Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е. обладает сферической симметрией. Такая волна называется сферической. Определим общее решение волнового уравнения, описывающее сферическую волну, Будем писать волновое уравнение, на. пример, для потенциала скорости: 1 денар Лр —, „=0, Поскольку ю есть функция только от расстояния г до центра (и от времени (), то, воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, имеем: (70,1) Положив ср=/(г, ()/г, получим для функции Цг, М) уравнение д'/ з ат/ т. е. обычное волновое уравнение в одном измерении, в кото- ром роль координаты играет радиус г. Решение этого уравнения есть, как мы знаем, ( = ), (с( — г) + (з(с(+ г), где /1, /з — произвольные функции, Таким образом, общее реше- ние уравнения (70,1) имеет вид ср = й (с( — г) /з (с(+ г) (70,2) СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ $70] Первый член представляет собой расходящуюся волну, распространяющуюся во все стороны из начала координат.
Второй же член есть волна, сходящаяся к центру. В отличие от плоской волны, амплитуда которой остается постоянной, в сферической волне амплитуда падает обратно пропорционально расстоянию до центра. Интенсивность же волны, определяющаяся квадратом амплитуды, обратно пропорциональна квадрату расстояния, как и должно было быть, поскольку полный поток энергии в волне распределяется по поверхности, площадь которой растет пропорционально ге. Переменные части давления и плотности связаны с потенциалом посредством др , Р др Р= Р Р= д(' с' д(' и их распределение определяется формулами того же вида, что и (70,2).
Распределение же скорости (радиальной), определяю- шейся градиентом потенциала, имеет вид д ( й (с! — г) + )г(с! + г) ~ дг ( г Если в начале координат нет источника звука, то потенциал (70,2) должен оставаться при г=О конечным. Для этого необходимо, чтобы было 7] (с!) = — (е (с(), т. е. ! (с! — г) — ) (с! + г) гр= (70,4) (стоячая сферическая волна). Если же в начале координат находится источник, то потенциал излучаемой им расходящейся волны есть !Р=)(с! — г)/г и не должен оставаться конечным при г =О, поскольку это решение вообще относится только к области вие тела. Монохроматическая стоячая сферическая волна имеет вид !Р=Ае гФ! —, мп ег г (70,5) где й = е]/с. Расходящаяся же монохроматическая сферическая волна дается выражением ! Мг — ы] <р=А ' (70,6) Полезно заметить, что это выражение удовлетворяет дифференциальному уравнению Ьр+ Жр = — 4пАе-' '6(г), (70,7) в правой части которого стоит 6-функция координат; 6(г) = =6(х)6(у)6(г).
Действительно, везде, кроме начала координат, 6(г) =О, и мы возвращаемся к однородному уравнению (70,1). игл. чнт звяк Интегрируя же по объему малой сферы вокруг начала координат(в этой области выражение (70,б) сводится к — е ' ). по- А ~,~х лучнм с обеих сторон — 4аАе '"'. Рассмотрим сферическую расходящуюся волну, занимающую в пространстве область в виде шарового слов, позади которого движение либо отсутствует вовсе, либо быстро затухает; такая волна может возникнуть от источника, действовавшего в течение конечного интервала времени, или от некоторой начальной области звукового возмущения (ср.
конец З 72 и задачу 4 $74). Перед приходом волны в некоторую заданную точку пространства потенциал в ней ~р = О. После же ее прохождения движение снова должно затухнуть; это значит, что во всяком случае должно стать ~р =сопзй Но в сферической расходящейся волне потенциал есть функция вида ф =((с~ — г)~г; такая функция может обратиться в постоянную, только если функция ( обращается в нуль. Таким образом, потенциал должен обращаться в нуль как до, так и после прохождения волны ').
Из этого обстоятельства можно вывести важное следствие, касающееся распределения сгущений и разрежений в сферической волне. Изменение давления в волне связано с потенциалом посредством р'= — р —. Ввиду сказанного выше ясно, что если проао д'1 интегрировать р' по всему времени при заданном г, то мы получим в результате нуль: (70,8) Это значит, что по мере прохождения сферической волны через заданную точку пространства в этой точке будут наблюдаться как сгущения (р') 0), так и разрежения (р'( 0).
В этом отношении сферическая волна существенным образом отличается от плоской, которая может состоять и нз одних только сгущений или разрежений. Такая же картина будет наблюдаться также и ирн рассмотрении хода изменения р' с расстоянием в заданный момент времени; вместо интеграла (70,8) будет при этом равен нулю интеграл ЮО гр'й О, ') В противоположность плоской волне, после прохождения которой может быть е = сонм Чь О. иилиндричискии волны 381 % тп Задачи ь В начальный момент времени газ внутри сферического объема (радиуса а) сжат так, что р' сопя( ~ Д; вие этого объема р' = О.
Начальная скорость равна пулю во всем пространстве. Определить последующее движение газа. Решение. Начальныс условия для потенциала ф(г, /) гласят: ф(г, 0)=0, ф(г, 0) Р(г), где Р(г) =0 при г > а, и (г) — Дс'/р при г < а. Ищем ф в виде (70,4) и из начальных условий накодим; / ( — г) — / (г) О, /' ( — г) — /' (г) = — Р (г). с Отсюда /'(г) =-/'(-г) =- — 'Р(г). 2с Наконец, подставив значение г(г), получаем для производной /'(й) и для самой функции /(а) следующий результат: при ($) > а: /'($) О, /(й) 0; при (и) <а: /'($) — $, /($) — (йэ — а'), сД сД 2р 4р чем и определяется решение задачи. Рассмотрим точку с г Э» а, т.е.
вне области начального сжатия; дли плотности р' имеем эдесзи при / < (г — а)/с р' 0," Д г — с/ при (г — а)/с < / < (г+ а)/е р' 2 г при / > (г+ а)/с р' О. Волна проходит через данную точку в течение промежутка времени, равного 2а/с; другими словами, волна имеет форму шарового слоя толщины 2а, заключенного в момент / между сферами радиусов ст — а и с/+ а. Внутри этого слоя плотность меняется по линейному закону, причем в наружной его части (г > с/) газ сжат (р' > 0), а во внутренней (г < сг) — разрежен (р <0). 2.
Определить собственные частоты центрально-симметрических звуковык колебаний в сферическом сосуде. дф Решен яе. Из граничного условия — 0 прн г а (а — радиус дг сосуда, н — из (70,5)) получим уравнение (к йа йо, определяющее собственные частоты. Первая (наименьшая) частота равна ы, 4,49 с/а. $71. Цилиндрические волны Рассмотрим теперь волну, в которой распределение всех величин однородно вдоль некоторого одного направления (которое мы выберем в качестве оси и) н обладает полной акснальной симметрией вокруг этой оси. В такой, как говорят, пнлннд- 382 звяк игл.
чи1 рической волне имеем ~р = ~р()т, г), где посредством )т обозначается расстояние до оси г. Определим общий вид такого осесимметрического решения волнового уравнения. Это можно сделать, исходя из общего вида сферически симметричного решения (70,2). )г связано с г посредством гз = Р+ гз, так что <р, определяемое формулой (70,2), зависит при заданных 1 и (с также и от г. Функцию, зависящую только от А' и 1 и в то же время удовлетворяющую волновому уравнению, можно получить интегрированием выражения (70,2) по всем значениям г от — оо до +со, или, что то же, от 0 до со. Перейдем от интегрирования по г к интегрированию по г.
Имеем 2= т/à —,Щ, ЙЗ= / 2 у при изменении г от 0 до со г меняется в пределах между )т и оо. Поэтому находим окончательно общий вид осесимметричного ре- шения: где ~ь ~а — произвольные функции. Первый член представляет собой расходящуюся, а второй — сходящуюся цилиндрическую волну. Производя в этих интегралах замену переменных с1 ~ г = $, перепишем формулу (71,1) в виде ы-л О ь.й.а .). ~ ! (ц й /(~ — ю' — ~ ~ лг-'«т-е: Мы видим, что значение потенциала в момент времени 1 (в точ. ке Й) в расходящейся цилиндрической волне определяется значениями функции ~~(1) в течение всего времени от — оо до т — )с/с; аналогично в сходящейся волне существенны значения функции ~з(Г) в течение всего времени от 1+ тг/с до со. Как и в сферическом случае, стоячие цилиндрические волны получаются при ~~($) = — гз($). Можно показать, что стоячая цилиндрическая волна может быть представлена также и в следующем виде: ы+л л (а) лй 'ъ/Р' — я — ы) ~ (71,3) где Р($) — снова произвольная функция.
Выведем выражение для потенциала монохроматической ци. линдричеекой волны. Волновое уравнение для потенциала ф ()с, 1)' ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 383 % И1 в цилиндрических координатах имеет внд В монохроматической волне ф =е-'"'1(Я) и для функции 1(17» получаем уравнение Г+ —,' Г+ й)=О. Это — уравнение функций Бесселя нулевого порядка. В стоячей цилиндрической волне ф должно оставаться конечным при 17 =0; соответствующим решением является 1о(й)с), где 1о— функция Бесселя первого рода.
Таким образом, в стоячей цилиндрической волне <р = Ае им1 (й)7) (71,4) При 17 =О функция 1а обращается в единицу, так что амплитуда волны стремится к конечной величине А. На больших же расстояниях 17 функцию 1с можно заменить ее известным асимптотическим выражением, в результате чего волна приобрететвид / 2 сов (аи — и/4) Ч и ч/ьй (71,5) Решение же, соответствующее монохроматической бегущей расходяшейся волне, есть <р=Ае '~Н~,'~(й)7), (71,6) где Н~~' — функция Ганкеля. При Я-~.О зто выражение имеет логарйфмическую особенность: у ж А — ! и й17 ° е-"". 2с (71,7) На больших же расстояниях имеет место асимптотическая формула 72,сил-м-жо ф=А,~/ — ' (71,8) 1/.,и)у Мы видим, что амплитуда цилиндрической волны падает (на больших расстояниях) обратно пропорционально корню из расстояния до оси, а интенсивность соответственно, как 1/)с.
Этот результат естествен, поскольку по мере распространения волны полный поток энергии в ней распределяется по цилиндрической поверхности, площадь которой растет пропорционально Я. Цилиндрическая расходящаяся волна существенно отличается от сферической или плоской в том отношении, что она может иметь передний, но не может иметь заднего фронта: после того звгк [гл. щм как звуковое возмущение дойдет до заданной точки пространства, оно уже не прекращается в ней, лишь сравнительно медленно затухая асимптотнчески при ~- ос. Пусть функция )~($) в первом члене в (71,2) отлична от нуля лишь в некотором конечном интервале значений ~, ( $( $ь Тогда в моменты времени с( ) Я+ $~ будем иметь: ы %= й 6)а% ь 1/(ы — $)' — Й' При 1- со это выражение стремится к нулю по закону $ т. е.
обратно пропорционально времени. Таким образом, потенциал расходящейся цилиндрической волны, возникшей от действовавшего в течение конечного времени источника, хотя н медленно, но обращается в нуль при т-~-оо. Это обстоятельство приводит, как и в сферическом случае, к равенству нулю интеграла (71,9) Поэтому цилиндрическая волна, как и сферическая, непременно должна содержать в себе как сгущения, так и разрежения. $72. Общее решение волнового уравнения Выведем теперь общую формулу, определяющую решение волнового уравнения в неограниченной жидкости по заданным начальным условиям, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
