в политропном газе л(уса (Е. !оийией 1904) н Цезтлвном (О. Яеягр1еп, 1905). Излагаемое ниже доказательство для произвольной среды дано Л. Д. Ландау (!944). 4 ап илппдвлпнин изживания вилянии в нддпноп волин 4бз [гл. гх удхгные Волны Продифференцируем соотношения (85,5) и (85,8) по величинам, относящимся к газу 2 при заданном состоянии газа !. Это значит, что дифференцируются рь ~'г, гпг и ! при заданных значениях рь )'ь гаь Из (85,5) получаем: г(р + ! Л! = % — )г ) с( (! ), (87,5) а из (85,8): с(гиг + ! )' г '(" г = 2 () 1 ) г) с( (! ) или, раскрыв дифференциал с(юг. Тг йзг + "'г ~АРг+ ! с("'г) = 2 () — Уг) с( (! ).
Подставив сюда с(рг+ )гс(у'г из (87,5), получим соотношение 2 ( ! (87,6) Отсюда видно, что с((7е)/с(зг > О, (87,7) т. е. )г и зг меняются в одинаковом направлении. Дальнейшие рассуждения имеют своей следующей целью показать, что на ударной адиабате не может быть точек, в которых бы она касалась проведенной из точки ! прямой (как это имело бы место в точке О на О рис. 56.
В такой точке угол наклона хорды (проведенной нз точки !) имеет минимум, а !' — соответственно максимум, и потому (()г) ! (рг = 6. Из соотношения (87,6) видно, что в таком У случае будет и Рис. 56 с(гг/г(рг = О. Далее, вычислим пРонзводнУ|о Н()г)/с!Рг в пРоизвольной точ- ке ударной адиабаты. Подставив в соотношение (87,5) дифференциал с!)!г в виде ~дл, )," г~ (д.г ! взяв для Нзг выражение (87,6) н разделив все равенство на с(рг, получим д (!') (87,8) ' ! 27г ( йгг )рД Отсюда видно, что обращение этой производной в нуль влечет за собой также и равенство с д)тз 'т оз 1+)2( — ) =1 — —,=О, андре ~ Сз т. е. оз — — сз. Обратно, из равенства от = сз следует, что производная й()2)/йрз = 0; последняя могла бы не обратиться в нуль, лишь если бы вместе с числителем в (87,8) обратился бы в нуль также и знаменатель; но выражения в числителе и знаменателе представляют собой две различные функции точки 2 на ударной адиабате, их одновременное обращение в нуль могло бы произойти лишь чисто случайно и потому невероятно ').
Таким образом, все трн равенства — =О, — =О, о=с д (!') Лзз чрт чрт 2 2 (87,9) являются следствиями друг друга и имели бы место одновременно в точке О на кривой рис. 58 (имея в виду последнее из этих равенств, будем условно называть такую точку звуковой), Наконец, для производной от (оз/сз)' в этой точке имеем ! = ! Ввиду предполагаемой везде положительности производной (дз)7/дрз), имеем, следовательно, в звуковой точке: — — < О. д ос чрт С2 (87, 10) Теперь уже легко доказать невозможность существования звуковой точки на ударной адиабате. В точках, лежащих вблизи начальной точки ! над ней, имеем оз сз (см. конец предыдущего параграфа). Поэтому равенство оз сз может быть достигнуто лишь при увеличении оз/сз, другими словами, в звуковой точке должно было бы быть в(оз/сз)/йрз) О, между тем как согласно (87,10) мы имеем как раз обратное неравенство.
Аналогичным образом можно убедиться в невозможности обращения оз/с, в единицу и на нижней части ударной адиабаты, под точкой !. Имея в виду доказанную таким образом невозможность существования звуковых точек, можно заключить непосредственно из графика ударной адиабаты, что угол наклона хорды 72 уменьшается при передвижении точки 2 вверх по кривой, а !' соот- ') Подчеркнем, во избежание недоразумений, что сама производная д(Р)7дрз не является еизе одной независимой функцией точки 3; выражение (87,В) есть ее определение. 4 ЗП НАПРАВЛЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН В УЛАРНОИ ВОЛНЕ 465 ударныв Волны (Гл. !х ветственно монотонно возрастает; ввиду неравенства (87,7) отсюда следует, что монотонно возрастает и энтропия зз.
Таким образом, при соблюдении необходимого условия за > а! будет ирз) р>. Легко, далее, убедиться в том, что на верхней части ударной адиабаты справедливы также и неравенства па ~ сж и! ) сь Первое следует прямо из того, что оно справедливо вблизи точки 1, а сделаться равным единице отношение оа/са нигде не может. Второе следует из того, что ввиду невозможности такого перегиба адиабаты, какой изображен на рис. 56, всякая хорда из точки 1 в находящуюся над ней точку 2 расположена более круто, чем касательная к ударной адиабате в точке!.
Таким образом, на верхней части ударной адиабаты выполняются условие зз ~ з, и все три неравенства (87„1 — 2). Наоборот, на нижней части адиабаты все эти условия не выполняются. Следовательно, все этн условия оказываются эквивалентными друг другу и выполнение одного из них автоматически влечет за собой также и выполнение всех остальных. Напомним лишний раз, что в изложенных рассуждениях все время предполагалось выполненным условие положительности производной (дз(>/дра),, Если эта производная могла бы менять знак, то из необходимого термодинамического неравенства зз ~ з! уже нельзя было бы сделать никаких универсальных заключений о неравенствах для остальных величин.
ф 88. Эволюционность ударных волн Вывод неравенств (87,! — 4) в Ц 86, 87 был связан с определенным предположением о термодинамических свойствах среды — с положительностью производной (д'1'/др'),. Весьма существенно, однако, что неравенства п,)с>, оа(сэ (88,1) для скоростей могут быть получены также и из совершенно иных соображений, показывающих, что ударные волны с нарушенными условиями (88,1) все равно не могли бы существовать, даже если бы это не противоречило изложенным выше чисто термодинамическим соображениям ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
