Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Длина волны внука предполагается большой по сравнению с размерами неоднородностей системы. Решение. В двухфазной системе р и Т ие являются иезависимымн переменными, а связаны друг с другом уравнением равновесия фаз. Сжатие илн разрежение системы сопровождается переходом вещества из одной фазы в другую. Пусть х — доля (по массе) фазы 2 в системе. Имеем: з (1 — х) за+хам У (1 х) У| +хУ» (1) где яндексы 1 и 2 отличают величины, ГдУ 'т Дли вычисления производной 1, дп Рз к переменным р, х и получаем: относящиеся к чистым фазам ! и 2.
преобразуем ее от переменных р, з (~'),(~;)„ ( ~' ), после чего подстановка (1) дает Сиорость звука определяется с помощью (1) н (2) по формуле (64,3). Раскрывая полные производные по давлению, вводя скрытую теплоту перехода из фазы 1 в фазу 2: 4 = Т(зз — зг) и воспользовавшись формулой Клапейрона — Клаузиуса 'гр ч дТ 7 (Ут — У!) для производной вдоль кривой равновесия фаз (см. У 3 32), получим выражение, стоящее в первой квадратной скобке в (2) в виде () () дУз~ 2Т 7дУз~ Тс з + — — (Уз — У~) — — (Уз — У~)з. др уг и ~дТ)р ' цз Аналогично преобразуется и выражение во второй скобке. Пусть фаза 1 — жидкость, а фаза 2 — пар; последний рассматриваем как )щезльиый газ, а удельным объемом Уг можно пренебречь по сравнению с Уз.
Если х ~ 1 (жидкость с небольшим количеством пара в виде пузырьков), то для скорости звука получается 1 р 2 с Т рй с' ЯТ и (4) (3) )«7 (/ср!7 (м — газовая постоянная, р — молекулярный вес). Эта скоростгь вообще говоря, очень мала; таким образом, при образовании в жидкости пузырьков пара (навигация) скорость звука в ией скачкообразно резко падает.
Если же 1 — х ь 1 (пар с незначительным количеством жидкости в виде капелек), то получается: (гл. ьчи 856 явь к Сравнивая со скоростью звука в чистом газе (64,15), найдем, что н здесь до. баалеине второй фазы уменьшает скорость звука, хотя и далеко ие в такой сильной степени. В промежутке прп возрастании х от пуля до единицы скорость звука монотонно возрастает от значения (3) до значения (4).
Отметим, что прн х О и х 1 скорость звука испытывает скачок при переходе от однофазной системы к двухфазной. Это обстоятельство приводит к тому, что при очень близких к нулю или единице значениях х обычная линейная теория звука вообще становится неприменимой уже при малых амплитудах звуковой волны: производимые волной сжатия и разрежения в данных условиях сопровождаются переходом двухфазной системы в одиофазную (и обратно), в результате чего совершенно нарушается существенное для теории предположение о постояистне скорости звука.
2. Определить скорость звука в газе, нагретом до настолько высокой температуры, что давление равновесного черного излучения в нем сравнимо с давлением самого газа. Р еще и не. Давление вещества равно а р иТ+ — Т4 4 а энтропия 1 )зы игз з — !и — + —. си и и В этих выражениях первые члены относятся к частицам, а вторые — 6 излучению; и — плотность числа частиц, ги — нх масса, а 4из/45йзсо (см. Ч,663)'). В плотности же вещества черное излучение не играет роли, так что р гии. Скорость звука обозначим здесь в отличие от скороетй света посредством и Записывая производаые в виде якобиаиов, имеем ( , з д (р, з) д (р, з 1 (р, з) д (а~) ! дд (и, 4 Вычислив этн якобианы, получим: 5Т ( 2азТо из= — (1+ зги Е 5и (и+ 2аТ') 1' $66.
Энергия и импульс звуковых волн Выведем выражение для энергии звуковой волны. Согласно общей формуле энергия единицы объема жидкости равна ре + рпа/2. Подставим сюда р = р, + р', е = е, + в', где буквы со штрихом обозначают отклонения соответствующих величин от их значений в неподвижной жидкости. Член р'пз/2 является величиной третьего порядка малости. Поэтому, если ограничиться точностью до членов второго порядка включительно, получим: р„е +р' +— , д(ое) р" д'(ре) роо' дро 2 дро 2 Производные берутся при постоянной энтропии, поскольку звуковая волна адиабатнчна. В силу термодинамического соотно- ') Как везде в этой кинге, температура измеряется в единицах энергии. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН апенин де = Тйа — РГ()Г = Тйз+ —, ~р :имеем: :вторая производная.
'Таким образом, энергия единицы объема жидкости равна РФР+ ГВОР + Р + Ро — ° 2Ро 2 Первый член в этом выражении (езра) представляет собой энергию единицы объема неподвижной жидкости и не имеет от~ношения к звуковой волне. Что касается второго члена (шар'), -то это есть изменение энергии, связанное просто с изменением количества вещества (массы жидкости) в каждой данной единице объема. В полной энергии, получающейся интегрированием энергии единицы объема по всему объему жидкости, этот член выпадает: поскольку общее количество жидкости остается неизменным, то ~ р'д)Г О.
Таким образом, полное изменение энергии жидкости, связанное с наличием звуковой волны, равно нн- .тегралу 'Подынтегральиое выражение можно рассматривать как плотность Е звуковой энергии: (66,1) Это выражение упрощается в случае бегущей плоской волны. В такой Волне Р'=Рао/с, и оба члена в (66,1) оказываются одинаковыми, так что Е р Воз.
(66,2) В общем случае произвольной волны такоесоотношениеие имеет места. Аналогичную формулу можно написать в общем случае .Лишь для среднего (по времени) значения полной звуковой энергии. Она следует непосредственно из известной общей теоремы механики о том, что во всякой системе, совершающей ма.лые колебания, среднее значение полной потенциальной энерхии равно среднему значению полной кинетичеекой энергии. ~гл, шп 358 звчк Поскольку последняя равна в данном случае†) рьо'<Лг, то мы находим, что полная средняя звуковая энергия есть 1 Епч = 1 рос и Далее, рассмотрим некоторый объем жидкости, в которой распространяется звук, и определим поток энергии через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. Плотность потока энергии в жидкости равна согласно (6,3) рч(в+ о'/2). В рассматриваемом случае можно пренебречь членом с о' как малым третьего порядка.
Поэтому плотность потока энергии в звуковой волне есть рчв. Подставив сюда в =вз+ в', имеем рвч = взрч+ рв'ч. (65,3) Для малого кзменения тепловой функции имеем и далее рвч= в,рч+ р'ч. Полный поток энергии через рас- сматриваемую поверхность равен интегралу $(в,рч+ р'ч)Л. Первый член в этой формуле есть поток энергив, связанный просто с изменением массы жидкости в данном объеме. Но мы уже опустили соответствующий (равный нулю при интегрировании по бесконечному объему) член вар' в плотности энергии. Поэтому, чтобы получить поток энергии, плотность которой определена согласно (65,1), надо опустить этот член, и поток энергии будет просто $рч П. Иы видим, что роль плотности потока звуковой энергии играет" вектор (65,4) Легко проверить, что, как и должно было быть, имеет место соотношение дг + 6(чр «= 6 дЕ (65,5) выражающее закон сохранения энергии, причем роль плотности потока энергии играет именно вектор (65,4).
В бегущей (слева направо) плоской волне изменение давления связано со скоростью посредством р'=срзо, где скорость и о, понимается вместе со своим знаком. Введя единичный. ЭНВРГИЯ И ИМПУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН Вектор и в направлении распространения волны, получим ц = сропоп = сЕП. (65,6) Гаким образом, в плоской звуковой волне плотность потока энергии равна плотности энергии, умноженной на скорость звука, — результат, который естественно было ожидать.
Рассмотрим теперь звуковую волну, занимающую в каждый данный момент времени некоторую конечную область пространства (нигде не ограниченную твердыми стенками) — волновой напоет; определим полный импульс жидкости в такой волне. Импульс единицы объема жидкости совпадает с плотностью потока массы ) =рч. Подставив р = ро+ р', имеем ) = роч+ р'ч. Изменение плотности связано с изменением давления посредством ,.р' = р'/са. С помощью (65,4) получаем поэтому ) = роч+ ц/со. (65,7)' Если в рассматриваемых явлениях вязкость жидкости несуще. ственна, то движение в звуковой волне можно считать потенциальным и написать ч = Чф (подчеркнем, что это утверждение ке связано с теми пренебрежениями, которые были сделаны в й 64 при выводе линейных уравнений движения, — решение :с го(У=О является точным решением уравнений Эйлера).
По« этому имеем: ) = р, Чф+ ц/со. Полный импульс волны равен интегралу ~)й)' по всему занимаемому ею объему. Но интеграл от Чф может быть преобразован в интеграл по поверхности: и обращается в нуль, так как вне занимаемого волновым пакетом объема ф =О. Таким образом, полный импульс пакета равен (65,8) Эта величина, вообще говоря, отнюдь не обращается в нуль. Но отличный от нуля полный импульс означает, что имеет место перенос вещества. Мы приходим к результату, что распространение .звукового пакета сопровождается переносом вещества жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
