Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 109
Текст из файла (страница 109)
6 65) н окончательно б = россУз. Для вычисления Р' и р' надо выразить р' и р' через о с точностью до членов -о'. Из (101,7) (нлн из (101А) и (101,6) для не политропиого газа) получим: р' о 2 — а = — + — зо, Р ср +(а — 1)Рза рз со 2сз и после усреднения '): — аро — -т 2 — а р'= — —, У, р — — — РУ 2сз 2 (7) Обратим внимание на то, что р' оказывается здесь отличным от нуля уже в квадратичном приближении — ср.
конец 5 66. ') В более ограничительных предположенияк формулы (7) были иолу. чены А. Эйхвнвальдом (1932). Второй член всегда конечен и не дает вклада при усреднении по большому интервалу времени. Заметив так.ке, что азх Ь 61 г гз 11 + — (оз — о1) гг — гь сс приходим к требуемому результату й' = 61, где индекс у черты указывает переменную, по которой производится усреднение (ниже этот индекс опускаем); отметим, что среднее (по 1) значение оказывается тем самым независящим от х.
Для задачи о колеблющемся поршне функция г(я) определяется уравнением (2), которое можно переписать в виде о ( с) Х' (т), т = $ + Х (т)/и (т) баб ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОИ ВОЛНЕ $!оо1 9 102. Образование разрывов в звуковой волне Плоская бегущая звуковая волна как точное решение уравнений движения тоже представляет собой простую волну. Мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свойства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении (понимая под первым приближением то, которое соответствует обычному линейному волновому уравнению). Прегкде всего отметим, что по истечении достаточно долгого времени в звуковой волне на протяжении каждого ее периода должен возникнуть разрыв.
Этот эффект приведет затем к весьма сильному затуханию волны, как это было объяснено в 9 1О1, Фактически это может относиться, разумеется, лишь к достаточно сильному звуку; в противном случае звуковая волна успеет поглотиться благодаря обычному эффекту вязкости и теплопроводности газа раньше, чем в ней успеют развиться эффекты высших порядков по амплитуде. Эффект искажения профиля волны проявляется и в другом отношении, Если в некоторый момент времени волна была чисто гармонической, то с течеаием времени соответственно изменению формы ее профиля она перестанет быть таковой.
Движение, однако, останется периодическим с прежним периодом. В разложение этой волны в ряд Фурье войдут теперь наряду с членом с основной частотой оз также и члены с кратными частотами пео (и — целые числа). Таким образом, искажение профиля по мере распространения звуковой волны можно воспринимать как появление в ией наряду с основным тоном также и обертонов. Скорость и перемещения точек профиля волны (распространяющейся в положительном направлении оси х) в первом приближении получается, если положить в (101,11) о = О, т. е.
и = со, что соответствует распространению волны без изменения формы профиля. В следующем приближении имеем: ди, ди Ро и=со+ — Р = со+ — — О, доо дсо ео или с помощью выражения (99,10) для производной ди/др1 и = со+ поо, (102,1) где для краткости введено обозначение' ) (102,2) Для политропных газов а =(у+.1)/2, и формула (!02,1) совпа- дает с точной формулой (см. (101,8)) для скорости и, ') В Задаче 1 к $ ЭЗ ота велячкка была обозкачеаа как ае одномегное движение сжимаемого гхзх ~гл, х оз = 'т/(Рз Р~) (У1 )'з). Изменение же скорости о вдоль некоторого участка длины оси х в простой волне равно интегралу и Простое вычисление с помощью разложения в ряд показывает, что оба написанных выражения отличаются друг от друга только в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в виду, то изменение энтропии в разрыве есть величина третьего порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоянна).
Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка звуковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней разрыва остается простой, причем на самом разрыве будет выполнено надлежащее граничное условие. В следующих же приближениях это уже не будет иметь места, что связано с появлением отраженных от поверхности разрыва волн. Выведем теперь условие, с помощью которого можно определить местонахождение разрывов в бегущей звуковой волне (все в том же втором приближении).
Пусть и есть скорость движения разрыва (относительно неподвижной системы координат), а оь о~ — скорости газа по обеим его сторонам. Тогда условие непрерывности потока вещества запишется: р~(о1 — и) = р,(оэ — и), откуда Р!о! Р2о2 и— ' ш — Р2 С точностью до членов первых двух порядков эта величина равна значению производной г((ро)/г(р, взятому в точке, где аргумент о равен полусумме о =(о~ + оз)/2.
Поскольку же в про. стой волне Н(ро)/Нр = о + с, то согласно (102,1) имеем о, + о, =~ +ио - —. 2 (102,3) Отсюда можно получить следующее простое геометрическое условие, определяющее место ударной волны. На рис, 82 кри. В общем случае произвольной амплитуды волна перестает быть простой после появления в ней разрывов. Существенно, однако, что волна малой амплитудгя во втором приближении остается простой и при наличии разрывов. Убедиться в этом можно следующим образом. Изменения скорости, давления и удельного объема в ударной волне связаны друг с другом со- отношением ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ 537 Э КВ! вой линией изображен профиль распределения скоростей, соответствующий простой волне, и пусть отрезок ае есть возникающий в волне разрыв (х,— его координата).
Разность заштрихованных на рисунке площадей аЬс и сс(е „ определяется интегралом Вс ~ (х — х,) с(п, И Ц взятым по кривой аЬсае. С течением времени профиль волны смещается; вычислим производную по времени от написанного интеграла. Поскольку скорость йх/Ж точек профиля волны определяется формулой (102,1), а скорость с(х/~й разрыва — формулой (102,3), то мы получим: Ъ РБС. 82 В (Р, Р! (х — х,) с(п = О. (102,4) Рьсзс Геометрически это означает, что площадь аЬс равна площади сс(е. Этим условием определяется положение разрыва.
Образование разрывов в звуковой волне представляет собой пример самопроизвольного возникновения ударных волн в отсутствии каких бы то ни было особенностей во внешних условиях движения. Следует подчеркнуть, что хотя ударная волна может самопроизвольно возникнуть в некоторый дискретный момент времени, она не может столь же дискретным образом исчезнуть, Раз возникнув, ударная волна затухает в дальнейшем лишь асимптотически при неограниченном увеличении времени.
Рассмотрим одиночный одномерный звуковой импульс сжатия газа, в котором уже успела образоваться ударная волна, и выясним, по какому закону будет происходить окончательное затухание этой волны. На поздних стадиях своего распространения (при дифференцировании интеграла надо иметь в виду, что хотя сами пределы интегрирования и, и пз тоже меняются со временем, но значение х — х. на них всегда есть нуль и поэтому достаточно дифференцировать только под знаком интеграла). Таким образом, интеграл ~ (х — х,) с(о остается с течением времени постоянным.
Поскольку же в начальный момент возникновения ударной волны он равен нулю (точки а и е совпадают), то и всегда бзз ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !Гл. х звуковой импульс с ударной волной будет иметь треугольный профиль скоростей, — линейный профиль при своем дальнейшем деформировании остается линейным '). Пусть в некоторый момент времени (который примем за момент /=0) профиль изображается треугольником АВС на рис.
83, а (значения величин, относящиеи в ся к этому моменту времени, будем отличать индексом 1)'). Перемещая точки а) в), этого профиля со скоростями (102,1), мы )г получили бы по истечении времени / ирой с и филь А'В'С' (рис. 83,б). В действительности разрыв переходит в точку Е и истинный профиль будет А'0Е, Площади 0В'Р и С'РЕ равны друг другу в силу уса' с" ,лР 4 $ ловия (102,4); поэтому площадь А'0Е нов ного профиля равна площади АВС исходного профиля. Пусть 1 — длина звукового импульса в момент времени /, а Ло — скачок скорости в ударной волне.
За время / точка В смещается относительно точки С на расстояние а/(Ло)г, поэтому тангенс угла В'АС' равен (Лог)/ [/, + + а/(ЛоЦ, и мы получаем условие равенства площадей АВС н А'0Е в виде /о (до)о / +а/(Ло)о ' б) откуда /=1,(1+ " ' 1~ сзо=(йо), [1+ ' 11 . (102,5) Полная энергия бегущего звукового импульса (отнесенная к еди. нице площади ее фронта) равна Е=р ~ озг/х=Е, ~1+ ' /~ . (!02,6) При /-ьоп величина скачка в ударной волне и ее энергия затухают асимптотически как /-'/з (или, что то же, как х-'/з— о) Здесь и ниже мы говорим о профиле распределения скорости о — имея в виду лишь простоту записи формул.
Чоактическгг более интересной величиной является избыточное давление р'; отличающееси от о лишь постоянным множителем: р' = о/росо', к нему относятся такие же результаты. Отметим, что знак о совпадает со знаком р', так что о > О отвечает сжатнго, а в ( Π— разрежению. Скорость перемещения точек профиля выраигается через р' формулой и = со(1+тоР'/Ро), т = мр/Рсо '(для полптропного газа т = (т+ 1)/йу).
') Индекс же О, отличающий равновесные значения величии, будем ниже опускать. ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ ззв » 1Бп с расстоянием х= с1). длина же импульса возрастает как Г'м. Обратим внимание также на то, что предельное значение угла наклона профиля ао/1-~-1/аг не зависит ни от величины скачка, ни от длины импульса. Рассмотрим теперь предельные (иа больших расстояниях от источника) свойства ударных волн, образующихся в цилиндрических и сферических звуковых волнах (Л.
Д. Ландау, 1945) Начнем с цилиндрического случая. На достаточно больших расстояниях г от оси такую волну в каждом небольшом ее участке можно рассматривать как плоскую. Скорость перемещения каждой точки профиля волны будет тогда определяться формулой (102,1). Однако если мы хотим проследить с помощью этой формулы за смещением точки профиля на протяжении больших промежутков времени, то необходимо учесть, что амплитуда цилиндрической волны уже в первом приближении падает с расстоянием как г-о'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
