Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Будем предполагать, что длина волны звука )я велика по сравнению с размерами 1 тела; тогда для вычисления рассеянной волны можно воспользоваться формулами (74,8) и (74,11)'). Рассеянную волну мы при этом рассматриваем как волну, излу. чаемую телом; разница заключается только в том, что вместо 418 1гл. юп ЗВУК движения тела в жидкости мы имеем теперь дело с движением жидкости относительно тела.
Обе задачи, очевидно, эквивалентны. Для потенциала излучаемой волны мы получили выражение 1г Аг 4лг сг' ' Теперь же мы должны писать вместо скорости и тела взятую с обратным знаком скорость у жидкости в падающей волне (которую она имела бы в месте нахождения тела, если бы тела вовсе не было). Таким образом, Ас = — — пг ьп» вЂ” — и,. 4лр ' 4л (78,1) Окончательно получаем для потенциала рассеянной волны Уов Аг 4лсг сгс (78,2) В этой формуле У было объемом тела.
Теперь же объем самого тела остается неизменным, и под р надо подразумевать не скорость изменения объема тела, а то количество (объем) жидкости, которое вошло бы в единицу времени в объем, занимаемый телом (этот объем обозначим посредством Ус), если бы этого тела вообще не было. Действительно, при наличии тела это количество жидкости не проникает внутрь занимаемого телом объема, что эквивалентно выбрасыванию этого же количества из объема Ус. Коэффициент же при 1/4лг в первом члене в ~р должен быть, как мы видели в предыдущем параграфе, равен как раз количеству «выбрасываемой» в 1 сек. из начала координат жидкости, Это количество легко вычислить, Изменение массы жидкости в единицу времени в объеме, равном объ. ему тела, равно У,р, где функция р определяет изменение со временем плотности жидкости в падающей звуковой волне (поскольку длина волны велика по сравнению с размерами тела, то на протяжении расстояний порядка этих размеров плотность р можно считать постоянной; поэтому мы можем писать изменение массы жидкости в объеме Ус просто в виде Уср, где р одинаково вдоль всего объема Ус).
Изменение объема жидкости, соответ. ствующее изменению массы рУ„есть, очевидно, У»1р/р, Таким образом, вместо У надо писать в выражении для ~р величину Уср/р. В падающей плоской волне переменная часть плотности р' связана со скоростью посредством р'= рп/с; поэтому р = = р'= рй/с, и вместо Уср/р можно писать Усб/с. Что касается вектора А, то при движении тела в жидкости он определяется формулами (11,5 — 6) .' 4лрА~ = тиис+ рроиь РАССЕЯНИЕ ЗВУКА 4ГЗ З 741 с вектором А, определяющимся формулой (?8,1).
Для распределения скоростей в рассеянной волне получаем отсюда: 1госп и (пА) г + 4пгс гс' (78,3) (78,4) Рассеяние принято характеризовать его эффективньгн сечением (или просто сечением) с(п. Оно определяется как отношение средней (по времени) рассеиваемой в данном элементе телесного угла энергии к средней плотности потока энергии в падающей волне.
Полное сечение и равно интегралу от с(п по всем направлениям рассеяния, т. е. равно отношению полной интенсивности рассеяния к плотности падающего потока энергии, Сечение имеет, очевидно, размерность площади, Средняя плотность потока энергии в падающей волне есть сру'. Поэтому дифференциальное сечение рассеяния равно от- ношению 2 с(б= пр г ссо (78,5) Полное сечение равно Рс у 4я Ах О= ' + 4пс' уг Зсс ус (78,6) Для монохроматической падающей волны среднее значение квадрата второй производной от скорости по времени пропорционально четвертой степени частоты. Таким образом, сечение рассеяния звука телом, размеры которого малы по сравнению с длиной волны, пропорционально четвертой степени частоты. Наконец, остановимся коротко на обратном предельном случае, когда длина волны рассеиваемого звука мала по сравнению с размерами тела.
В этом случае все рассеяние, за исключением лишь рассеяния на очень малые углы, сводится к простому отражению от поверхности тела. Соответствующая часть полного (см. 9 74; и — единичный вектор в направлении рассеяния). Среднее количество рассеиваемой (в 1 с.) в данном элементе с(о телесного угла энергии определяется потоком энергии, равным срузс(о. Полная интенсивность 7р рассеяния получается ин- Р тегрированием этого выражения по всем направлениям. При этом интегрировании удвоенное произведение обоих 'членов в (78,3), пропорциональное первой степени косинуса угла между направлением рассеяния и направлением распространения падающей волны, исчезает и остается (ср.
(74,10) и (74,13)): 1 сР— 4КР—..' 2 ! — в~ + — А~. 4псс Зс' звук 42О 1гл. унг сечения рассеяния равна, очевидно, просто площади 5 сечения тела плоскостью, перпендикулярной к направлению падающей волны. Рассеяние же на малые углы (углы порядка ),/1) представляет собой дифракцию от краев тела. Мы не станем излагать здесь теорию этого явления, полностью аналогичную теории дифракции света (см. 11 Ц 60, 61).
Укажем лишь, что согласно принципу Бабине полная интенсивность дифрагировавшего звука равна полной интенсивности отраженного звука. Поэтому дифракциоииая часть сечения рассеяния равна той же площади 5, а полное сечение равно, следовательно, 25. Задачи 1. Определить сечение рассеяния плоской звуковой волны твердым шариком, радиус И которого мал по сравнению с длиной волны. Р е шеи не. Для скорости в плоской волне имеем о = а сов юг (в данной точке пространства), Вектор А равен в случае шара (см.
задачу 1 й 11) А = -т)(з(2. Для дифференпивльиого сечения получаем: ~')7з ( 3 сш В )з „ (Π— угол между напранленисм падающей волны и направлением рассеяния). Интенсивность рассеяния максимальна в направлении В и, противоположном направлению падения. Полное сечение равно Эдесь (в также анже в задачах 3, 4) предполагается, что плотность рз шарика велике по сравнеивю с плотностью р газа; в противном случае надо учитывать увлечение шарика действующими иа него со стороны колеблющегося газа силамн давления. 2. Определить сечение рассеяния звука жидкой каплей с учетом сжнмаемости жидкости и движения капли под влиянием падающей волны. Р е ш е н и е. При здиабзтнческом изменении давления газа, в котором находится капля, нз величину Р' объем капли уменьшается нв (р — плотность газа, р, — плотность жидкости в капле, с, — скорость звука в жидкости).
В выражениях (73,2-3) надо писать теперь вместо )гзд/с разность 1'з (б/с — Эср/ссре). Далее, в выражении для А надо нисвть теперь вместо — т разность и — и, где и — скорость тела, пркобретаемзя им под влиянием падающей волны, Для шара получаем с помощью результатов задачи 1 б 11 )1з Р Ро 2Ро+ Р Подстановка этих выражений приводит к сечению ,з~(зз г стр Рс Рх гйс = — 1~! — — — 3 соз 0 ' Уо. з, ) 2рз+ Р ) 42! РАССЕЯНИЕ ЗВУКА Полное сечение равно 4пэ«)(з ~( с'р )з 3(р,— р)з ~ 3. Определить сечение рассеяния звука твердым шариком, радвус )7 ко.торого мал по сравнению с ч/ч/э.
Тенг«пенность шарика предполагается настолько большой, что его температуру можно считать неизменной. Решен не. В этом случае должно быть учтено влияние вязкости газа на движение шарика, и вектор А должен быть видоизменен указанным в зацаче 2 $74 образои; при )с Ч/э/ч «ь 1 имеем: . 3)7ч А= — г — ч. 2э Кроме того, к рассеянию того же порялка величины приводит теплопро.водность газа. Пусть Тсе — колебания температуры в заланной точке -гвг звуковой волны. Распределение температуры вблизи шарлка будет (ср.
за- дачу 2 4 52) Т = Т Е т11 — — Екр ~ — (1 — 1) (à — )7) лт)à — д!ЗГ цм 1' )7 Г / э1) 2Х (прн г Л должно быть Т' =- 0). Количество тепла, передаваемое в единицу времени от газа к шарику, есть (прн Л Ч/э/Х м. 1): «) = 4ирс и — ~ = 4ил лузе г/Т' ! г/Г ~г Л 'Передача этого тепла приводит к изменению объема газа, которое можно воспринимать в смысле его влияния на рассеяние как соответствующее эффективное изменение объема шарика, равное У = — 4п)!Хрупе = — — Х (у — 1) и, 4п)с с тде р — коэффициент теплового расширения газа, а у = с,/см мы воспользовались также формулами (64,13) и (79,2).
Учитывая оба эффекта, получим дифференциальное сечение рассеяния' ту г 3 чз с«п= — [Х(у — 1) — — чсоз31 «(о. с' ! 2 Полное аффективное сечение: 4пэ%з Г 3 и с' 1. [Хэ(т !)з + з1 4 Эти формулы применимы лишь постольку, поскольку стоксова сила трения мала по сравнению с иверционными силами, т.е, П)7 ~ Мэ, где М = 4л)7зрз/3 — масса шарика; в противном случае становится существенным увлечение шарика вязкими силами. 4. Определить среднюю силу, действующую на твердый шарик, рассеивающий плоскую звуковую волну (й» )7).
Решение. Передаваемый в единицу времени от падающей волны шарику импульс, т. е, искомая сила, равен разности импульса, приносимого расСенваемой волной, и полного потока импульса в рассеянной волне. Из падаюН1Ей вОлНЫ расСЕиваетСя пОтоК ЭНЕргии, раВНый плд«з, где Еэ — плотность звук 1гл. щм анергни в падающей волне; соответствующий поток импульса получается деланием на с, т.е. равен аЕе. В рассеянной волне поток импульса в телесном Угле Ыо Равен Еегтдо = Еедо; пРоектиРУЯ его на напРавление РаспРостРанпния падающей полям (очевидно, что искомая сила имеет зто направление) и интегрируя по всем углам, получим е, ~ соз в до.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
