Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Именно необходимо исследовать еще вопрос об устойчивости ударных волн. Наиболее общее необходимое условие устойчивости состоит в требовании, чтобы любое бесконечно малое воз- ') Напомним в то же время, что (по крайней мере лля ударных воли слабой интенсивности) эти термодинамические соображения прнволят к условиям (Зз,!) также и при (дт)удр'), ( б, котаа ударная волна является волной разрежении (а не сжатия); это обстоятельство было отмечено в конце $86. 467 эаолюциоцность удзпньгх волн мущение начального (в некоторый момент 1 = О) состояния приводило бы лишь к вполне определенным бесконечно малым же изменениям течения, — по крайней мере в течение достаточно малого промежутка времени б Последняя оговорка означает недостаточность указанного условия; так, если начальное малое возмущение возрастает даже экспоненциально (как ет' с положительной постоянной у), то в течение времени 1 ( 1/у возмущение остается малым, хотя в конце концов оно й приводит к разрушению данного режима движения.
Возмущением, не удовлетворяющим поставленному необходимому условию, является расщепление ударной волны на два (или более) последовательных разрыва; очевидно, что изменение движения при этом сразу же оказывается не малым, хотя прн малых 1 (когда оба разрыва не разошлись еще на большое расстояние) оно и занимает лишь небольшой интервал расстояний бх. Произвольное начальное малое возмущение определяется некоторым числом независимых параметров. Дальнейшая же эволюция возмущения определяется системой линеаризованиых граничных условий, которые должны удовлетворяться на поверхности разрыва. Поставленное выше необходимое условие устойчивости будет выполнено, если число этих уравнений совпадает с числом содержащихся в них неизвестных параметров — тогда граничные условия определяют дальнейшее развитие возмущеняя, которое при малых 1) 0 останется малым. Если же число уравнений больше или меньше числа независимых параметров, то задача о малом возмущении не имеет решений вовсе или имеет их бесконечное множество, Оба случая свидетельствовали бы о неправомерности исходного предположения (малость возмущения при малых 1) н, таким образом, противоречили бы поставленному требованию.
Сформулированное таким образом условие называют условием эволюционности течения, Рассмотрим возмущение ударной волны, представляющее собой ее бесконечно малое смешение в направлении, перпендикулярном ее плоскости '), Оно сопровождается бесконечно малым возмущением также и других величин — давления, скорости и т, д. газа по обеим сторонам поверхности разрыва.
Эти возмущения, возникнув вблизи волны, будут затем распространяться от нее, переносясь (относительно газа) со скоростью звука; это не относится лишь к возмущению энтропии, которое буьхг переноситься только с самим газом. Таким образом, произвольное возмущение' данного типа можно рассматривать как совокупность звуковых возмущений, распространяющихся в газах 7 н 2 по обе стороны ударной волны, и возмущения энтропии; последнее, перемешаясь вместе с газом, будет, очевидно, существо- ') Излагаемое паже обоснование неравенств (88,1) пранадлежнт 7. Д.
Ландау (1944). улАРиые волны игл. !х вать лишь в газе 2 позади ударной волны. В каждом из звуковых возмущений изменения всех величин связаны друг с другом определенными соотношениями, следующими из уравнений движения (как в любой звуковой волне; З 64); поэтому каждое такое возмущение определяется всего лишь одним параметром. Подсчитаем теперь число возможных звуковых возмущений. Оно зависит от относительной величины скоростей газа оь оз и скоростей звука сь сь Выберем направление движения газа (со стороны ! на сторону 2) в качестве положительного направления оси х. Скорость распространения возмущения в газе ! относительно неподвижной ударной волны есть и1=о1~сь а в газе 2 из = оз ~ оь Тот факт, что эти возмущения должны распространяться по направлению от ударной волны, означает, что должно бытьи1 -О,из)О. Предположим, что о~ .> сь оз ( сь Тогда ясно, что оба значения и1 = о1 ~ с, будут положительными, а из двух значений В>й вз<сз и.
будут положительными лишь ох+ + сэ Это значит, что в газе ! вообще не сможет быть интересующих нас звуковых возмущений, а в газе 2— всего одно, распространяющееся относительно самого газа со скоростью и,<5 уз<с~ пс сь Аналогичным образом производится подсчет в других случаях. Результат изображен на рис. 57, где каждая стрелка соответствует одному звуковому возмущению, распро- эх> с вз> г, 5 <5 Рис, зт страняющемуся относительно газа в указываемую стрелкой сторону. Каждое же звуковое возмущение определяется, как было выше указано, одним параметром. Кроме того, во всех четырех случаях имеется еше по два параметра: параметр, определяющий распространяюшееся в газе 2 возмущение энтропии, и параметр, определяющий самое смещение ударной волны. Для каждого из четырех случаев на рис. 57 цифрой в кружке указано получающееся таким образом полное число параметров, определяющих произвольное возмушение, возникающее при смещении ударной волны.
С другой стороны, число необходимых граничных условий, которым должно удовлетворять возмущение на поверхности разрыва, равно трем (условия непрерывности потоков массы, энергии и импульса). Во всех изображенных на рис. 57 случаях, за исключением лишь первого, число имеющихся независимых параметров превышает число уравнений, Мы видим, что эволюционны лишь ударные волны, удовлетворяюшие условиям (88,1). Эти условия, таким образом, необходимы для существования ударных волн, вне зависимости от термодннамических свойств удлгныв волны в политропном глзя среды. Искусственно созданный разрыв, не удовлетворяющий этим условиям, немедленно распался бы на другие разрывы ').
Эволюционная ударная волна устойчива по отношению к рассмотренному типу возмущений и в обычном смысле этого слова, Если искать смещение ударной волны (а с ним и возмущения всех остальных величин) в виде, пропорциональном е-! ', то заранее очевидно, что однозначно определяемое граничными условиями значение оз может быть только нулем — уже хотя бы из тех соображений, что в задаче нет никаких параметров размерности обратного времени, которые могли бы определить отличное от нуля значение оз. Мы вернемся к вопросу об устойчивости ударнь!х волн в $90. 9 89.
Ударные волны в политропном газе Рис. 58 Применим полученные в предыдущих параграфах общие соотношения к ударным волнам в политропном газе. Тепловая функция такого газа дается простой формулой (83,11). Подставив это выражение в (85,9), получим после простого преобразования Р у)) следующую формулу: 4 Уз ! ! У! ! (7+ 1) Р!+ (7 1) Р* (7 — 1) Р1+ (7+!) Р ! (89,1) По этой формуле можно й определить по трем из величин рь Уь Рз, (гх четвертую. Отношение 1~х/)г! является монотонно убывающей функцией отно- ! шенин рх/Р„стремящей- !!(л ся к конечному пределу (7 — 1)/(у+ 1).
Кривая, ! 2 З 4 Уа/5~ изображающая зависимость междУ Рх и (гз пРи заданных Рь )г! (ударная адиабата), представлена на рис. 58. Это — равнобочная гипербола с асимптотами рз 7 1 Рз 7 У! = 7+1 Р, 7+1 ') Во всех перечисленных на рис. 57 незволюционных случаах возмущение недоопределеио — число произвольных параметров превышает число уравнений Упомянем, что в магнитной гидродинамике ударные волны могут быть незволюциоиными в силу как недоопределенности, так н переопределенности возмущений (см. ЧН1, $ 73).
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ !гл. !х 470 Реальным смыслом обладает, как мы знаем, только верхняя часть кривой над точкой Р2/у'! — — р2/р, = 1, изображенная на рис. 58 (для у = 1,4) сплошной линией. Для отношения температур с обеих сторон разрыва имеем согласно уравнению состояния термодинамически идеального газа Т2/Т! = р2)лл/р2!/!, так что Рл Г(У+ Ц Р~+ (У вЂ” Ц Р21 т, р, ! (у — цр,+(у+цр,1 Для потока 1 получаем нз (85,6) и (89,1): л (У вЂ” Ц Р~+ (У+ Ц Рл (89,3) и отсюда для скорости распространения ударной волны относи- тельно газов впереди и позади нее: ~7=+ Г(у — 1) р, + (у+ 1) р,3- —,~(у — 1)+ (у+ 1) .ф1 (89,4) У! 1(у+Цр,+(у — Црл)' Р2 Г р,1 о1 2 1(у — Ц р~+ (у+ Ц рл) 2у 1. - ~~(у - 1) + (у + 1) Рл и для разности скоростей: 2/Ж~~ (рл — р~) О! — О2 1(у — Ц р + (у+ Ц рл) н (89,5) В применениях полезны формулы, выражающие отношения плотностей, давлений и температур в ударной волне через число М, = о!/с2, эти формулы без труда выводятся из полученных выше соотношений и гласят: р2 и, (у+ ЦМ, (89,6) р! Р2 (у — ц М2+ 2 рл 2у лл2 у — 1 р у+1 у+! Т2 [2ум! — (у — ц~ 1(у — ц м! + 2] т, (у+цм', (89,8) (89,7) Число же М, о2/с2 выражается через число М! посредством 2+ (у — ЦМ! М2= 2 2уМ! — (у — Ц (89,9) Это соотношение симметрично относительно М! и Мм как это .становится очевидным, если записать его в виде уравнения 2уМ2М2 — (у — !) (М!+ М2) = 2.
удАРные ВОлны В политРОпном ГАзе 47! й аэ1 Выпишем предельные формулы для ударных волн очень большой ннтенснвностн (требуется, чтобы быпо (у — 1) ря ~ з (у — 1)р,). Имеем нз (89,1 — 2): р, р, у-! т, у — )р, (89,10) ),=р,=у+! т, у+! р, Отношение Т,/Т, неограниченно растет вместе с рт/рн т. е. ска- чок температуры, как н скачок давления, в ударной волне мо- жет быть сколь угодно большим, Отношение же плотностей стремится к постоянному пределу; так, для одноатомного газа предельное значение ра — — 4р!, для двухатомного рт = брь Ско- рости распространения ударной волны большой интенсивности равны . /у+! О! = '))/ 2 Рт)г! ° и 2(у+ 1) Онн растут пропорпнонально корню нз давления рт.
Наконец, приведем соотношення для ударных волн слабой интенсивности, представляющие собой первые члены разложеннй по степеням малого отношения г — (Рт — р!)/р2: М, — 1=1 — М,= — а, — =1+ — «2 у+1 сх у — ! 4у ' с~ 2у 1 1 У вЂ” ! Ея (89 12) р~ у 2у Здесь сохранены члены, дающие первую поправку к значениям, отвечающим звуковому приближению. Задачи 1. Получить формулу 2 О!От=С, где с — критическая скорость (Е. Ргапкп). Решен не. Поскольку величина ю+ сх)2 непрерывна на ударной волне, можно ввести критическую скорость, одинаковую для газов ! н 2 согласно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
