Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 86
Текст из файла (страница 86)
таким оправам, действующая на щарнк сила равна Р = Ее ~ (1 — сов О) до. Подставляя сюда до нз задачи 1, получим: юе не Р= Ее— эсе 9 79. Поглощение звука Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т, е. его интенсивность постепенно уменьшается. Для вычисления диссипируемой в единицу времени энергии Е,„воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет собой не что иное, как максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия.
Как известно из термодинамики, максимальная работа совершается, если переход происходит обратимым образом (т. е. без изменения энтропии), и равна соответственно этому Еме = Еа — Е(5), где Еа есть заданное начальное значение энергии тела в исходном состоянии, а Е(5) — энергия тела в состоянии равновесия с той же энтропией 5, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем: Емел = — Е (5) = дЗ дЕ Производная от энергии по энтропии есть температура. Поэтому — — тсмпсратура, которуюнмело бы тело, сслн бы оно находи- дЕ дз лось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии).
Обозначая эту температуру как Тщ имеем. следовательно: Емех То5' Воспользуемся для 5 выражением (49,6), включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, так н вязкостью. Поскольку температура Т мало меняется вдоль жидкости и мало отличается от Тщ то можно вынести ее из-под поглощение зВукА 423 .знака интеграла и писать Т вместо Т;. .в = — — ~~ ут) л — — ~~ 1' — + — — — д„— '!'др— к Г о П Г/доо дсо 2 дсоАо мех Т ) 2 ! ~дхо дхо 3 дхо.) — ~~ (о(!ч к)' с()с. (79,1) Эта формула представляет собой обобщение формулы (!6,3) на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.
Пусть ось х совпадает с направлением распространения зву.ковой волны. Тогда и = по соз(йх — Ы), пр = п = О. Два последних члена в (79,!) дают Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает " ( 3 т! + о) 2 оо1 о ( уо — объем жидкости). Далее, вычислим первый член в (79,1). Отклонение Т' температуры а звуковой волне от своего равновесного значения связано со скоростью формулой (64,!3), так что градиент температуры равен дТ сТ до РсТ вЂ” 6 — — = — — о,й 3!и (йх — оз().
д» ср дх ср Для среднего по времени значения от первого члена в (79,1) получаем: яс'Тр' 2с, "о о. С помощью известных термодинамических формул (79,2) можно переписать это выражение в виде Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде Пхох= 2 ~Ьт(+~)+ и(с с )1' (79эЗ) 1гл. шп 424 звук Полная же энергия звуковой волны равна 3 р"о Е = — )го 2 (79,4у так как заведомо ! « Х. Член с теплопроводностью в (79,6) дает то же самое, поскольку и — ж ') Специфический механизм поглощенна должен иметь место при распространении звука в чгвухфазной среде — эмульсии (М.
А. Попкович, 1948). Ввиду различия в термодинзмических свойствах компонент эмульсии изменения их температуры прп прохождею~и звуковой волны будут, вообще говоря, различны. Возивкающий при этом между ними теплообмен приведет к дополнительному поглощению звука. Вследствии сравнительной медленности этого теплообмепа уже сравнительно рано возникает и существенная дисперсин звука, Введенный в 9 25 коэффициент затухания волны определяет- закон уменьшения интенсивности со временем. Для звука, однако, обычно приходится иметь дело с несколько иной постановкой задачи, в которой звуковая волна распространяется вдоль жидкости и ее интенсивность падает с увеличением пройденного расстояния х.
Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону е-'т", а для амплитуды — как е-т, где коэффициент поглощения у определяется посредством ! мех! (79,5) 2сЕ Подставляя сюда (79,3) н (79,4), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука: У = —,"„', [(з В+~)+. ( —,' — —,' )~= —.. (79,6У Отметим, что он пропорционален квадрату частоты звука '). Эта формула применима постольку, поскольку определяемый ею коэффициент поглощения мал: должно быть мало относительное убывание амплитуды на расстояниях порядка длины волны (т.
е. должно быть ус/а « 1). На этом предположении по существу основан изложенный вывод, так как мы вычисляли диссипацию энергии с помощью незатухающего вырзження для звуковой волны. Для газов это условие фактически всегда выполнено. Рассмотрим, например, первый член в (79,6). Условие ус/щ « 1 означает, что должно быть огв/сз « 1. Но, как известно из кинетической теории газов, коэффициент вязкости ч газа— порядка величины произведения длины свободного пробега ! на среднюю тепловую скорость молекул; последняя совпадает по порядку величины со скоростью звука в газе, так что и — 1с.
Поэтому имеем: — — — — « 1, чв )ы ! ст с Х (79,7у 425 поглошвиип зВукА Что же касается жидкостей, то и здесь условие малости поглощения выполняется всегда, когда вообще имеет смысл задача о поглощении звука в той постановке, о которой здесь шла речь. Поглозцение (на длине волны) может стать большим, лишь если силы вязких напряжений сравнимы с силами давления, возникающими при сжатии вещества. Но в таких условиях становится неприменимым уже самое уравнение Навь" — Стокса (с не зависящими от частоты коэффициентами вязкости) и возникает существенная, связанная с процессами внутреннего трения дисперсия звука').
При поглощении звука соотношение между волновым вектором и частотой можно, очевидно, написать в виде й = — + !аюя с (79,8) '(где а — коэффициент в (79,6)). Легко сообразить соответственно этому, каким образом надо видоизменить уравнение бегущей звуковой волны для того, чтобы учесть в нем эффект поглощения. Для этого замечаем, что в отсутствии поглощения дифференциальное уравнение для, скажем, давления р'= р'(х — с!) Можно написать в виде др' ! др' дх с д! аг(аа-ог! Уравнение же, решением которого была бы функция с й из (79,8), надо, очевидно, написать в виде др' ! др' дтр' — = — — — + а —. дк с д( + дгт (79,9) Если ввести вместо г переменную т г — х/с, то это уравнение перейдет в дар — =а= дх д'га т. е.
уравнение типа одномерного уравнения теплопроводности. Общее решение этого уравнения можно написать в виде (см. 9 5!) р'(х, т) = ~ р',(т') ехр ( — ~ г(т' (79,10) ') Особый случай, когда возможно сильное поглощение звука, которое может быть рассмотрено обычными методами, — газ с аномально болыной (по сраанению с его вязкостью) теплопроаодиостью, связанной с постороннпмн причинами, например, с лучистой теплопроаодиостью при очень высоких температурах (ср.
задачу 3 этого параграфа). (где р'(т)=р'(О, т)). Если волна излучалась в течение ограниченного промежутка времени, то на достаточно больших зввк 1гл, кпг расстояниях от источника это выражение переходит в р' (х, т) = е """ (т р' ( с') ~И' (79,! 1): 2 Ч/лак Другими словами, на больших расстояниях профиль волны определяется гауссовой кривой, Его ширина (ах)ыа, т. е. растет пропорционально корню из пройденного волной расстояния, амплитуда же волны надает как х-ыа.
Отсюда легко заключить, что полная энергия волны падает по тому же закону х-ца. Легко вывести аналогичные формулы для шаровых волн. При этом надо учитывать, что для такой волны ~ р'А=О (см. (70,8)). Вместо (79,11) получим теперь ! д е р'(г, т) = сопз1 —— г дт гот или р'(г, т) =сонэ( — „е "На'. (79,12) гч Сильное поглощение должно происходить при отражении звуковой волны от твердой стенки. Причина этого явления состоит в следующем (К Р.
Оегх)еЫ, 1938; Б. 77. Константинов,. 1939). В звуковой волне наряду с плотностью и давлением испытывает периодические колебания около своего среднего значения также и температура. Поэтому вблизи твердой стенки имеется периодически меняющаяся по величине разность температур между жидкостью н стенкой, даже если средняя температура жидкости равна температуре стенки. Между тем на самой поверхности температуры соприкасающихся жидкости и стенки должны быть одинаковыми. В результате в тонком вристеночном слое жидкости возникает большой градиент температуры; температура быстро меняется от своего значения в звуковой волне до температуры стенки.
Наличие же больших градиентов температуры приводит к большой диссипацин энергии путем теплопроводности. По аналогичной причине к большому поглощению звука приводит прн наклонном падении волны также и вязкость жидкости. При таком падении скорость жидкости в волне (по направлению распространения волны) имеет отличную от нуля компоненту, касательную к поверхности стенки. Между тем на самой поверхности жидкость должна полностью «прилипать» к стенке. Поэтому в пристеночном слое жидкости возникает большой градиент касательной составляющей скорости '), что и приводит к большой вязкой диссипации энергии (см, задачу 1). ") Что касается нормальной состаалаюшей скорости, то на стенке она равна нулю уже в силу граничных условий дли идеалыюй жидкости.
ПОГЛОЩПНИЕ ЗВУКА -$ 79! Задачи с "з — Ргпз р с ч — р,вн ! р Полная скорость иа стенке ч ч«+ чз есть поэтому э оя 2Аз!пй — а — гяг р (вернее, это есть то значение скорости, которое она имеет без учета верных грааичиых условий на поверхности стенки прн наличии вязкости). Истинный ход скорости о„ вблизи стенки определяется формулой (24,!3), а связанная с вязкостью диссипация энергии — формулой (24,14), в которые надо вместо о«в "" подставить полученное выше выражениа для о. Отклонение 7" температуры от своего среднего значения (равного темпе-ратуре стенки) без учета правильных граиичнык условий на стенке получилось бы равным (см. (64,13)) 7" 2А «-а С тй СяР В дейстяительности же распределение температуры определяется уравнением 47еплопроводности с граничным условием У« = О при к чи О и соответственно .этому изображается формулой, в точности аналогичной (24,!3).
Вычисляя связанную с теплопроводностью диссипацию энергии согласно первому члену формулы (79,1), получим в результате для полной диссипацнн .энергии, отнесенной к единице площади поверхности стенки. В„,„- ""',~'" ~,~(-;а )+..*ОЛ~. Средняя плотность потока энергии, падающего на единицу поверхности стенки с падающей волной, равна сА р", Е- †..В. 2р . Поэтому дояи энергии, поглощающейся при отражении, есть 2 — — ~(- ~91п' 6 Ч/ч + ( — — 1) Ч/)(1 .
.3)то аыражениэ справедливо лишь до тех пор, пока оно мало (при вывода .1 'ы считали амплитуды падающей и отраженной волн одинаковыми). Это уст . овне означает, что угол падения О ие должен быть слишком близким к п/2. 1. Определить долю энергии, поглощаемой при отражении звуковой вол. ны от твердой стенки. Плотность вещества стенки предполагается настолько .большой, что звук практически ие проникает в него, а теплоемкость — настолько большой, что температуру стенки можно считать постоянной. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
