Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Если ОЛНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !ГЛ. Х полная длина трубы ! С 1„то течение будет сверхзвуковым на всем ее протяжении (чему соответствует перемещение по ветви АО по направлению от А к О), Если же ! ) (м то течение не может быть сверхзвуковым на всем протяжении трубы и в то же время не может перейти плавным образом в дозвуковое, так как передвигаться по ветви ОВ кривой можно лишь в направлении, указанном стрелкой. Поэтому в этом случае неизбежно возникновение ударной волны, переводящей движение скачком. из сверх- в дозвуковое.
Прн этом давление возрастает, мы переходим с ветви АО на ветвь ВО, минуя точку О, н на всем остальном протяжении трубы течение будет дозвуковым. 9 99. Одномерное автомодельиое движение Важную категорию одномерных нестациоиарных движений сжимаемого газа составляют течения, происходящие в условиях, характеризующихся какими-либо параметрами скорости, но не длины. Простейший пример такого движения представляет движение газа в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой, возникающее, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью. Наряду с параметром скорости такое течение определяется еще и параметрами, дающими, скажем, давление и плотность газа в начальный момент времени.
Однако из всех этих параметров нельзя составить никаких комбинаций с размерностью длины или времени. Отсюда следует, что распределения всех величин могут зависеть от координаты х и времени ! только в виде их отношения х/(, имеющего размерность скорости. Другими словами, эти распределения в различные моменты времени будут подобны друг другу, отличаясь лишь своим масштабом вдоль оси х, увеличивающимся пропорционально времени.
Можно сказать, что если измерять длины в единицах, растущих пропорционально (, то картина движения вообще не будет меняться — движение автомодельно. Уравнение сохранения энтропии для движения, зависящего только от одной координаты х, гласит: дк дк — + о — =О. д! "дк Считая, что все величины зависят только от переменной $ = к/1, н замечая, что при этом д ! д дк ! дз ' д! ! дх (' означает дифференцирование будем иметь (в„— $) з' = 0 ОДНОМЕРНОЕ АЕТОМОДЕЛЬНОЕ ДНИЖЕННВ до до — '+ о — '=О к а» до„ дпи — "+п — "=О ат к а» найдем, что си и ск постоянны; не ограничивая общности, мы можем положить их н дальнейшем равными нулю. Далее, уравнение непрерывности и х-компонента уравнении Эйлера имеют вид — +р — + и — =О, ар ао ар дт дк дк до до ! др — +и — = — —— дт дк р дк (здесь и ниже пишем просто о вместо ок). После введения пере- менной $ они примут вид (о — 5) р'+ рп'=О, (и — $) о'= — р (99,4! р Р (99,2) (Имея в виду постоянство энтропии, пишем во втором уравнении р' =(др/др).р' = сар'.) Эти уравнения имеют, прежде всего, тривиальное решение и = сопи(, р = сопз( — однородный поток с постоянной ско ростью.
Для нахождения же нетривиального решения исключаем из уравнений р' и о' и получаем равенство (о — Е)и = са, откуда $ и ~с. Мы будем писать это соотношение со знаком плюс: (99,5) (выбор знака означает, что мы принимаем определенное условие для выбора положительного направления оси х, смысл которого выяснится ниже).
Наконец, подставляя и — $ = — с в (99,3), получим ср'= ро' или р!(и = с!(р. Скорость звука является функцией термодинамического состояния газа; выбрав в качестве основных термодинамнческих величин энтропию и и плотность р, мы можем представить скорость звука в виде функции плотности с(р) при заданном постоянном значении энтропии. Подразумевая под с такую функцию, пишем на основании полученного равенства па ар (99,6) ') Предположение же о, — $ = О противоречило оы остальным уравнениям движения: иа (99,3) получилось бы о, сопы в противоречие ео еде. ланным предположением. по $). Отсюда з' = О, т.
е. з = сопи! '); таким образом, автомодельное одномерное движение не только адиабатично, но и изэнтропично. Аналогично из у- и х-компонент уравнения Эйлера. одномерное движение сжнмлвмого глзл 1гл. х о)2 Эту формулу можно написать также и в виде о = ~ Х/ — с(рс()с. (99,7) Но = ~/ ар Рс= Р др ч/ — дР/др дифференцируя это выражение, получим: (99,9) Таким образом: (99, 1О) Из (99,8) следует поэтому, что при 1 > О будет — > О. Замедр чая что — =с —, заключаем, что н — > О. Наконец, ар , ар ар дх дх ' дх до с др до имеем — = — —, так что — > О.
Таким образом, имеем недх р дх* дк равенства: — >О, — >О, — >О. др др до дх ' дх ' дк (99,11) Смь)сл этих неравенств становится более ясным, если следить не за изменением величин вдоль оси х (при заданном 1), а за их изменением с течением времени у данного передвигающегося в пространстве элемента газа.
Зтн изменения определяются полными производными по времени; так, для плотности имеем, воспользовавшись уравнением непрерывности: ар др др до — = — +о — = — Р— сР д) дк дх ' где не предрешается выбор независимого переменного. Формулы (99,5 — 6) определяют искомое решение уравнений движения.
Если функция с(р) известна, то по формуле (99,6) вычисляем скорость о как функцию плотности. Уравнение (99,5) определит тогда в неявном виде зависимость плотности от х/1, после чего определится зависимость также и всех остальных величин от х/6 Выясним некоторые общие свойства полученного решения. Дифференцируя уравнение (99,5) по к, получаем: др д(о+ с) (99,8) ах др Для производной от о+ с имеем с помощью (99,6) д)о+с) с дс ! д(рс) А р др р др одномппноп автомодпльноп двнжгннв б)3 $ зз) Согласно третьему нз неравенств (99,11) эта велнчнна отрицательна; вместе с ней, разумеется, отрицательна н производная я'р, ~И (99,12) Аналогнчвым образом (нспользуя уравнение Эйлера (99,2)) можно убедиться, что г(п/г(1 ( 0; это, однако, не означает, что абсолютная величина скорости падает со временем, так как и может быть отрицательной.
Неравенства (99,12) показывают, что плотность н давление каждого элемента газа падают по мере его передвижения впространстве. Другими словами, передвижение газа сопровождается его монотонным разрежением. Поэтому рассматриваемое двнженне можно назвать нестацианарной волной разрежения'). Волна разрежения может простираться лишь на конечное расстояние вдоль осн х; это видно уже нз того, что формула (99,5) привела бы прн х-+ ~со к бессмысленному результату— бесконечной скорости. Применим формулу (99,5) к плоскости, ограннчнвающей заннмаемую волной разрежения область пространства.
Прн этом х/1 будет представлять собой скорость движения этой границы относительно выбранной неподвижной системы координат, Скорость же ее относительно самого газа есть разность х/à — и н согласно (99,5) равна как раз местной скорости звука. Это значит, что границы волны разрежения представляют собой слабые разрывы. Картина автомодельного движения в различных конкретных случаях складывается, следовательно, нз волн разреження н областей постоянного течения, разделенных между собой поверхностямн слабых разрывов (кроме того, конечно, могут иметься н различные области постоянного течения, разделенные между собой ударными волнами). Сделанный нами выбор знака в формуле (99,5) соответствует, как теперь видно, тому, что этн слабые разрывы предполагаются движущимися относительно газа в положительном направлении осн х. Неравенства (99,11) связаны именно с таким выбором; неравенства же (99,12), разумеется, от выбора направления осн х вообще не зависят. Обычно приходится иметь дело с такой постановкой конкретных задач, прн которой волна разрежения с одной стороны граничит с областью неподвижного газа.
Пусть эта .область (1 на ') Это движение может вознакнуть лишь в результате наличия некоторой особенности в начзльнмх условиях (так, в примере с поршнем в момент Г 0 скачком меняется скорость поршня). Обратное движение могло бы происходить лишь под дейсгвием сжнмаюшего поршня, движущегося по вполне определенному закону. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !ГЛ. Х Ро( ) (99,13) Подставляя это выражение в интеграл (99,6), получаем: о = — з! о!с= 2 ! 2 (с — с,); т †!з 2 †! постоянная интегрирования выбрана так, что с = с, при о = 9 (индексом нуль отличаем значения величин в точке, в которой газ покоится).
Будем выражать все величины через о, причем надо иметь в виду, что прн условленном расположении областей скорость газа направлена в отрицательную сторону оси х, так что о ( О. Таким образом: т — ! с=с,— — (о(, 2 (99,14) чем определяется местная скорость звука через скорость газа. Подставляя в (99,13), находим для плотности: ( т — ! !и~)ом-и (99,15) н аналогично для давления Р— Ро(! — ) (99,16) Наконец, подставляя (99,!4)в формулу (99,5), получаем: !о(=,+ (со — !)* (99 !7) чем определяется зависимость о от х и !. Величина с не может быть, по самому своему существу, отрицательной, Поэтому из формулы (99,14) можно сделать суше- рис. 74) находится справа от волны разрежения.
Область |! есть волна разрежения, а Ш вЂ” газ, движущийся с постоянной скоростью; стрелками на рисунке показаны направления движения газа и перемещения ограничивающих волну разрежения слабых разрывов (разрыв а движется непременно в сторону покоящегося газа, а разрыв Ь может двигаться в обоих направлениях в зависимости л' ~ — ~ Г от величины достигаемой в волне раз- Г д ~- ! режения скорости; ср. задачу 2). Выпишем в явном виде соотношения ме! д а жду различными величинами в такой Рис 74 волне разрежения, предполагая газ политропным.
При адиабатическом процессе РТ'~и-м = сопз!. Поскольку скорость звука пропорциональна А~Т, то можно написать это соотношение в виде 515 ОДНОМЕРНОЕ АВТОЫОДЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ствениое заилючение, что скорость должна удовлетворять неравенству 2со (99,(8) при достижении скоростью этого предельного значения плотность газа (а также р и с) обращается в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
