Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Первый интеграл получающегося уравнения есть А — — у. (2) г+ ж а' Из условия на бесконечности (г =. О, г' = О при х чь) имеем А = 1. Второе интегрирование дает х= — — Агс(г — + а 2 — — + х,. а Ч/2 Э/2 г аг Постоянная ха должна быть определена так, чтобы на поверхности стенки (х = О) было г'= — с1а0 или согласно (2) г = й, где й аз/( — з!и 0 есть высота поднятия жидкости у самой стенки. г 3.
Определить форму поверхности жидкости, поднявшейся между двумя вертикальными парал. лельными плоскими пластинками (рис. 43). Ре ш е иве. Выбираем плоскость у, г посредине между обеими пластинками, а плоскость х, у— совпадающей с поверхностью жндиости вне пространства между плэстииками, вдали от них. Вурав.
ненни (1) задачи 2, выражающем условие равно- весил н потому справедливом вдоль всей повсрхиоти ж кости ка с ид ( к между, так и вне пластинок), условия при х = чэ дают опять сопя( = О. В инте. Рис, 43 грале же (2) уравнения (1) постоянная А различна для )х) ) А/2 и )х) < б/2 (при )х) = Н/2 функция г(х) имеет разрыв). Для пространства между пластинками имеем следующие условия: при х О должно быть г' = О, а при х = А/2 г' = с(ий, где 0 — краевой угол, Со. гласно (2) имеем для высот гэ = г(О) и гг = г(г//2) гэ — — а.~/А — 1, гг = а (/А — а)п О, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 1гл, кгг Интегрируя (2), получаем а.~/А-сее 1 (А — —,) «х а 1 сов $«Е 2 ~ 1/А — соз $ о где Š— новая переменная, связанная с х посредством х а ч/А — соз й.
Этот интеграл — эллиптический и не может быть выражен в элементарных функциях. Постоянная А определяется из условия г х, при х «12, откуда -е з соз $ «й З/А — соз й а ( а «= — 1 ° .й«й==-.й, откуда А = (а/«)гсозг О. Высота поднятия жидкости а' лэ Рэ х, яе — соз 0; эта формула может быть получена, разумеется, и элементарным путем, 4. Йа плоскости горизонтальной твердой поверхности находится (в поле тяжести) тонкий неравномерно нагретый слой жидкости; ее температура яв. ляется заданной функцией координаты х вдоль слоя, причем (благодаря тонкости пленки) ее можно считать не зависящей от координаты г вдоль толшины слоя, Неравномерная нагретость прйводит к возникновению стационарного движения жидкости в пленке, в результате чего ее толщина ь будет меняться вдоль слоя; требуется определить функцию ь = ь(х).
Р еще н не, Вместе с температурой заданными функциями х являются также плотность р жидкости и поверхностное натяжение а. Давление в жид. кости р = рэ+ рй(ь — г), где ра — атмосферное давление (давление на свободной поверхности слоя); изменением давления благодаря искривлению поверхности можно пренебречь, Скорость жидкости в тонком слое можно считать направленной везде вдоль оси х. Уравнение движения гласит: она др Г«(рд «р1 т) = — =л~ — х — ).
дхэ дх ь «х «х 3' На твердой поверхности (х = О) имеем э = О, а на свободной поверхности (х = ~) должно выполняться граничное условие (б1,14), которое н данном случае дает «о! «а ! «х ~. 1= «х. Интегрируя ураннение (1) с этими условиями, получим: г й «(рэ) дх з, «р «а ' т)е ах (р — — ) — — — (Зйз — х') — — г —. 2) «х 6 «х «х' (2) Полученные формулы определяют форму поверхности жидкости н пространстве между пластинками.
При «-ь0 А стремятся к бесконечности. Поэтому при « ~ а имеем: — -е э 341 клпилляпные ВОлны $ от) Ввиду стационарностн движения полный поток жидкости через попереч иое сечени. слоя должен бить равен нулю: ~ о о(л О. Подставляя сюда (2), о получим следующее уравнение: р дто 1 о(р 1 о(а + йо 3 дх 4 о(х 3 дх ' определяющее функцию й(х), Интегрируя его, получим: Кй = зр [) р аа + сояз1~.
(3) Если температура (а с ней и р и а) лишь мало меняется вдоль слоя жидкости, то можно написать (3) в виде йо ( — о) + — (а — а,), р ро где со — значение й в точке, где р = ро, а = ао. 3 62. Капиллярные волны Поверхность жидкости стремится принять свою равновесную форму как под влиянием действующего на жидкость поля тяжести, так и под влиянием сил поверхностного натяжения. Между тем при изучении в 3 12 волн на поверхности жидкости мы не учитывали этого последнего фактора. Мы увидим ниже, что влияние капиллярности на гравитационные волны существенно при малых длинах волн. Как и в $ 12, будем предполагать амплитуду колебаний малой по сравнению с длиной волны. Для потенциала скорости имеем по-прежнему уравнение Лр=О.
Условие же на поверхности жидкости будет теперь иным: разность давлений с обеих сторон этой поверхности должна быть равной не нулю, как это предполагалось в 5 12, а должна определяться формулой Лапласа (61,3) Обозначим г-координату точек поверхности жидкости посредством ~. Поскольку ~ мало, то можно воспользоваться выражением (61,11) н написать формулу Лапласа в виде Г дог одой Ч р — р = — а~ — + — ). ~ дх др .)' Здесь р есть давление в жидкости вблизи поверхности, ро†постоянное внешнее давление. Для р подставляем согласно (!2,2) д) дяо и находим: ггл. ч!3 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 342 Связь между й и пэ определяется теперь из предельного условия (62,1) и имеет вид озз = дй + —" йз (62,2) Р ((уг. 77готзоп, 1871).
Мы видим, что при больших длинах волн, удовлетворягощих условию !зла;(др/а) гз или к ч. 1/а (а — капиллярная постоянная), влиянием капнллярности можно пренебречь, и волна является чисто гравитационной. В обрат- ном случае коротких волн можно пренебречь влиянием поля тя- жести. Тогда а мз Р Такие волны называются капиллярньгми; в промежуточном случае говорят о капиллярмо-гравигационньгх волнах. Определим еще собственные колебания сферической капли несжимаемой жидкости совершаемые ею под влиянием капиллярных сил.
При колебаниях происходит отклонение формы поверхности капли от сферической, Амплитуду колебаний будем, как обычно, предполагать малой. Начнем с определения суммы 1/)тг + 1/гтз для поверхности, слабо отклоняющейся от сферической. Поступим для этого аналогично тому, что мы делали при выводе формулы (61,11) Площадь поверхности, описываемой в сферических координатах ') г, 9, гр функцией г = г(9, гр), равна, как известно, интегралу эп и (62,3) ~/г +(бб) + . гб ( — ) г е1пйс(9гггр. (62,4) о з Шаровая поверхность описывается уравнением г =сонэ! !с (1т —.радиус шара), а близкая к ней поверхность — уравнением ') Ниже в этом параграфе м обозначает азимут сферпчеекнх коордннат, а потенциал скоростн мм будем обозначать посредством ф.
(по тем же причинам, как и в $ 12, можно, определяя соответствующим образом гр, опустить постоянную р,), Продифференцировчв зто соотношение по 1 и заменив в нем дЬ7дг' на дгрудг, получим граничное условие для потенциала гр в виде Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Как и в 9!2, получаем решение в виде з гр =Аеезсоз(/гх — оз(). клпилляяные волны о б21 г =Я+ ь с малым ь.
Подставляя это в (62,4), имеем приближенно оя я Р= ~ $ ((Р+ 1) + ~(дц ) + ! гв (д Д $!п Об(ОЙР. о о Определим изменение б! поверхности при варьировании ~. Имеем: Ы б 6| =~ ~ (2(Р+ЦЬ~ + — — + —., — — ~ з!пО!(9!(!р. д~ дай ! д~ дд~! д8 д8 Мя'8 дф дф) о о Интегрируя второй член по частям по углу О, а третий член— по !р, получаем: 6| = ~ ~ (2 Я+Я вЂ” — — рп Π— ) — — — ~ б~з|пйб(Обйр. ! д т дйк 1 дй! б1п8 д8 ~. д83 Мябв дф'! о о Если разделить выражение в фигурных скобках на Я(Р+ 2'), то выражение, которое будет стоять под знаком интеграла в качестве множителя при 6",с!) ж ЦРЯ+2~)з1пйб(Обйр, будет согласно формуле (61,2) представлять собой как раз искомую сумму обратных радиусов кривизны, вычисленную с точностью до членов первого порядка по 1., Таким образом, получим: 1 1 2 26 ! ~ 1 д'~ 1 д ( ° дй ~ Р Р и Р' Р' 1ып'8 дф' Мпв да ~ дв У вЂ” + — = — — — — — ! —.
— + —, — ! з!п 9 — 1~ . (62,5) Первый член соответствует чисто сферической поверхности, для которой Н! = Йо Й. Потенциал скорости !р удовлетворяет уравнению Лапласа Ь!р = 0 с граничным условием при г = Я, имеющим вид (аналогично тому, что мы имели для плоской поверхности) р — О+а ( — — — "б — „~ —,— (з!п98) + —,, — — ~~~+ро=О.
Постоянную 2и/Р+ до в этом условии снова можно опустить; дифференцируя по времеви и подставляя дь дф д! дг т (гл. у!$ поввехностныв являния находим окончательно граничное условие для зр в виде Будем искать решение в ниде стоячей волны зР е-!о!~ (г 8 !р) где функция 1 удовлетворяет уравнению Лапласа Ь) = О. Как известно, всякое решение уравнения Лапласа может быть пред- ставлено в виде линейной комбинации так называемых объем- ных шаровых функций вида г'У! (8, <р), где У! (8, ф) — шаровые функции Лапласа, равные Уьз(О, ф)=Р!"(созО)е' ', Здесь доз Р! (соз 9) Р (созО)= з!пм8 и'(соз ) присоединенная функция Лежандра (Р!(соз О) — иолииом Лежандра 1-го порядка).
Как известно, 1 пробегает все целые положительные значения, включая нуль, а т пробегает при заданном 1 значения пз = О, ~ ), ~2, ..., ~1. Соответственно этому ищем частное решение поставленной задачи в виде зр=Ае '"'г'Р',"(созО)е' ч. (62,7) Частота оз определяется так, чтобы удовлетворить предельному условию (62,6). Подставляя в это уравнение выражеиие (62,7) и воспользовавшись тем, что шаровые функции У! удовлетворяют уравнению — — ~з!пΠ— ) + — — +1(1+ ))у! —— О ! д / . дУ!щ~ 1 д)"~т з!и З да ~ дз ) з)п' О доз ОВ находим (сокращая общий множитель !)): рсоз + — ", (2 — 1(1 + 1)) = О, откуда (62,8) ()(ау1е18(з, 1879). Эта формула определяет частоты собственных капиллярных колебаний сферической капли. Мы видим, что они зависят толь- кхпилляпыын ВОлны ко от числа 1, но не от лт.
Между тем данному 1 соответствует 21-+1 различных функций (62,7). Таким образом, каждая из частот (62,8) соответствует 21+ 1 различным собственным колебаниям. О независимых собственных колебаниях, имеющих одинаковые частоты, говорят как о вырожденных; в данном случае имеет место 21+ 1-кратное вырождение. Выражение (62,8)обращается в нуль при 1=0 и при 1 =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
