Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 99
Текст из файла (страница 99)
!х сразу определено графически по этой же диаграмме — оно определяется перпендикуляром, опущенным из начала координат иа прямую, проведенную из точки ь) соответственно через точку В или А (на рис. 64 изображен угол <р для волны, соответствующей точке В). При уменьшении )( точка А приближается к точке Р, отвечающей прямому (р = я/2) скачку с о,= се/оы Точка же В приближается при этом к точке О, причем интенсивность ударной волны (скачок скорости в ней) стремится к нулю; в пределе, в самой точке !',), угол !р равен, как и следовало, углу Маха сс (угол наклона касательной к поляре к оси абсцисс в этой точке равен и/2 + сс,). Из диаграммы ударной поляры сразу можно вывести важное заключение, что угол отклонения )( потока в ударной волне не может превышать некоторого максимального значения т,ю соответствующего луч), проведенному из точки О касательно к кривой.
)( ., является, конечно, функцией числа М! — — и!/с!., мы не приводим ее здесь ввиду ее громоздкости. При М, = 1 имеем тч!ах = О, а при возрастании М, угол трах монотонно растет и при М!-ь.оо стремится к конечному пределу. Легко рассмотреть оба предельных случая. Если скорость о! близка к с„, то вместе с ней близка к сч и скорость пз, а угол )( мал; уравнение ударной поляры (92,6) можно тогда приближенно переписать в виде') ",~ = (о! — 02) (О! + От — 2с,) з т+1 .з (92,6) В обратном предельном случае, при М!-ь со, ударная поляра вырождается в окружность т — 1 оз го о 1(о за ( ! 2х)! зх т+! !/ Легко видеть, что при этом у,„= агсз! п (1/у), (92,8) На рис.
66 изображен график зависимости х „от М, для воздуха (у = 1,4); горизонтальный пунктирный отрезок показывает ') Можно легко убедиться в том, что уравнение (92,6) будет справедливым и для любого (ие полнтропного) газа, если только заменить в нем величину (т+ 1)12 на параметр мч, определенный согласно (102,2). з) Отметим, что зта зависимость Х ., от М, — 1 находится в согласии с общим законом подобия (126,7) для околозвуковых течений. (ввиду малости угла )( здесь положено из* ж ом ота м с,х).
Отсюда элементарным путем найдем з): l ~"'( + !) Азт КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА 4 м1 (92,10) (92,11) предельное значение )( ,„(оо) = 45,6' (верхняя кривая на рисунке в аналогичный график для обтекания конуса; см. 9 113). Окружность ОА — — с„пересекает ось абсцисс между точками Р и Я (рис. 64) и поэтому делит ударную поляру на две,части, соответствующие до- и сверхзвуковым скоростям газа позади разрыва.
Точка пересечения окружности ОА = с„ с полярой лежит пра- го."" х„„ вее точки С, но очень близко к ней; поэтому весь участок РС соот- м' ветствует переходам к дозвуковым Ао скоростям, а участок С(г (за исключением лишь очень небольшого участка вблизи точки С) — перехо- м г дам к сверхзвуковым скоростям. и' —— Изменения давления и плотноСтн В КОСОЙ УДаРНОй ВОЛНЕ ЗаВИСЯт 1о и гп гз го ЗАЛ, о только от нормальных к ней компонент скорости. Поэтому отношения ро/р, и р2/р, при заданных М, н ф получаются из формул (89,6 — 7) просто путем замены в них М1 на М1 ейпф: — = — (М, ебп ф — 1), Ф~ у+1 ы -ь Р~ (у — 1) М~ 5(п ф+ 2 Эти отношения монотонно возрастают при увеличении угла ф от значения ф = а1 (когда р,/р, = р,/р, = 1) до и/2, т.
е. по мере перемещения по ударной поляре от точки (г к точке Р. Приведем еще, для справок, формулу, выражающую угол поворота )( скорости через число М1 и угол ф: (у+ 1) М1 с!КХ !Кф~ — 1 ( 2(М1 В(п ф — 1) и формулу, определяющую число М, = Од/с, по М, и ф! 2+ (у — 1) М, 2М1~ сов~ ф Мп, 2 -(-, А (92 12) 2Ум, мп ф — (у — 1) 2+(у — 1) М~ мп ф (при ф = и/2 последнее выражение переходит в (89,9) ) Две ударные волны, определяемые ударной полярой для заданного угла поворота скорости, называют волнами слабого н сильного семейства. Ударная волна сильного семейства (участок РС поляры) обладает ббльшей интенсивностью (ббльшим отношением р,/р,), образует больший угол ф с направлением скорости у, и превращает течение из сверх- в дозвуковое.
Волна же слабого семейства (участок (гС поляры) обладает ШЛ. 1Х 466 УДАРНЫН ВОЛНЫ меньшей интенсивностью, наклонена к потоку под меньшим углом и почти всегда оставляет течение сверхзвуковым. Для иллюстрации на рис. 66 изображены зависимости угла )г отклонения скорости от угла ф наклона поверхности разрыва для воздуха (у = 1,4) при нескольких различных значениях числа Мь в том числе для предела М!-м пп.
Ветви кривых, изображенные сплошными линиями, отвечают ударным волнам сла- а гу' " т' $ и' бп и' гп' зй' +а' уп пп' уп зз' уп' угпп нгквнп угпрппп" гппнн Р Рис. 66 бого семейства, а изображенные пунктиром — ударным волнам сильного семейства. ПУнктиРнаи линиЯ )! = Х .х — геометРическое место точек максимального (при каждом заданном М,) угла отклонения, а сплошная линия Мз = 1 разделяет области сверх- и дозвукового течения позади разрыва; узкая область между этими двумя линиями отвечает ударным волнам слабого семейства, превращающим, однако, течение из сверх- в дозвуковое.
Разность значений угла ф на линиях й! = т ., и М, = 1 (при заданном М!) нигде не превышает 4,5; разяость же между )г,„ и значением )г =)!., на линии М, = 1 (тоже при заданном М!) не превышает 0,5' '). ') Подробные графики и диаграммы, относящиеся к ударной подаре (для у = 1А) можно найти в книгах: Лилмая Г. П., Решке А Элементы газовой динамики. — Мп ИЛ, 1960. (Е!ертапп О, йг., козййо А. Е)степ)а п1 яаа бупатыз.
— Х. Уп Л ттг1!еу, 19671; Озша111згй К Г)аз дупав)сз. — !Ч, Ул Асадевк Ргеаа, !966. шипинл удавных волн й ия 9 93. Ширина ударных волн Мы говорили до сих пор об ударных волнах как о геометрических поверхностях, не обладающих толщиной. Рассмотрим теперь вопрос о структуре реальных физических поверхностей разрыва. Мы увидим, что ударные волны с небольшими скачками величин представляют собой в действительности переходные слои конечной толщины, уменьшающейся при увеличении величины скачков.
Если же скачки величин в ударной волне не малы, то, действительно, разрыв происходит настолько резко, что в макроскопической теории не имеет смысла говорить о его тол щи не. Для определения структуры и толщины переходного слоя надо учесть вязкость и теплопроводность газа, влиянием которых мы до сих пор пренебрегали. Соотношения (85,1 — 3) на ударной волне были получены из условий постоянства потоков вещества, импульса и энергии.
Если рассматривать поверхность разрыва как слой конечной толщины, то зти условия надо писать не в виде равенства соответствующих величин по обе стороны разрыва, а в виде их постоянства вдоль всей толщины разрывного слоя, Первое из этих условий (85,1) не меняется: (93,1) рп ш 1 = соп51. В двух же других условиях надо учесть дополнительные потоки импульса и энергии, обусловленные внутренним трением и теплопроводностью. Плотность потока импульса (вдоль оси х), обусловленного внутренним трением, определяется компонентой — о„', вязкого тензора напряжений; согласно общему выражению (15,3) для этого тензора имеем: '' =(з 8+~) — '" Условие (85,2) приобретает теперь вид ') Р+ Рп~ — ( — т1+ь) — =сопз1. Как и в 9 85, введем вместо скорости и удельный объем )У согласно и = 1'ьг. Постоянную же в правой стороне равенства выразим через предельные значения величин на большом расстоянии впереди ударной волны (сторона 1).
Тогда написанное ') Положительное направление осн х соападает с направлением дииже. иии газа через неподаижную ударную волну. Если перейтн к системе отсчета, а которой неподанжен газ перед ударной волной, то сама ударная волна будет двигаться а отрицательном направлении оси х. 4ЗО УДАРНЫБ ВОЛНЫ 1ГЛ. 1Х условие примет вид Р'+1 (1 1') (з и+ ь)1 и О' (93'2» Далее, плотность потока энергии, обусловленного теплопроводностью, есть — ндТ/дх.
Поток же энергии, связанный с внутренним трением, есть Т4 Х РР— а' О . = — и' О = — ( — 21 + ~) Π— . «2 2 х гх Таким образом, условие (85,3) напишется в виде Р 4 Ва ВТ рп (ю + — ) — ( — и + ь) и — — х — = солз1, или, снова введя О =1У и выразив сопз1 через величины с индексом 1: 2 2 .Х4 х НУ и ЙТ гв — ю~+ — (У вЂ” У~) — 1( — 21+ ~) У вЂ” — —. — = О. (93,3) 2 (,3 ! нх 1-их=.
Мы будем рассматривать здесь ударные волны, в которых все величины испытывают лишь малый скачок. Тогда и все разности У вЂ” Ун р — р~ и т. п. между значениями величин внутри переходного слоя и вне его тоже малы. Из получающихся ниже соотношений видно, что 1/б (где б — ширина разрыва) есть величина первого порядка малости по рх — рь Поэтому дифференцирование по х увеличивает порядок малости на единицу (так, производная г(р/Ых — величина второго порядка).
Умножим уравнение (93,2) на (У+ У~)/2 и вычтем его из уравнения (93,3). Тогда получим: 2 (" 1')( + ') 1' нх 1 х ВТ (93, 4) (здесь опущен член, содержащий (У вЂ” У,)4(У/Нх, являющийся малой величиной третьего порядка). Разложим выражение в левой стороне (93,4) по степеням р — р, и з — зн выбрав давление и энтропию в качестве основных независимых переменных. Члены первого и второго порядка по р — р, в этом разложении выпадают (ср. Вычисления при выводе формулы (86,1)) и, опустив члены более высокого порядка, получим просто Т(з — з~). Производную же г(Т/г)х пишем в виде Член с производной 4(з/4(х можно опустить как малую величину третьего порядка (см. ниже), и в результате находим формулу, выражающую функцию з(х) через функцию р(х)1 '( — ~-т(У) Й (93,3) ШИРИНА УДАРНЫХ ВОЛН 491 Обратим внимание на то, что разность з — з» внутри переходного слоя оказывается величиной второго порядка малости, между тем как полный скачок зз — з» является (как было показано в $ 86) величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления рз — рь Это связано с тем, что (как будет показано ниже) давление р(х) меняется в переходном слое монотонно от одного предельного значения р» до другого рз, энгропия же х(х), определяясь производной »»р/с(х, проходит через максимум, достигая наибольшего значения внутри переходного слоя.
Уравнение, определяющее функцию р(х)„можно было бы получить путем аналогичного разложения уравнений (93,2 — 3) и их комбинирования друг с другом. Мы, однако, изберем другой, более поучительный способ, позволяющий более ясно понять происхождение различных членов в уравнении. В 9 79 было показано, что монохроматическое слабое возмущение состояния газа (звуковая волна) затухает по мере своего распространения с декрементом, пропорциональным квадрату частоты: у = аю', положительный коэффициент а выражается через коэффициенты вязкости и теплопроводности согласно формуле (79,6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
