Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 89
Текст из файла (страница 89)
В следующем приближении имеем: й = — + 1 — 3 (со — сД, со зсо (81,9) т. е. появляется затухание с коэффициентом, пропорциональным квадрату частоты. С помощью (81,7) мнимую часть й можно написать в виде й. =«РЬо/2рсоо; это совпадает с зависящей от ь частью коэффициента поглощения Т (79,6), полученного без учета дисперсии. Втогхя вязкость 439 В обратном предельном случае больших частот (сэт » 1) имеем в первом приближении й = 2з/с, т.
е. распространение звука со скоростью с — результат опять-таки естественный, поскольку при вт » ! можно считать, что за время одного периода реакция вовсе ие успевает произойти; поэтому скорость звука должна определяться производной (др/др)м взятой при постоянных концентрациях. В следующем приближении имеем: 2 2 Е, С вЂ” СС й= — +1 3 С 2ЧС (81,10) Коэффициент поглощения оказывается не зависящим от частоты.
При переходе от сз « 1/т к сз » 1/т этот коэффициент монотонно возрастает, стремясь к постоянному значению, определяемому формулой (81,10). Заметим, что величина я2/л2, характеризующая поглощение на расстоянии, равном длине волны, оказывается в обоих предельных случаях малой (й2/А! « 1); она имеет максимум при некоторой промежуточной частоте (равной ет = ъ/сс/с„). Уже из формулы, например, (81,7) видно, что (81, 11) С >Са (81,12) (поскольку должно быть Ь ) О).
В том же самом можно убедиться с помощью простых рассуждений на основании принципа Ле-Шателье. Предположим, что под влиянием внешнего воздействия объем системы уменьшается (а плотность увеличивается). Этим система выводится из состояния равновесия, и согласно принципу Ле-Шателье в ней должны начаться процессы, стремящиеся уменьшить давление.
Это значит, что величина др/др будет уменьшаться, и когда система вновь вернется в состояние равновесия, значение др/др = с2 будет меньшим, чем оно было в неравновесном состоянии. При выводе всех формул мы предполагали, что имеется всего один медленный внутренний процесс релаксации.
Возможны также и случаи, когда имеется одновременно несколько различных таких процессов. Все формулы могут быть без труда обобщены иа такой случай. Вместо одной величины $ мы будем иметь теперь ряд величин З„$2, ..., характеризующих состояние тела, и соответственно ряд времен релаксации т!, тм ... Выберем величины ~„таким образом, чтобы каждая из производных 5, зависела только от соответствующего $„, т.
е. чтобы было ~гл. щы звтк Вычисления, вполне аналогичные предыдущим, к формуле с' = с' + ~, —. ап ~! — нвтч ' л приводят тогда (81,13$ где ст =~ — ~, а постоянные а„равны тлях ~ др )с' (81,14) При всего одной величине $ эта формула, как и должна быть, переходит в формулу (81,3). ГЛАВА ГХ УДАРНЪ|Е ВОЛНЫ й 82. Распространение возмущений в потоке сжимаемого газа Когда скорость движения жидкости делается сравнимой со скоростью звука или превышает ее, на передний план выдвигаются эффекты, связанные с сжимаемостью жидкости. С такого рода движениями приходится на практике иметь дело у газов. Поэтому о гидродинамике больших скоростей говорят обычно как о газодиналхике, Прежде всего следует заметить, что в газодинамике практически всегда приходится иметь дело с очень большими значениями числа Рейнольдса.
Действительно, кинематическая вязкость газа, как известно из кинетической теории газов, — порядка величины произведения длины свободного пробега молекул ) иа их среднюю скорость теплового движения; последняя же совпадает по порядку величины со скоростью звука, так что т — сй Если характеристическая скорость газодинамической задачи — порядка величины скорости звука или больше, то число Рейнольдса хт — Ьи/н — Еи/|с, т. е.
содержит заведомо очень большое отношение характеристических размеров ь к длине свободного пробега )'). Как всегда, при очень больших значениях хт вязкость оказывается не существенной для движения газа практически во всем пространстве, и в дальнейшем мы везде (за исключением лишь особо оговоренных мест) рассматриваем газ как идеальную (в гидродинамическом смысле слова) жидкость.
Движение газа имеет существенно различный характер в зависимости от того, является ди оно дозвуковым или сверхзвуковым, т. е, меньше или больше его скорость, чем скорость звука. Одним из наиболее существенных принципиальных отличий сверхзвукового потока является возможность существования в нем так называемых ударных волн, свойства которых будут подробно рассмотрены в следующих параграфах.
Здесь же мы рассмотрим другую характерную особенность сверхзвукового движения, связанную со своиствами распространения в газе малых возмущений. ') Мы не рассматриваем вопроса о лвиження тел в очень разреженных газах, в которых ллниа пробега молекул сравнима с размерами тел. Этот вопрос по существу не является гндродвнамичсскоа проблемой и должен рассматриваться с помощью кинетнческоя теории газон. 442 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ (гл. !к Если в каком-нибудь месте стационарно движущийся газ подвергается слабому возмущению, то влияние этого возмущения распространяется затем по газу со скоростью (относительно самого газа), равной скорости звука. Скорость же распространения возмущения относительно неподвижной системы координат складывается из двух частей: во-первых, возмущение сносится потоком газа со скоростью ч и, во-вторых, распространяется относительно газа со скоростью с в некотором направлении п. Рассмотрим для простоты однородный плоско-параллельный поток газа с постоянной скоростью ч.
Пусть в некоторой (неподвижной в пространстве) точке О газ подвергается малому возмущению. Скорость ч+ сп распространения исходящего из точки О возмущения (относительно неподвижной системы координат) различна в зависимости от направления единичного вектора п. Все возможные ее значения мы получим, отложив из точки О вектор ч, а из его конца, как из центра, построив сферу радиуса с; векторы, проведенные из О в точки этой сферы, и определят возможные величины н направления скорости И распространения возмус„ щения. Предположим сначала, что а ( с.
Тогда векторы ч+ сп могут иметь любое направлеа! ние в пространстве (рис. 50, а). Другими словами, в дозвуковом потоке возмущение, исходящее из некоторой точки, распространяется в конце концов по всему газу. Напротив, в сверхзвуковом потоке, и > с, направления векторов ч+ сп, как видно из рис, 50,б, могут лежать только внутри конуса с вершиной в точке О, касающегося построенной из конца вектора ч, как из центра, сферы, Для угла раствора 2а этого конуса имеем, как видно из чертежа; б> з(п а =с/и. (82,1) (82,2) Таким образом, в сверхзвуковом потоке исходящее нз некоторой точки возмущение распространяется только вниз по течению внутри конуса с углом раствора тем меньшим, чем меньше отношение с/и, На всей области потока вне этого конуса возмущение в точке О не отразится вовсе.
Определяемый равенством (82,1) угол называют углом Маха. Отношение же э/с, вегьма часто встречающееся в газодинамике, называют числом Маха: эвз1 Рлсппостнлнвнии возму!нянин поверхность, ограничивающую область, которую достигает исходящее из заданной точки возмущение, называют поверхностью Маха или характеристической поверхностью. В общем случае произвольного стационарного течения эта поверхность не является уже конической во всем объеме потока. Можно, однако, по-прежнему утверждать, что она пересекает в каждой своей точке линию тока под углом, равным углу Маха. Значение же угла Маха меняется от точки к точке соответственно изменению скоростей о и с.
Подчеркнем здесь, кстати, что при движении с большими скоростями скорость звука различна в разных местах газа — она меняется вместе с термодинамическими величинами (давлением, плотностью и т. д.), функцией которых она является'). О скорости звука как функции координат точки говорят как о местной скорости звука. Описанные свойства сверхзвукового течения придают ему характер, совершенно отличный от характера дозвукового движеяия. Если дозвуковой поток газа встречает на своем пути какое-либо препятствие, например, обтекает какое-либо тело, то наличие этого препятствияизменяетдвижение во всем простпан. стве как вверх, так и вниз по течению; влияние обтекаемого тела исчезает лишь асимптотически при удалении от тела. Сверхзвуковой же поток натекает на препятствие «слепо»; влияние обтекаемого тела простирается лишь Ю В на область вниз по течению т), Ф а во всей остальной области пространства вверх по течеяню газ движется так, как если бы никакого тела вообще не было.
В случае плоского стационаряого течения газа вместо харак- Я теристических поверхностей мож- Рнс. 51 но говорить о характеристических линиях (или просто характеристиках) в плоскости движения. Через всякую точку О этой плоскости проходят две характеристики (АА' н ВВ' на рис. 51), пересекающие проходящую через эту же точку линию тона под углами, равными углу Маха. Ветви ОА и ОВ характеристик, направленные вниз по течению, можно назвать исходящими из точки О; они ограничивают область АОВ течения, на которую могут влиять исходящие из г) При изучении звуковых воли в главе Ъ'П1 мы могли считать скорость звука постояиноть ') Во избежаггае недоразумений оговорим, что если перед обтекаемым телом возникает ударная волна, то вта область несколько увеличивается (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
