Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 84
Текст из файла (страница 84)
р рст А ' р рст В Умножим первое уравнение на р', а второе на р', и вычтем второе из первого. Получаем: УРА . ~тРВ . РВ чРА РА чРВ р' йч — — р' йи — = йч( — — — ) =О. В р А Проинтегрируем это уравнение по объему, заключенному между бесконечно удаленной замкнутой поверхностью С и двумя малыми сферами Сл и Св, окружающими соответственно точки А и В. Объемный интеграл преобразуется в интеграл по этим трем поверхностям, причем интеграл по С обращается в нуль, поскольку на бесконечности звуковое поле исчезает.
Таким образом, получим: (гл. упг ЗВУК Интеграл ~ чгА ог представляет собой количество жидкости, СА протекающей через поверхность сферы СА в единицу времени, т. е. изменение (в 1 сек.) объема пульсирующего источника звука. Поскольку источники в точках А и В тождественны, то ясно, что ~ ул г)1= ~ ув дг~ СА св и, следовательно, рд (В) = р' (А). (76,4» Это равенство представляет собой содержание так называемого принципа взаимности: давление, создаваемое в точке В источником, находящимся в точке А, равно давлению, создаваемому в А таким же источником, находящимся в В.
Подчеркнем, что этот результат относится, в частности, и к тому случаю, когда среда представляет собой совокупность нескольких различных областей, каждая из которых однородна. При распространении звука в такой среде на поверхностях раздела различных областей происходит отражение и преломление. Таким образом, принцип взаимности применим и в тех случаях, когда иа пути своего распространения от точки А к В и обратно волна испытывает отражения и преломления. Задача Вывести принцип взаимвости для дипольного звукового излучеияя, создаваемого источником, совершающим колебания без изменения своего объема. Р еще и не.
В данном случае чапе=О СА и при вычислении иитегралов в (76,3) необкодимо учесть следующее приближение. Дли этого пишем с точиостью до члеиов первого порядка Рв = Рв (А) + г г)рв (2) где г — радиус-вектор из точки А В интеграле / I ~ тРВ з РА р )~~) СА (3) Но Чр'/р = — дч/д(; поэтому это равенство можно переписать в виде рн(А) Г ~ улгп=р'„(В) ВГ ~ увит. СА СЛ 4!3 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА ПО ТРУБКЕ в оба члена имеют теперь одинаковый порядок величины. Подставляя сюда ра нз (2) и учитывая (1), получим в I 'в(г трл) РА ' РН ~ 41 I Далее, выносим почти постоянную величину Урн= — Ртн из-под знака интеграла, заменив ее значением в точке А; г / Рлтн (А) ~ ( — Л вЂ” г ( — а(Л А (рв — плотность среды в точке А).
Для вычисления этого интеграла замечаем, что вблизи источника жидкость можно считать несжимаемой (см. й 74). н потому для давления внутри малой сферы Св можно написать согласно (11,1) Аг Рл= РФ=Р В монохроматической волне ч = — !ют, А = — (юА; вводя также единичный вектор пв в направлении вектора А дли источника, находящегося в точке А, найдем, что интеграл (3) аропорцнонален по величине Раув(А)п . Аналогично интеграл по сфере Св будет пропорционален — рвчв(В)пв с тем же коэффициентом пропорциональности.
Приоавнивая их сумму нулю, найдем искомое соотношение рвтв(А)пв = рвтв(В)пв, выражающее собой принцип взаимности для дипольного звукового излучения. $77. Распространение звука по трубке Рассмотрим распространение звуковой волны вдоль длинной узкой трубки. Под узкой подразумевается трубка, ширина которой мала по сравнению с длиной волны. Сечение трубки может меняться вдоль ее длины как по форме, так н по площади. Важно только, чтобы это изменение происходилодостаточно медленно, — плошадь 5 сечения должна мало меняться на расстояниях порядка ширины трубки.
В этих условиях можно считать, что вдоль каждого поперечного сечения трубки все величины (скорость, плотность и т. п.) постоянны. Направление же распространении волны можно счи'тать везде совпадающим с направлением оси трубки. Уравнение, определяющее распространение такой волны, удобнее всего вывести методом, аналогичным примененному в $ 12 для вывода уравнения распространения гравитационных волн в каналах, ~гл, шп зврк В единицу времени через сечение трубки проходит масса Зрп жидкости. Поэтому количество (масса) жидкости в объеме между двумя бесконечно близкими поперечными сечениями трубки уменьшается в 1 с на (8ОР)ххах (о "Р)х = дх (координата х вдоль оси трубки).
Поскольку самый объем между обоими сечениями остается неизменным, то это уменьшение. может произойти только за счет изменения плотности жидкости. Изменение плотности в единицу времени есть — , а соответдр д! ' ствующее уменьшение массы жидкости в объеме 5 ох между двумя сечениями равно — 3 — Нх, др д1 Приравнивая оба выражения, получаем уравнение др д (дрх) (77,1) д1 дх представляющее собой уравнение непрерывности для жидкости в трубке. Далее, напишем уравнение Эйлера, опуская в нем квадра. тичный по скорости член: 1 др (77,2) дГ р дх Продифференцируем (7?,1) по времени; при дифференцировании правой части этого уравнения надо считать р ке зависящим от времени, так как при дифференцировании р возникает член, содержащий и — = с — и потому малый второго порядка.
Тадр др' дГ дГ ким образом, Подставляем сюда для до/о1 выражение (77,2), а стоящую слева производную от плотности выражаем через производную от давления согласно р = р/сз. В результате получаем следующее уравнение распространения звука в трубке: (77,3) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА ПО ТРУБКЕ 416 В монохроматической волне р ') зависит от времени посредством множителя е-' ', и (77,а) переходит в —,' —,' Рф)+ й'р=о (77,4) (й = ю/с — волновой вектор). Наконец, остановимся на вопросе об излучении звука из открытого конца трубки.
Разность давлений между газом в конце трубки и газом в окружающем трубку пространстве мала по сравнению с разностями давлений внутри трубки. Поэтому в качестве граничного условия на открытом нонце трубки надо с достаточной точностью потребовать обращения давления р в нуль. Скорость же газа о у конца трубки при этом оказывается отличной от нуля; пусть оо есть ее значение здесь. Произведение Юоо есть количество (объем) газа, выходящего в единицу времени из конца трубки, Мы можем теперь рассматривать открытый конец трубки как некоторый источник газа с производительностью Зоо.
Задача об излучении из трубки делается эквивалентной задаче об излучении пульсирующего тела, определяющемся формулой (74,10). Вместо производной Р от объема тела по времени мы должны теперь писать величину Яро. Таким образом, полная интенсивность излучаемого звука есть Р5 ба 1= —. 4яс (77,5) Задачи 1. Определить коэффициент прохождения звука при переходе его нз трубки сечения 5, в трубку сечения 5э.
Решение. В первой трубке имеем две волны — падающую р, и отрат женную ро а во второй трубке — одна прошедшая волна рт: а е11~Л-ВГ1 а е-Г1 *+В~1 Г1ЕЛ-ВГ) В месте соединения трубок (х = О) должны быть равными давления и количества 5о газа, переходящие нз одной трубки в другую. Эти условия дают I ж а, + а, =аз, 5, (а~ — а,) 5мтэ откуда 25~ Я 15+5 )) 5т 1 1от )1 45,5, 5,— 5,)' 1 5'1~~ р (5 +5э)т ),5„+ 5, ') Здесь н в задачах к этому параграфу под р подразумевается везде переменная часть давлении (которую мы раньше обозначали посредством р'). Отношение 0 потока энергии в прошедшей волне к потоку энергии в падаю. щей волне равко (гл. шп 4(б звук 2.
Определить количество энергии, излучаемой из открытого конца цн. линдрической трубки. Р е шеи не. В граничном условии р = 0 на открытом конце трубки мож. но приближенно пренебречь излучаемой волной (мы увидим, что внтенснаность излучения из конца трубки мала). Тогда имеем условие р, — рп т где р, н р, — давления в падающей волне н в волне, отраженной обратно т в трубку; для скоростей будем соответственно иметь о, = он так что сум.
т марная скорость на выходе из трубки есть оэ=о!+ о, 2оп Поток энергии в падающей волне равен е5ро! — — '/4е5роэ. С помощью (77,б) получаем для г ! г отношения излучаемой энергии к потоку в пакающей волне 5мг В яе' ' Зля трубки кругового сечения (радиуса Я) имеем /У = кама/сз. Поскольку по предположению )7 ск с/м, то /У ~ 1. 3. Одно из отверстий цилиндрической трубки закрыто излучающей звук мембраной, совершаю!цсй заданное колебательное движение; другой конец трубки открыт. Определить излучение звука нз трубки. Решение, В общем решении (аеш* ( Ье-шх)е-'м! тм! определяем постоянные а и Ь из условий и и (и=и,е — заданная скорость колебаний мембраны) на закрытом конце трубки (х 0) н условия р = 0 на открытом конце (х = !).
Эти услония дают ае!ь +Ье =0 а — Ь=сри,. !л! -ш! Определяя а и Ь, находим для скорости газа на открытом конце трубки ве. личину пе = и/сов ай Если бы трубки не было, то интенсивность излучения колеблющейся мембраной определялась бы средним квадратом 5г!и(г= = 5гмг(и(г согласно формуле (7450) с 5и вместо )т; 5 — площадь поверхности мембраны. Излученне же изконцатрубкнпропорционально 5г)ое('мг. Коэффициент усиления звука трубкой есть 5г)о )' 1 А — е 5г ) и (г созе й! ' Он обращается в бесхонечность при частотах колебаний мембраны, равных собственным частотам трубки (резонанс); в действительности, конечно, он все же остается конечным благодаря наличию эффектов, котсрымн мы пренебреглп (например, трения, влияния излучения звука).
4. То же для конической трубки (мембрана закрывает меньшее нз от. версткй трубки). Решен ие. Для сечения трубки имеем 5 = 5ехг, меньшему н большему отверстиям трубки пусть соответствуют значения х, н х, координаты х, так что длина трубки есть ! = хь — хь Обпгее решение уравнения (77,4) есть (аешх ( Ье-сах) е-!мг, ! х а н Ь определяются нз условий о = и при х = х, и р = 0 пря х = хз Для коэффициента усиления получаем: 5эхг(~г~ Ь хг А — г 4 5эх! ( и)г (з!п й!+ Ьх, сов й!)г РАССЕЯНИЕ ЗВУКА 417 б. То же для трубки, сечение которой меняется вдоль ее длины по эскпоненциальному закону 5 =* дяео".
Решение. Уравнение (77,4) приобретает аид дар др — +а — +Ар-б, дкз дл откуда аз р = а еа!2(оегтк+ Ьа-г™я) а-!м! ш (й! 4 ) Определяя н и Ь из условий о = и при к О и Р = О при л = !, накодим для коэффициента усиления лев "(оо) д,'1 )з Еи! 'ь2 ) при й) а/2 и е! А= при Ь ( а/2. й 78. Рассеяние звука ') В то же время требуется, чтобы размеры тела были велики по сравие. нн!о с амплитудой смещений частиц жидкости в волне; в противном случае движение жидкости не будет, вообще говоря, потенциальным.
Если на пути распространения звуковой волны находится какое-либо тело, то происходит, как говорят, рассеяние звука: наряду с падающей волной появляются дополнительные (рассеянные) волны, распространяющиеся во все стороны от рассеивающего тела. Рассеяние звуковой волны происходит уже благодаря самому факту наличии тела на ее.пути. Кроме того, под влиянием падающей волны само тело приходит в движение; это движение в свою очередь обусловливает некоторое дополнительное излучение звука телом, т. е. некоторое дополнительное рассеяние. Однако, если плотность тела велика по сравнению с плотностью среды, в которой происходит распространение звука, а его сжимаемость мала, то рассеяние, связанное с движением тела, представляет собой лишь малую поправку к основному рассеянию, обусловленному самим наличием тела. Этой поправкой мы будем в дальнейшем пренебрегать и потому будем считать рассеивающее тело неподвижным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
