Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Для одноатомных газов у = 5/3, а для двух- атомных у = 7/5 (при обычных температурах) '). Внутренняя энергия политропного газа с точностью до несу. щественной аддитивной постоянной равна в=с„Т = — = рг' с' (83,10) у — 1 у(у — 1) ' Для тепловой функции имеют место аналогичные формулы (83,11) Здесь Учтено известное соотношение ср — с, = Я/12. Наконец, энтропия газа э=с,!и — =с !п —. (83, 12) с т р 2 и =ел мах= алЧ у ! ° (83,13) Для критической же скорости нэ второго уравнения (83,7) получим: 2 2 2 с с св + = !се= у — 1 2 у — 1' ') Название газа «политроиный» происходит от термина «политропный процесс» — процесс, в котором давление меняется обратно пропорционально векоторой степени объема 2!ля газа с постояиныма теплоемкостями таковым является не только изотермияескнй, но и адиабатияескнй процесс, для которого ррт= сопз1 (ааиабата Пуассона).
Отношение теплоемкостей у назы. вают показателен аднабптьь Вернемся к изучению стационарного движения и применим полученные выше общие соотношения к политропному газу. Подставив (83,11) в (83,3), найдем, что максимальная скорость стационарного вытекания равна стдциОнаиныи пОтОк сжимАамОГО ГА3А 449 з зз] откуда ') (83,14) Уравнение Бернулли (83,1) после подстановки выражения '(83,11) для тепловой функции даст соотношение между температурой и скоростью в произвольной точке линии тока; аналогичные соотношения для давления и плотности можно затем написать с помощью уравнения адиабаты Пуассона: 1 '(т) '( ) ' (83,15) Таким образом, получим следующие важные формулы: 2 — (83,16) т+! с) т Иногда удобно пользоваться этими соотношениями в виде, опре- деляющем скорость через другие величины: »-1 '= — <~[1 — (~) ]= 1, ~(1 — ( Г) 1. 183171 Выпишем также соотношение, связывающее скорость звука со скоростью ш — т+! с'= с — — о'= — с- — о.
О 2 2 " 2 (83,18) Когда М растет от О до оо, Мт растет от О до (у+ 1)/(у — 1). Наконец, приведем выражения для критических значений температуры, давления и плотности; они получаются при о = с» ') На рис. 52 дан график отношения 111» а функции от о/а» дла воздуха (т = !,4, о»» = 2,45с»). Отсюда найдем, что числа М и М, связаны друг с другом посредством м;= у+! (83,!9) 1гл.
1х нддннын волны из формул (83,16)'): т 1 т.= 'Т',, р.=р,( — ''~т ', р,=р,( — 2,)" '. (83,2О) Подчеркнем н заключение, что полученные здесь результаты относятся к движению, при котором не возникают ударные волны. При наличии ударных волн не имеет места уравнение (83,2): при прохождении линии тока через ударную волну энтропия газа возрастает.
Мы увидим, однако, что уравнение Бернулли (83,1) остается справедливым и при наличии ударной волны, так как тн + от/2 является как раз одной из величин, сохраняющихся при ирохождении через поверхность разрыва (3 85); вместе с ним остается, например, справедливой и формула (83,14). Задача Выразить температуру, даалеиие и плотность вдоль линии тока через число М= о/с.
Р е ш е и и е. С помошью полученных а тексте формул получим ф-1+-~.~ — '-м, и' -~1+ т ' м~" 1 — -~1+ — М ~ % 84. Поверхности разрыва В предыдуших главах мы рассматривали только такие течения, при которых распределение всех величин (скорости, давления, плотности и т. д.) в газе непрерывно. Возможны, однако, и движения, при которых возникают разрывы непрерывности в распределении этих величин. Разрыв непрерывности в движении газа имеет место вдоль некоторых поверхностей; при прохождении через такую поверхность указанные величины испытывают скачок, Этн поверхности называют поверхностями разрыва.
При нестапионарном движении газа поверхности разрыва не остаются, вообще говоря, неподвижными; необходимо при этом подчеркнуть, что скорость движения поверхности разрыва не имеет ничего общего со скоростью движения самого газа. Частицы газа при своем движении могут проходить через эту поверхность, пересекая ее. На поверхностях разрыва должны выполняться определенные граничные условия. Для формулирования этих условий рас- Ч так, для ноздуза (т = 1,4) сь = 0,913 сь рь = 0,523 рь рь 0,634 ро, Ть = 0333 Ть ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА и полученное условие напишется в виде [ро.[ =- О (84,!) Далее, должен быть непрерывным поток энергии.
Поток эневгии определяется выражением (8,3). Поэтому мы получае)а условие [ ров [ — + гн)1 = О. (84,2) Наконец, должен быть непрерывен поток импульса, т. е. должны быть рап гы силы, с которыми действуют друг на друга газы по обеим сторонам поверхности разрыва. Поток импульса через единицу площади равен (см. й 7) рп, + ри!иепа. Вектор нормали и напраилен по осн х. Поэтому непрерывность х-компоненты потока импульса приводит к условию [л + ро',~ = О, (84,3) а непрерывность у- и г-компонент дает [ро»оа) = О, [ро,п,) = О. (84,4) Уравнения (84,! — 4) представляют собой полную систему граничных условий на поверхности разрыва, Из них можно сразу сделать вывод о возможности существования двух типов поверхностей разрыва.
В первом случае через поверхность разрыва нет потока вещества, Это значит, что р!о!» = ртогх О. Поскольку р, и ра отличны от нуля, то это значит, что должно быть о!х пах = О. '! Бслн лвнженне нестацнонарно, та мм рассматрнваем элемент поверхности в течение малого интервала времени. смотрим какой-нибудь элемент поверхности разрыва и воспольауемся связанной с этим элементом системой координат с осью х, направленной по нормали к нему '), Во-первых, на поверхности разрыва должен быть непрерывен поток вещества: количество газа, входящего с одной стороны, должно быть равно количеству газа, выходящему с другой стороны поверхности. Поток газа через рассматриваемый элемент поверхности (отнесенный на единицу площади) равен ро . Поэтому должно выполняться условие о!о!, = раоэ„где индексы ! и 2 относится к двум сторонам поверхности разрыва.
Разность значений какой-либо величины с обеих сторон поверхности разрыва мы будем ниже обозначать посредством квадратных скобок; так, [Рпх[ р!о!х Раотхг 4В2 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ [гл. !х Условия (84,2) и (84,4) в этом случае удовлетворяются автоматически, а условие (84,3) дает р1 = рз, Таким образом, на поверхности разрыва в этом случае непрерывны нормальная компонента скорости и давление газа: о„= оз„= О, (р] = О, (84,5) Тангенциальные же скорости о„, о, и плотность (а также другие термодинамические величины, кроме давления) могут испытывать произвольный скачок.
Такие разрывы будем называть тангенииальными. Во втором случае поток вещества, а с ним и оы и оь, отличны от нуля. Тогда из (84,1) и (84,4) имеем: (оу] =О, (о,]=0, (84,6) т. е. тангенциальная скорость непрерывна на поверхности разрыва. Плотность же, давление (а потому и другие термодинамические величины) и нормальная скорость испытывают скачок, причем скачки этих величин связаны соотношениями (84,1 — 3). В условии (84,2) мы можем в силу (84,1) сократить ро, а вместо оз можно в силу непрерывности о„и о, писать о~. Таким образом, на поверхности разрыва в рассматриваемом случае должнгя иметь место условия: [Ро„1-0, ~ 2 +ш1=0, [р+Рох[=0. (84,7) Разрывы этого типа называют ударными волнами.
Если теперь вернуться к неподвижной системе координат, то вместо о„ надо везде писать разность между нормальной к поверхности разрыва компонентой о, скорости газа и скоростью и самой поверхности, направленной, цо определению, по нормали к ней: (84,8) о, = о„— и. Скорости о„ и и берутся относительно неподвижной системы отсчета. Скорость о, есть скорость движения газа относительно поверхности разрыва; иначе можно сказать, что — о, = и — о„ есть скорость распространения самой поверхности разрыва относительно газа.
Обращаем внимание на то, что эта скорость различна по отношению к газу с обеих сторон поверхности (если о, испытывает разрыв). Тангенциальные разрывы, на которых испытывают скачок касательные компоненты скорости, рассматривались нами уже в й 29. Там было показано, что в несжимаемой жидкости такие разрывы неустойчивы и должны размываться в турбулентную область.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
