Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Если движение стационарно относительно данной снстемьг координат, то поверхность разрыва неподвижна относительно этой системы, а газ протекает через нее. При этом нормальная к поверхности разрыва компонента скорости газа должна быть равна скорости звука. Если обозначить посредством а угол между направлением скорости газа и касательной плоскостью СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ Бог к поверхности, то должно быть о, = о з!п а = с, или з!п а = с/о, т. е. поверхность слабого разрыва пересекает линию тона под. углом Маха. Другими словами, поверхность слабого разрыва совпадает с одной из характеристических поверхностей, — результат вполне естественный, если иметь в виду физический смысл последних как поверхностей, вдоль которых распространяются малые возмущения (й 82).
Ясно, что прн стационарном движении газа слабые разрывы могут появиться только при скоростях, равных или превышающих скорость звука. В отношении способов возникновения слабые разрывы существенно отличаются от сильных. Мы увидим, что ударные волны могут образовываться сами по себе, непосредственно в результате движения газа, при непрерывных граничных условиях (например, образование ударных волн в звуковой волне; й ! 02).
В противоположность им слабые разрывы ие могут возникать сами по себе; их появление всегда связано с какими-либо особенностями в граничных или начальных условиях движения. Особенности эти могут быть, как и сами слабые разрывы, самого различного характера. Так, причиной образования слабого разрыва может являться наличие углов на поверхности обтекаемого тела; на возникающем в этом случае слабом разрыве испытывают сызчок первые производные скорости по координатам. К образованию слабого разрыва приводит также и скачок кривизны поверхности тела без угла на ней (причем испытывают разрыв вторые производные скорости по координатам) и т. п.
Наконец, всякая особенность в изменении движения со временем влечет за собой возникновение нестационарного слабого разрыва. Касательная к поверхности слабого разрыва компонента скорости протекающего через нее газа направлена всегда по направлению от того места (например, угла на поверхности тела)„ откуда исходят возмущения, вызывающие возникновение этого разрыва; мы будем говорить, что разрыв «исходит» из этого места.
Это есть одно из проявлений направленности расцространения возмущений вниз по течению в сверхзвуковом потоке. Наличие вязкости и теплопроводпости приводит к возникновению ширины у слабого разрыва, так что слабые разрывы, как и сильные, представляют собой в действительности некоторыепереходные слои. Однако в отличие от ударных волн, ширина которых зависит только от их интенсивности и постоянна во времени, ширина слабого разрыва растет со временем, начиная с момента образования разрыва. Закон, по которому происходит. это возрастание, легко найти (качественно) исходя из аналогии между перемещением слабого разрыва и распространением малых звуковых возмущений.
При наличии вязкости и теплопроводности возмущение, сконцентрированное первоначально. '502 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ~гл. !х в малом элементе объема (волновой пакет), по мере своего перемещения с течением времени расширяется; закон этого расширения был определен в $ 79. Из него можно сразу заключить, что ширина 6 слабого разрыва 6 (асЧ) '", (96,! ) где г — время, прошедшее с момента его возникновения, а а — коэффициент при квадрате частоты в формуле (79,6) для поглощения звука. Если мы имеем дело со стационарной картиной, в которой разрыв покоится, то вместо времени г надо говорить о расстоянии ( от места, из которого исходит разрыв (например, для слабого разрыва, возникающего от ггла на поверхности обтекаемого тела, ( есть расстояние от вершины угла); тогда 6 — (асхг) и").
В заключение этого параграфа необходимо сделать замечание, аналогичное замечанию в конце $ 82. Там было отмечено, что среди различных возмущений состояния движущегося газа исключительными по своим свойствам являются возмущения энтропии (при постоянном давлении) и ротора скорости. Эти возмущения покоятся относительно газа, а не распространяются со скоростью звука.
Поэтому поверхности, на которых испытывают какой-либо слабый разрыв непрерывности энтропия и ротор'скоростиз), покоятся относительно газа, а относительно неподвижной системы координат переносятся вместе с самим газом. Такие разрывы мы будем называть гангенциальными слабьгми разрывами; они проходят через линии тока и в этом отношении вполне аналогичны «сильным» тангенциальным разрывам. ') Подчеркнем, однако, что для количественного определения структуры слабого разрыва аналогия со звуком была бы недостаточна.
Дело в том,что прн определении закона затухания звука его амплитуду можно предполагать сколь угодно малой н соответственно этому исходить из лгп~еаризованных уравнений движения. Для слабых же разрывов (как н для ударных волн слабой интенсивности — й 93) должна учитываться нелинейность уравнений, поскольку без иее отсутствовали бы и самые разрывы. Пример такого исследования дан в задаче б к $99.
') Слабый разрыв ротора. скорости означает слабын разрыв касательной к поверхности компоненты скорости. Например, могут испы ывать скачок взнтые по направлению к нормали к поверхности производные от тангенпиальной ° скорости. ГЛАВА Х ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА 9 97. Истечение газа через свило Рассмотрим стационарное вытекание газа из большого сосуда через трубку переменного сечения, или, как говорят, через солло. Мы будем предполагать, что движение газа можно считать в каждом месте трубы однородным по ее сечению, а скорость — направленной практически вдоль осн трубы. Для этого труба должна быть не слишком широка, и площадь 5 ее сечения должна достаточно медленно меняться вдоль ее длины.
Таким образом, все величины, характеризующие течение, будут функциями только от координаты вдоль оси трубы. При этих условиях можно применять полученные в 9 83 соотношения, имеющие место вдаль линии тока, непосредственно к изменению величин вдоль длины трубы. Количество (масса) газа, проходящего в единицу времени через поперечное сечение трубы, или, как говорят, расход газа, равно О = ро5; эта величина должна, очевидно, оставаться постоянной вдоль всей трубы: О = 5ро = сопя(. (97,1) Линейные размеры самого сосуда предполагаются очень большими по сравнению с диаметром трубы. Поэтому скорость газа в сосуде можно считать равной нулю, и соответственно этому все величины с индексом нуль в формулах 9 83 будут представлять собой значения соответствующих величин внутри сосуда. Мы видели, что плотность потока / = ро не может превышать некоторого предельного значения („. Ясно поэтому, что и возможные значения полного расхода газа О будут иметь (для данной трубы и при заданном состоянии газа внутри сосуда) верхнюю границу О,,„, которую легко определить.
Если бы значение („ плотности потока было достигнуто ие в самом узком месте трубы, то в сечениях с меньшим 5 было бы ( ~ )'„что невозможно. Поэтому значение / = 1„может быть достигнуто только в самом узком месте трубы, площадь сечения которого обозначим посредством 5 ы. Таким образом, верхняя граница полного расхода газа есть Ятах р пРп1ы Ф Уроро (,. + 1 ) 5чяп, (97,2)" [гл. х ОДНОМЕРИОЕ ДВИЖЕИИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА '504 Рассмотрим сначала свило, монотонно суживающееся по направлению к своему внешнему концу, так что минимальная площадь сечения достигается на этом конце (рис.
70). В силу (97,1) плотность потока 1 монотонно возрастает вдоль трубы. То же самое касается скорости газа о, а давление соответственно монотонно падает. Наибольшее возможное значение 1 будет достигнуто, если скорость о достигает значения с как раз на выходном конце трубы, т. е. если будет п1 = с = п„(буквы с индексом 1 обозначают значении — — — — — — величин на выходном конце трубы). Одновременно будет и р = р,. Проследим за изменением режима вытекания газа при уменьшении давления р, внешней среды, в которую газ Рис. 70 выпускается.
При уменьшении внеш- него давления от значения, равного . давлению ра в сосуде, и вплоть до значения р, одновременно спим падает также и давление р~ в выходном сечении трубы, причем оба эти давления (р1 и р,) остаются равными друг другу; другими словами, вс ° падение давления от р, до внешнего проискодит внутри сонат. Выходная же скорость п, и полный расход газа Я = /15 ы монотонно возрастают. При р, = р„выходная скорость делается равной местному значению скорости звука, а расход газа — значению Я „. При дальнейшем понижении внешнего давления выходное давление перестает падать и остается все время равным р„; падение же давления от р, до р, происходит уже вне трубы, в окружающем пространстве.
Другими словами, ни при каком внешнем давлении падение давления газа в трубе не может быть большим, чем от ра до р;, так, для воздуха (р, =0,53 р,) максимальное падение давления составляет 0,47 рс. Выходная скорость и расход газа тоже остаются (прн р, ( р,) постоянными. Таким образом, при истечении через суживающееся сопло газ не может приобрести сверхзвуковой скорости. Невозможность достижения дпь сверхзвуковых скоростей при выпускании газа через суживающееся Рис.
71 сопла связана с тем, что скорость, равная местной скорости звука, мо. жег достигаться только на самом выходном конце такой трубы. Ясно, что сверхзвуковая скорость сможет быть достигнута с по.мощью сопла сначала суживающегося, а затем вновь расширяющегося (рис. 71). Такие сопла называются соплами Лаваля. Максимальная плотность потока )„если и достигается, то -опять-таки только в наиболее узком сечении, так что и в таком 808.
ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ЧЕРЕЗ СОПЛО сопле расход газа не может превышать значения 5„,„1,. В суживающейся части сопла плотность потока возрастает (а давление падает); на кривой рис. 72, изображающей зависимость 1" от р '), это соответствует передвижению от точки с по направлению к Ь. Если в сечении 5,„достигается максимальный поток (точка Ь на рис. 72), то в расширяющейся части сопла давление будет продолжать падать и начнет падать также и 1 соответственно перемещению пэ кривой рис 72 от точки Ь по направлению к а. На выход- а ном конце трубы поток 1 приобретает тогда вполне определенное значение, равное Рис 72 а давление — соответствующее этому потоку значение, обозначенное на рис. 72 посредством р', (некоторая точка с( на кривой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
