Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Значение 1= 0 соответствовало бы радиальным колебаниям, т. е. сфернческн симметричным пульсациям капли; в несжимаемой жидкости такие колебания, очевидно, невозможны. Прн 1=1 движение представляло бы собой поступательное перемещение капли как целого. Наименьшая возможная частота колебаний капли соответствует 1= 2 и равна ,т 8а з11ч р)тз (62,9) Задачи 1.
Определить ззвнснмость частоты от волнового вектора для кзпнллярно-грзвнтзцнонных волн нз поверхности жидкости, глубине которой равна й. Решение, Подставляя в условие (62,1) ф = А сов (йх — юг) с)! й (х + й) (см. задачу 1 5 12), получаем ыт (яй + — ) 1Ь йй.
Р Прн йй » 1 мы возврзшземся к формуле (62,2), з для длинных волн (йй~1) имеем: а/й' ы' = яййз + —. р 2. Определить коэффициент затухания кзпнллярнык воли. Решение. Подстзвляя (62,3) в (25,5), получим 2пй 2пыфз рщ„т!з ф = Аезз соз (йх — эг) ф' А'е Аз соз (йх — ы!) + ух. и в верхней Для нижней жидкости имеем нз поверхности разрыва дф дс вх дх д! 3. Нзйтн условие устойчивости тзнгенцнзльного разрыва в полетяжести с учетом поверхностного нзтяження; жидкости по обе стороны поверхности разрыва предполагаются рззлнчнымн (це)огп, 1871).
Решение. Пусть У вЂ” скорость верхнего слоя жидкости относительно нижнего. Накладываем нз основное движение периодическое вдоль горнзон. тзльной осн возмушенне н ншем потенцнзл скорости в виде; в нижней жидкости поверхностные явления (гл, щг (й — вертикальная координата поверхности раздела), а в верхней дф' дй дй о — () — + —. да дх дз' Условие равенства давлений в обеих жидкостях иа поверхности разрыва имеет внд р — +ря~ — — =р — +рк~+ — (' — и) дф дзй, дф', р' дс дхз д( 2 (при раскрытии выражения о" — (Гз должны быть сохранены только члены первого порядка по А').
Смещение ь ищем в виде й = аз!п(йх — юг). Подставляя ф, ф', Ь в написанные три условия прн а = О, получаем три уравие. яия, исключая нз которых а, А, А', находим: рц Гйя(р р) йзрр.ца ойз 1)з р+ р' ь р+ р' (р+ р')а р+ р'1 Для того чтобы вто выражение бмло вещественным при всех й, необходимо выполнение условия , < 4па (р — р') (р + р') рр В противном случае существуют комплексные ю с положительной мнимой частью и движение неустойчиво. $63.
Влияние адсорбированных пленок на движение жидкости Наличие на поверхности жидкости пленки адсорбировапного ею вещества может существенно изменить гидродииамические свойства свободной поверхности жидкости. Дело в том, что прн изменении формы поверхности, сопровождающем движение жидности, происходит растяжение или сжатие пленки, т. е. изменение поверхностной концентрации адсорбированного вещества.
Эти изменения приводят к появлению дополнительных сил, которые и должны быть учтены в граничных условиях, имеющнх место на свободной поверхности жидкости. Мы ограничимся здесь рассмотрением адсорбированных пленок веществ, которые можно считать нерастворимыми в самой жидкости. Это значит, что вещество находится только у поверхности и не проникает в глубь жидкости, Если же поверхностно- активное вещество обладает также и некоторой заметной растворимостью, то необходимо было бы принять во внимание процессы диффузии этого вещества между поверхностной пленкой и обьемом жидкости, возникающие при изменении концентрации пленки.
При наличии адсорбированного вещества коэффициент поверхностного натяжения сс является функцией поверхностной концентрации этого вещества (количество вещества на единице площади поверхности), которую мы обозначим посредством у. Если у меняется вдоль поверхности, то вместе с ней функцией координат точки поверхности является также и коэффициент а, ВЩ ВЛИЯНИЕ АПСОРВИРОВАННЪ|Х ПЛГНОХ НА ПВИХГЕНИЕ 347 В связи с этим в граничном условии на поверхности жидкости добавляется гангенциальная сила„о которой уже шла речь в конце 5 61 (условие (61,14)). В данном случае градиент а выражается через градиент поверхностной концентрации, так что действующая на поверхность тангенциальная сила равна да 7с = — 171'. дт (63,2) где все величины берутся на поверхности жидкости (плоскость х, у выбрана в плоскости этой поверхности).
Решение задач о движении жидкости, покрытой адсорбционной пленкой, существенно упрощается в тех случаях, когда пленку можно считать несжимаемой, т. е. можно считать, что площадь каждого элемента поверхности пленки остается при движении постоянной. Примером того, насколько существенным в гидродннамическом отношении может оказаться наличие адсорбционной пленки, является движение пузырька газа в вязкой жидкости Если на поверхности пузырька никакой пленки нет, то наполняющий его газ тоже приходит в движение, и сила сопротивления, испытываемая пузырьком со стороны жидкости, оказывается отличной от той, которую испытывал бы твердый шарик того же радиуса (см. задачу 2 $ 20).
Если же пузырек покрыт пленкой адсорбированного вещества, то прежде всего непосредственно из соображений симметрии ясно, что пленка остается при движении пузырька неподвижной. Действительно, движение в ней могло бы совершаться только по поверхности пузырька вдоль меридианов; в' результате происходило бы непрерывное накапливание вещества пленки у одного из полюсов пузырька (внутрь газа или жидкости адсорбированное вещество не проникает),что В $ 61 уже было указано, что граничное условие (61,14) с учетом этой силы может быть выполнено только у вязкой жидкости.
Отсюда следует, что в тех случаях, когда вязкость жидкости мала и несущественна для рассматриваемого явления, нет необходимости также и в учете наличия пленки. Для определения движения жидкости, покрытой пленкой, надо добавить к уравнениям движения жидкости с граничным условием (61,14) еще одно уравнение соответственно тому, что мы имеем теперь на одну неизвестную величину (поверхностная концентрация 7) больше. Этим дополнительным уравнением является уравнение непрерывности, выражающее собой неизменность общего количества адсорбированного вещества в пленке. Конкретный вид этого уравнения зависит от формы поверхности.
Если поверхность плоская, то оно имеет, очевидно, вид д, + д (ВАу)+ — (п„~) — 6, (гл. чп повнрхностнын явлнния 343 невозможно. Вместе со скоростью пленки должна быть равной нулю и скорость газа на поверхности пузырька, а при таких граничных условиях останется неподвижным вообще весь газ внутри пузырька. Таким образом, покрытый пленкой пузырек будет двигаться как твердый шарик и, в частности, испытываемая им сила сопротивления (при малых числах Рейнольдса) будет определяться формулой Стокса. Задачи 1. Два сосуда соединены глубоким длинным каналом с плоско-параллельиымн стеннами (ширина канала а, длина 1).
Поверхность жидиости в сосудах н в канале покрыта адсорбироваиной пленкой, причем поверхностные концентрации у, н у, пленки в обоих сосудах различны, в результате чего вблизи поверхности жидкости в канале возннкает движение. Определить количество переносимого прн этом движении вещества пленки. Р еще и не. Выбираем плоскость одной нз стенок канала в качестве плоскости х, г, а поверхность жидкости — в качестве глоскостн к, у, так, что ось х направлена вдоль длины капала; области жидкости соответствуют « ( О. Градиент давления отсугствует, так что уравнение стационарного движения жидкости (ср.
5 17) есть д'о д'о — + —.=О, (1) ду' дгт где о есть скорость жидкости, направленная, очевидно, по осн х. Вдоль длину ны канала имеется градиент концентрации —. На поверхности жидкости дХ в канале имеет место граничное условие до да — — при г=о. дг Их (2) На стенках канала жидкость должна быть неподвижна, т.е. (3) о=О прн у=о,а, Глубину канала считаем бесконечной, и потому о = О при г-ь — ос. (4) Частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (3) и (4), являются сопз1 Мп (2п + 1) — ° ехр 1Ь иу г (2а+ 1) и ) а ь о с целыми л.
Условию (2) удовлетворяет сумма з(п (2л+ 1) — ехр о (2а+ 1)з и о Количество переносимого (в единицу времени) вещества пленки равно и ч йат(чч 1 1дц ()- ) Ъ ),,др- — „„з ~~ (йн+1)з~ дх У о и о й ю) Влияние АДООРБиРОВАнных пленОк ИА ЛВижения 349 (движение происходит в направлении увеличения а). Величина О должна быть, очевидно, постоянной вдоль канала. Поэтому можно написатш ез з(а ( Г на у — = сонэ! нм — ~ — уз(х= — ~ у!2а, 4(Х Е 31(х где а! = а(у!), аз = а(ТП, и предполагается, что а, ~ а,.
Таким образом, имеем окончательно а, а, О=— з ~ уз(а=0,27 — ~ уз(а. В(яз гз (2п+ !)з ) ' 47( и з а, аз 2. Определить коэффициент затухания капиллярных волн на поверхности жидкости, покрытой адсорбнроваииой пленкой. Р е ш е н не. Если вязкость жидкости ие слишком велика, то растягивающие (тангенциальные) силы, действующие на пленку со стороны жидкости, малы, н поэтому пленку можно рассматривать как несжимаемую. Соответственно этому можно вычислять диссипацию энергии как дисси. нацию вблизи твердой стенки, т.е.
по формуле (24,)4). Написав потенциал скорости в виде 9 — Ф е!Зх-асе-Аг зр = !Рое получим для диссипации, отнесенной к единице площади поверхности; Енин= — т(,7 3 ) Аро!' 7' Рню Полная же энергия (тоже отнесенная к единице площади) есть Е р ~ эзс(х -Е-(йр )'. 2А Коэффициент затухания равен (используем соотношение (62,3)); 776 нх й714 1 Д 1!4 2Я(2 ьвр!н 2Я(2 рам ' Отношение этой величины к коэффициенту затухания капиллярных волн иа чистой поверхности жидкости (задача 2, 6 62) равно н велико по сравнению с единицей, если только длина волны не чрезмерно мала, Таким образом, наличие адсорбированной пленки на поверхности жид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
