Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Эту коническую волну называют боковой, !1утем простого подсчета легко убедиться в том, что время пробега вдоль пути ЯВСР (рис. 46) меньше, чем время пробега по пути //АР, ведущему в ту же точку наблюдения Р. Это значит, что звуковой сигнал из источника Я доходит до точки на- 1гл. юы звтк (73,4) (73,5) Из симметрии в плоскости х, у заранее очевидно, что ф„может зависеть только от абсолютной величины х'= х„'+ х„'. Воспользовавшись известной формулой ь Уо (и) = — 1 соз (и з1п ф) о(ф, 1 о можно поэтому представить (73,4) в виде ф= — ~ ф,(а)Уо(х)7)хо(х, 1 о (73,6) где Я = 1~Р+ 1~ — цилиндрическая координата (расстояние от оси а). Для дальнейших вычислений будет удобно преобразовать эту формулу к виду, в котором интеграл берется в пределах от — оо до +со, выразив подынтегральное выражение через функцию Ганкеля Но'(и).
Последняя имеет, как известно, лога- !1 рифмическую особенность в точке и = О; если условиться переходить от положительных к отрицательным вещеСтвенным зна- блюдения Р сначала в виде боковой волны, и лищь затем в эту точку приходит обычная отраженная волна, Следует иметь в виду, что боковая волна представляет собой Эффект волновой акустики, несмотря на то, что она допускает изложенное наглядное истолкование с помощью представлений геометрической акустики.
Мы увидим ниже, что амплитуда боковой волны обращается в нуль в пределе Х- О. Переходим теперь к количественному расчету. Распространение монохроматической звуковой волны, создаваемой точечныьь источником, описывается уравнением (70,7); Лф+ Нр = — 4лб(г — 1), (73,3) где А =в/с, а 1 — радиус-вектор источника. Коэффициент прн б-функции выбран таким, чтобы прямая волна имела внд (73,1). Ниже мы выбираем систему координат с плоскостью х, у в плоскости раздела и осью з вдоль Щ'. первой среде соответствуют г > О.
На границе раздела должны быть непрерывными давление н а-компонента скорости, нли, что то же, величины рф в дф/да. Следуя общему методу Фурье, имеем решение в виде 4 ' ф, (а) = Ц фа ' ("о'+ "ио) о(х ду. ОО БОКОВАЯ ВОЛНА 9 73! 391 пениям и, обходя (в плоскости комплексного переменного и) точку и = О сверху, то будет справедливо соотношение Ноев( — и) = Нш7(ие ) =НА'7(и) — 2ХВ(и). С его помощью можно переписать (73,6) в виде ф — — ~ ф„(я) НБ (х)г)х 7!и (73,7) Из уравнения (73,3) находим для функции ф„ уравнение э е.
7 — (х' — — 7)фч= — 4пб(з — !). (73,8) б-функцию в правой стороне уравнения можно исключить, наложив на функцию ф„(ф) (удовлетворяющую однородному уравнению) граничные условия при г = ): Граничные же условия при а=О гласят: л !+О рф !+" 9 — '~ =9, 7!- ° Л.!,— . (73,9) (73,!О) Ищем решение в виде фк=Ае "'* ф =Ве-ж*+Сеи" фч = ВФ'А при г >7, при!>в>0, при 0>». (73,! !) Здесь р'=хт — йэ 1 р =х — л В 3 От, = ы/сь ЙВ = В7/са), причем надо цолагат7к р = + т/х~ — йэ при х > Й, р= — ! !7797 — хэ прн х(й; (73, ! 2) С= — е-ж7, зи Р~ В С Р7Р7 Р7Р~ Р!Р2 + Р7Р$ (73, ! 3) А = В + Се'",7, первое необходимо для того, чтобы искомое ф не возрастало на бесконечности, а второе — чтобы ф представляло собой расходящуюся волну.
Условия (73,9) и (73,!О) дают четыре уравнвиня, определяющие коэффициенты А, В, С, О. Простое вычисление приводит к следующим выражениям: 1гл, шп 3Вук 992 При р, = рь с, = с1 (т. е. если бы все пространство было заполнено одной средой) В обращается в нуль и А=Сев»', соответствующий член в ф представляет собой, очевидно, прямую волну (73,1); поэтому интересующая нас отраженная волна есть 24 ф1 = — ~ В(х) е-М12Н~'>(х)г)х й~. 4д (73, 14р ф' ~'~' ~'~' 1 — 1 е ж "+'ыы"2(х (73,15) д Р1 (Р~Рв+ Рвр|) ', 22хд l с На рис.
47 изображен путь интегрирования С для случая с1 ~ сз. Интеграл может быть вычислен с помощью известного метода перевала. Показатель 2.[(г+ 1) ~/й1 — х'+ н4 имеет экстремум в точке, в которой х и г' ввв 0 2 2 — 1дО 2, — х «+! г сова т.'е. х й~ыпО, где Π— угол падения (см. рис. 45). Переходя к пути интегрирования С', пересекающему эту точку под углом и/4 к оси абсцисс, получим формулу (73,2).
В случае же с1(св (т. е, й~ йв) точка х=й~ыпО лежит между точками йв и йь если ыпО'= йв/й,=с,/св — — ыпйв, т. е. если О ) Ов (рис. 45). В этом случае контур С' должен содержать еще петлю вокруг точки йь и к обычной отраженной волне (73.2) добавляется волна ф,",определяемая интегралом (73,15), В этом выражении надо еще уточнить путь интегрирования. Особая точка к=О обходится (в плоскости комплексного х), как уже указывалось, сверху. Кроме того, подынтегральное выражение имеет особые точки (точки разветвле. ния) х= +йь -~йв, в которых р, или рв обраща- Е ются в нуль.
В соответствии с условиями (73,10) ТОЧКИ +й~ +хв ДОЛЖНЫ с' обходиться снизу, а точки — йь — йв сверху. Произведем исследова- ние полученного выражения на больших расстояниях от источника. Заменяя функцию Ганкеля ее известным асимптотическим выражением, получим: 9 ин излучение заика 393 х ="=-~ — '"' ( — ) — " '""'"' '~' ! ) в с" ) РРи 2км (73,16) Разлагая показатель по степеням х — йв и интегрируя по вертикальной петле С", получим после простого вычисления следующее выражение для потенциала боковой волны 2гр,йв ехр (! Гг,г' сов (Ов — ОВ г врвйв! (сов Ое мп О в!и" (Оз — О)1 "в (73,17) В согласии со сказанным выше волновые поверхности представляют собой конусы г' сов (Π— Ое) = )( з(п Ое + (г + 1) соз Ов = сопи!. Вдоль заданного направления амплитуда волны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния г'.
Мы видим также, что эта волна исчезает в предельном случае ).— О. При 0- О» выражение (73,17) становится неприменимым; в действительности в этой области амплитуда боковой волны убывает с расстоянием как и'-ЛГ4. '% 74. Излучение звука Колеблющееся в жидкости тело производит вокруг себя периодическое сжатие и разрежение жидкости и таким образом приводит к возникновению звуковых волн. Источником энергии, уносимой этими волнами, является кинетическая энергия движу- ') Исследование боковой волны во всей области углов О см. Вреховских Л. — ЖТФ, !948, т.
(8, с. 455. Там же даи следующий член разложения обычной отраженной волны ио степеням вЩ; отметим здесь, что дли углов О, близких к 8в (в случае с~ ( гв), отношение поправочного члена к основному убывает с расстояниями как (Ц)1) 'г', а не как Ц)1. взятым по этой петле (назовем ее С", рис. 40); это и есть боковая волна. Этот интеграл легко вычислить, если точка й, з(п 0 не слишком близка к )св, т.
е, если угол 0 не слишком близок к углу полного внутреннего отражения Ое '). Вблизи точки х = 4 )вз мало; разлагаем пред- С экспоненциальный мно- . , 'в(я С житель в подыитеграль- хг Дз иом выражении в (73,13)' по степянки рж Нулевой С член разложения вообще Рис. 48 не обладает особенностью при х = йв .и его интеграл по С" обращается в нуль. Поэтому имеем: (гл.
шц звкк щегося тела. Таким образом, можно говорить об излучении звука колеблющимися телами. Ниже будет везде предполагаться, что скорость и, колеблющегося тела мала по сравнению со скоростью звука. Поскольку и ° аш (где а — линейная амплитуда колебаний тела), то это значит, что а « Х '). В общем случае произвольно колеблющегося тела произвольной формы задача об излучении звуковых волн должна решаться следующим образом. Выберем в качестве основной величины потенциал скорости ~р. Он удовлетворяет волновому уравнению Лр — —,, — )т--О.
1 дзч (74,(р На роверхности тела нормальнаи составляющая скорости жидкости должна быть равна соответствующей компоненте скорости и тела: — =и . ар (74,2)~ На больших же расстояниях от тела волна должна переходить в расходящуюся сферическую волну. Решение уравнения (74,1), удовлетворяющее этим граничным условиям и условию на бесконечности, определяет излучаемую телом звуковую волну. Рассмотрим более подробно два предельных случая.
Предположим сначала, что частота колебаний тела настолько велика, что длина излучаемой волны очень мала по сравнению с размерами ( тела: )ь « й (74,3) В таком случае можно разделить поверхность тела на участки, размеры которых, с одной стороны, настолько малы, что их можно приближенно считать плоскими, но, с другой стороны, все же велики по сравнению с длиной волны. Тогда можно считать, что каждый такой участок излучает при своем движении плоскую волну, скорость жидкости в которой равна просто нормальной компоненте ил скорости данного участка поверхности.
Но средний поток энергии в плоской волне равен (см. Э 65) срез, где п — скорость жидкости в волне. Подставляя в = и„м интегрируя по всей поверхности тела, приходим к результату, что средняя излучаемая телом в единицу времени в виде звуковых волн энергия, т. е. полная интенсивность излучаемого ') Амнлнтуда колебаний предполагается, вообще говоря, малой также и по сравненнгр с размерами тела, в противном случае движение вблизи тела не будет потйицнальным (ср. $9). это условие не обязательно лишь для чисто пульсационнык колебаний, дли которык используемое ниже решение (74,7) является по сузпеству следствием уже непосредственно уравнения непрерывности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
