Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Аналогичное исследование для сжимаемой жидкости показывает, что такая неустойчивость имеет место и в общем случае произвольных скоростей (см. задачу 1). повнРхности Разрыва Частным случаем тангенциальных разрывов являются разрывы, в которых скорость непрерывна и испытывает скачок только плотность (а с ней и другие термодинамические величины за исключением давления); такие разрывы называют контакгнв!ми. Сказанное выше о неустойчивости к ним не относится. Задачи 1. Исследовать устойчивость (по отношению к бесконечно малым возмущениям) тангенциальных разрывов в однородной сжимаемой среде (газ или жидкость). Р е ш е н не. Вычисления аналогичны произведенным в 6 29 для несжимаемой жидкости.
Как и там„па нормали к поверхности направим ась г. В среде 2 (со скоростью и» = О, а ( 0) давление удовлетворяет уравне. нию Р' — с при=о (вместо уравнения Лапласа (29,2) в несжимаемой жидкости), Ищем рх в виде Р сопз1 ° ехр ( — !а! + !дх + !х,г), где волновое число «ряби» иа поверхности обозначено через д (вместо й в Ч 29); если х, комплексно, то оно должно быть выбрано так, чтобы было (щ х» О, Волновое уравнение приводит к соотношению а с (д +хз). (1) Вместо (29,7) тем же образом находим теперь Ра ЬРа !'!хх. г В газе 1, движущемся со скоростью т~ и (г > 0), ищем р! в виде р, сопз1 ехр ( — !а(+ !)х — !х г). Для упрощения выводов предположим сначала, что скорость ч направлена тоже по оси х.
Соотношение между а, Ч, х, дается формулой (а — пд) с (д + х,) (2) (ср. (66,1)). Вместо (296) получаем теперь х о Р, — ь(а — до) р(!хи и Условие Р! — — Ра пРиводит к УРавнению х, + — =О. х, (а — Чи)' а' (3) От сделанного выше предположения о направлении скорости ч можно избавиться, заметив, что иевозмущеиная скорость входит в исходные лииеаризо. ванные уравнение непрерывности и уравнение Эйлера только в комбинации (»Ч) (соответственно в членах (»Ч)Р' и («Ч)ч') Поэтому для перехода к произвольному направлению и (в плоскости хр) достаточно заменить в (1)— (3) о на о сова, где и — угол между т и Ч (ср. примечание на с. 155).
УДАРНЪ|П ВОЛНЫ [ГЛ. !Х Исключив мь к«из (1) — (3), получим следующее днсперсиоивое уравнение для определения частоты возмущения и по волновому числу йс и (е посо« ф) д , 1 О. (4) ~1 ! ~ 1 Корень первого множителя 1 е -их- до саз ф (б) всегда веществен. Корни второго множителя: 1- оп соз р ~ д ) о' соз' р + с«ш с (с«+ от соз«р) '(т (; (б) 2 вти корни вещественны только при о соз ф ) и», где о 2 Гас.
ь (7) Таким образом, при о соз ф ( о, дисперсиоияое уравнение имеет лару комплексно-сопряженных корней, длй одного из которых будет 1ш и ) 0; соответствующие возмущения приводят к неустойчивости. При о ( о«таковы возмущения с любым углом ф, а при о э о* неустойчивы только возмущения с соз ф ( о«/о. В результате таигеициальный разрыв неустойчив всегда.
Отметим, что сам факт неустойчивости (если ие интересоваться по отношению к каким именно возмущениям) очевиден уже из неустойчивости в случае несжимаемой жидкости в совокупности с тем обстоятельством, что в дисперсноиное уравнение скорость о входит только в комбинации о соз ф: какова бы ии была скорость о, найдутся такие углы ф, для которых о соз ф < с, так что по отношению к таким возмущениям среда ведет себя как несжимаемая'). 2.
На таигеициальиый разрыв в однородной сжимаемой среде падает плоская звуковая волна; определить интенсивности отраженной от разрыва волны и волны, преломленной па нем (д )р. М1(ез, 1957; йй 8. йьйпег, 1997). Р е ш е и и е. Выбираем оси координат, как в предыдущей задаче, причем скорость т (в среде 1, а ) О) направлена по оси х.
Пусть звуковая волив падает из неподвижной среды (среда 2, х ( О); направление ее волнового вектора й задается сферическими углами 9 и ф; угол Π— мезкду й и осью х, угол ф — между проекцией й иа плоскость ху (обозначим ее 9) н скоростью т! И И й о сов ф, й о зш ф, й — з!и О, о= — шпй=й з!пО, « к ' «с ' с причем 0 ( О ( п(2 (волна падает в положительном направлении оси я). В среде 2 ищем давление в виде з(Ь «4«а-.а!) !а « -и « рт е « " (е «+А« где и удовлетворяет уравнению (е — ой,)а ст(йз + й„' .(- иа) ') Значение (7) получено Л. Д. Ландау (1944). Необходимость учета в этой задаче иеколлииеарности т и 9 указана С. И.
Сыроватским (1954). где А — амплитуда отраженной волны, а амплитуда падающей волны условно принята за единицу. В среде 1 имеем одну преломленную волну: ! (а «ч-а„а+к«-а!) ПОВВРХНОСТИ РАЗРЫВА (ср, (2)). Амплитуды А я В определяются из условнй непрерывностн дав- ления н вертнкального смещения жидких частиц по обе стороны разрыва! р!=Рз прн г О. 1~ ьз=6. Это дает два уравнения 1+А В, йг ,  —,(1 — А), (а — ой„)' е' откуда (а — ей„)т/к — ее/й 2 (в — ойл)з/х (е — ~й»)'/~ + ~'/й ' ( — сй Р/н + е'/йг ' (8) чем н решается поставленная задача. Знак велнчнны к, ат к' — [(1 — М з)п О соз ф)' — з!и' О), М = —, с' с ' должен быть выбран с учетом предельных условий прн г- ощ скорость преломленной волны должна быть направлена от разрыва, т.е.
де сзх и,= — = > О. (9) '= ан = в — эй. (Ез нз (68,3)). В случае 3 имеем х < О, а потому н Оз < О, — энергия прнходит к разрыву нз движущейся среды, что я служит нсточником усиления. Прн спонтанном нзлученнн звука эта прнходящая энергия совпадает с энергией, уносимой волной, уходящей в неподвижную среду. Б изложенном решения задачи неустойчивость поверхностн разрыва не учитывается. Формальная корректность такой постановки задачн связана с тем, что звуковые волны н неустойчивые поверхностные (затухающие прн г -ь~оа) волны представляют собой лннейно независямые колебательные моды. Физическая же корректность требует соблюденин сцецнальных условий (например, начальных), в которых поверхностные волны еще достаточно слабы.
Из полученных формул видно, что возможны три разлнчных режима отраженна. 1) Прн М соз ф < !/а!п 8 — 1 величина н вещественна, а поскольку в — эй, ) О, то согласно условно (9) х л О Из (8) вндно, что прн этом (А( < 1 — отражение происходит с ослабленнем волны. 2) Прн 1/з(п Π— 1 < М сов ф < 1/юп О+ 1 велнчнна н мнима и )А( 1, — происходят полное внутреннее отражение звуковой волны. 3) Прн М сов ф > 1+ 1/з1п О (что возможно лишь при М ) 2) величина н снова вещественна, но теперь надо выбрать х < О.
Согласно (8) прн этом (А( ) 1, т.е. отражение происходит с усилением волны. Более того, знаменатели выражений (8) с х < О могут обратиться в нуль прн определенных углах падения волны, и тогда коэффициент отражении обращается в бесконечность. Поскольку этот знаменатель совпадает (с точностью до обозначений) с левой стороной уравнення (3) предыдущей задачи, то можно сразу эаключнть, что «резонансные» углы падения определяются равенствамн (5) н (6) (последнее — прн М) 2згз).
Б свою очередь, бесконечность коэффнцяента отраженна (н прохождення), т. е, конечность амплнтуды отраженной волны прн стремящейся к нулю амплитуде падающей волны, означает воз. можность спонтанного излучения звука поверхностью разрыва: раз созданное на ней возмущенне (рябь) неограниченно долго продолжает нзлучать звуковые волны, не затухая н не усиливаясь прн этом; энергия, уносимая нзлучаемым звуком, черпается нз всей двнжущейся среды.
Плотность потока энергкн (усрелненная по временн) в преломленной волне — с'х е )ВР Оз = (/гЕ = е — сй„е — эй» 2рс' )гл. 2х уддрныв волны $ 85. Ударная адиабата Перейдем к подробному изучению ударных воли'). Мы виделн, что в этих разрывах тангенциальная компонента скорости газа непрерывна. Можно поэтому выбрать систему координат, в которой рассматриваемый элемент поверхности разрыва покоится, а тангенциальиая компонента скорости газа по обе стороны поверхности равна нулюа). Тогда можно писать вместо нормальной компоненты о просто о и условия (84,7) напишутся в виде (85,1) (85,2) Р!о! = Рзп! = 1 Р! + РР! = Рз+ Ргоз вз вз ! 2 и!! + = шз+ — ° т 2 (85,3) где 1' обозначает плотность потока газа через поверхность разрыва, Мы условимся в дальнейшем всегда считать 1 положительным, причем газ переходит со стороны 1 на сторону 2. Другими словами, мы будем называть газом 1 тот, в сторону которого движется ударная волив, а газом 2 — газ, остающийся за ней.
Сторону ударной волны, обращенную к газу 1, будем называть передней, а обращенную к газу 2 — задней. Выведем ряд соотношений, являющихся следствием написанных условий. Введем удельные объемы У, = 1/р!, Уз = 1/ря газа. Из (85,1) имеем." о! 11 ! О2 112 (85,4) и, подставляя в (85,2): (85,5) или (85,6) !) Сделаем одно терминологическое замечание. Под ударной волной мы понимаем самую поверхность разрыва. 8 литературе, однако, можно встретить н другую терминологию, в которой поверхность разрыва называют фронтом ударной волны, а под ударной волной понимают поверхность разрыва вместе со следующим за иим течением !аза ') такой выбор системы координат будет подразумеваться везде в втой главе, за исключением 2 92.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
