Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 107
Текст из файла (страница 107)
о о (100,5) Интеграл в правой стороне неравенства вычисляется для газа 2, а в левой стороне первый интеграл — для газа 1, а второй — для газа 2. Для политропного газа получим: У~ — 1 З ...,«,) ( ) ~, ()00,0) 2с1 2сз 2сз 1 / р~ Ч 12У)~(1) где с, = ч~у1 р1К, с, = тlузрз)гз. Если В1 — Оз < 2с1 2сз (! 00,7) т1-) у.-) ' то между волнами разрежения возникает область вакуума (распад Н-ь Р— ВР-Р). К задаче о разрыве в начальных условиях сводятся, в частности, задачи о различных столкновениях плоских поверхностей разрывов.
В момент столкновения обе плоскости совпадают и представляют собой некоторый «начальный разрыв», в дальнейшем распадающийся одним из описанных выше способов. Так, в результате столкновения двух ударных волн снова возникают две ударные же волны, расходящиеся от остающегося между ними тангеициального разрыва: У,У-УТУ Когда одна ударная волна догоняет другую, возможны два случая: У У -РУеТУь, У У -ьР ТУ . В обоих случаях вперед продолжает распространяться ударная же волна. К этой же категории относится задача об отражении и прохождении ударной волны через тангеициальный разрыв (границу двух сред).
Здесь возможны два случая: У Т-+У ТУ, У Т- Р ТУ Прошедшая во вторую среду волна всегда является ударной (см. также задачи к этому параграфу)'). ') Для полноты упомянем, что при столкновении ударной волны сослабым разрывом (зта задача не относится к рассматриваемому здесь автомодельному типу) ударная волна продолжает распространяться в прежнем яаправлении, а в пространстве позади нее остается один слабый разрыв первоначального типа и один «тангенциальный» (см конец 5 рб) слабый разрыв. 525 РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ й заз! Задачи 1„Плоская ударная волна 'отражается от плоской поверхности абсолютно твердого тела.
Определить давление газа позади отраженной волны. (Н. Нилин!01, 1885). Решен не. В результате падения ударной волны на твердую стенку возникает отраженная ударная волна, распространяющаяся от стенки. Вудем отмечать индексами 1, 2, 3 соответственно иевозмущенный газ перед падающей ударной волной, газ позади падающей волны (он же является газом впереди отраженной волны) н газ позади отраженной волны (рис, 79; стрелками показано направление движения ударных волн и самого газа). Газ в граничащих с твердой стенкой областях ! н 3 поконтси (относительно неподвижной стенки). Поэтому относительная скорость газов по обе стороны разрыва друг относительно друга в обоих случаях — в падающей и отраженной ударных волнах— одинакова (равна одной и той же величине — скорости 2 газа 2).
Воспользовавшись формулой (86,7) для относи. тельной скорости, получим поэтому: (Рг — Рз) (" з Уз) = (Рз — Рг) ((гг Уз). Уравнение же ударной адиабаты (89,1) для каждой из ударных волн дает Уз (у+1)р +(у — 1) з в в Уз = (у — !) Р, + (у+ 1) рз ' )'з (у + 1) Рз + (у 1) Рг 1'з (у — 1) рз+ (У+ 1) рз ' Из этих трех уравнений можно исключить удельные объемы, в результате чего получается: (Рз — Рд !(у+ 1) Рз+ (У !) Рз) (Рз — Рз) ((у+ 1) Рв+ (у — 1) Рз).
Вто есть квадратное уравнеиие для рз, имеющее тривиальный корень р, р,; после сокрашения на (рв — рв) получим искомую формулу рв (Зу — !) Рг — (у — !) Рв Рз (У !) Рг + (У + !) Рв определяющую рз ио р, н рь В предельном случае большой интенсивности падающей волны «досжатие» газа отраженной ударной волной определяется формулами рв Зу 1 Уз у — 1 Рг У 1 Уз У В обратном предельном случае малой интенсивности: рз — рг рз — рв, что соответствует звуковому нрнбднженню.
2. Найти условие, определяющее результат отражения ударной волны от плоской границы между двумя газамн. ! Ре ш е н не. Пусть р! = Рз, Рз, Уз — давления н удельные объемы обеих сред до падения ударной волны (распространяющейсн в газе 2) на нх поверхность раздела, а рз, 1гг — давление н удельный объем позади ударной волны. Условие того, чтобы отраженная волна была ударной, определяется неравен ством (100,2), в котором надо в данном случае положить из 02 ву(Р2 Р2) (!'2 !'2) 526 одномвииов движиннв сжимлнмого глзл <гл. к Выражая все величины через отношение давлений рз(Рт н начальные удельные Ф объемы У, и Уэ получим следующее условие: (Ъ + )) Рз/Р1+ (У1 — 1) (Уз + )) Рзтр~ + (Уз )) < $101. Одномерные бегущие волны При изучении звуковых волн в й 64 амплитуда колебаний в волне предполагалась малой.
В результате уравнения движения оказывались линейными и могли быть легко решены. Решением этих уравнений является, в частности, функция от х.+- с( (плоская волна), что соответствует бегущей волне с профилем, перемещающимся со скоростью с без изменения своей формы (под профилем волны понимают распределение различных величин — плотности, скорости и' т. п.
— вдоль направления ее распространения). Поскольку скорость и, плотность р и давление р (как и другие величины) в такой волне являются функциями от одной и той же комбинации х ~ сг, то они могут быть выражены как функции друг от друга в виде соотношений, не содержащих явно ни координаты, ни времени (например, р = = р (р), и = и(р) и т. д.). В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти простые соотношения уже не имеют места.
Оказывается, однако, возможным найти общее решение точных уравнений движения, представляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся обобщением решения )"(х ~ с() приближенных уравнений, применимых в случае малых амплитуд. Для отыскания этого решения будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть выражены в виде функции друг от друга. При отсутствии ударных волн движение адиабатично.
Если в некоторый начальный момент времени газ был однороден (так что, в частности, было з = сопи(), то и в дальнейшем будет все время з = сопи(, что и предполагается ниже; тогда и давление будет функцией только от плотности. В плоской звуковой волне, распространяющейся вдоль оси х, все величины зависят только от к н т', а для скорости имеем и = и, иа — — и, = О. Уравнение непрерывности гласит: -и-+ — = 9, др д (рв) а уравнение Эйлера — + и — + — — =О. до дв 1 дР дФ дк р дк 4 ~ан ОДНОМЕРНЫЕ БЕГУШИЕ ВОЛНЫ Воспользовавшись тем, что о может быть представлено в виде функции только от р, напишем эти уравнения в виде — + — — =О, др г( (ро) др дт ар дх (101,2) (101, 1) Замечая, что получаем из (101,1) ~ дх ) д(ро) + до д( Р др др ' а из (101,2) аналогично (101,3) откуда до 1 др са г(р и др р до р до Таким образом, г(о/с(р = ~с/р, откуда о = ~ ) — г(р = ~ ') —.
Гс Гор з р (101,4) Этим определяется общая связь между скоростью и плотностью или давлением в волне' ). Далее, комбинируя (!01,3) с (101,4), пишем: ( — ',",) = +-' — '„'= ~ (.), или, интегрируя, х=((о ~ с(о)) +1(о), (101,5) где 1(о) — произвольная функция скорости, а функция с(о) определяется равенством (101,4). Формулы (101,4 — 5) представляют собой искомое общее решение (впервые найденное Риманом — В. К(етапп, 1860), Ука- ') В волне с малой амплнтудой нмеем р = ра+ р', н (101,4) дает н первом прнблнженнм о сар'/ра (где се=с(ра)), т.е.
обычную формулу (64,12). Но поскольку значение р определяет однозначным образом зна- чение о, то безразлично, берется ли производная при постоян- ном р или о, так что 828 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. х Подставляя (101,6) в (101,5), получим: х =1 (~ с, + — а) + 1(о). (101,8) Иногда бывает удобным писать это решение в виде О=с [Х вЂ” (~ со+ 2 о) г] (101,9) где г — опять произвольная функция. Из формул (101,6 — 7) снова (как и в $ 99) видно, что скорость, направленная в сторону, противоположную направлению распространения волны (относительно самого газа), ограничена по своей абсолютной величине; для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, имеем: — о ~( 2оо Бегущая волна, описываемая формулами (101,4 — 5), существенно отличается от волны, получаюшейся в предельном случае малых амплитуд.
Скорость, с которой перемещаются точки профиля волны, равна (101.11) и=в-Ь С,' ванные формулы определяют неявным образом скорость (а с нею и остальные величины) как функцию от х и 1, т. е. профиль волны в каждый момент времени. Для каждого определенного значения о имеем х= аг+ Ь, т. е. точка, в которой скорость имеет определенное значение, передвигается в пространстве с постоянной скоростью; в этом смысле найденное решение представляет собой бегущую волну.
Два знака в (101,5) соответ. ствуют волнам, распространяюшимся (относительио газа) в положительном и отрицательном направлениях оси х. Движение, описываемое решением (101,4 — 5) часто называют простой волной; ниже мы будем пользоваться этим термином. Изученное в $99 автомодельное движение является частным случаем простой волны, соответствуюшим равной нулю функции ~(о) в (101,5). Выпишем в явном виде соотношения для простой волны в политропном газе; для определенности будем считать, что в волне есть точка, в которой о = О, как это обычно бывает в различных конкретных задачах. Поскольку формула (101,6) совпадает с формулой (99,6), то аналогично формулам (99,14 — 16) имеем: с=со~ (101,6) о 2у р ро(1~ 2 — о) ° р=ро(,1 ~ 2 ) ° (101 т) ОДИОМНРНЫВ ВНГУ1ЦИЕ ВОЛНЫ Ч 1011 ее можно рассматривать наглядно как результат наложенияраспространения возмущения относительно газа со звуковой скоростью и перемещения самого газа со скоростью О, Скорость и является теперь функцией плотности и поэтому различна для разных точек профиля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
