Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 111
Текст из файла (страница 111)
86 изображено семейство характеристик С+ для простой волны разрежении, образующейся при ускоренном выдвигании поршня из трубы. Это есть семейство расходящихся пря. мых, начинающихся на кривой х=Х(Г), изображающей движение поршня. Справа от характеристики х = сау простирается область покоящегося газа, в которой все характеристики параллельны друг друГУ ') Точно такими же урааиеииями ()03,) — 2) определяются характеристики и для иестадиоиарпого сферически симметричного даижеиия, причем только иапо заменить х иа сферическую коардииату г (характеристики будут теперь лиииями и плоскости г, )), одномгннои движнннн сжимаемого глзл !гл.
х На рис. 87 дан аналогичный чертеж для простой волны сжатия, образующейся при ускоренном вдвигании поршня в трубу. В этом случае характеристики представляют собой сходящийся пучок прямых, которые в конце концов должны пересечься друг с другом. Поскольку каждая характеристика несет свое постоянное значение п, их пересечение друг с другом означает физически бессмысленную многозначность функции п(х,1). Это — геометрическая интерпретация результата о невозможности неограниченного сугцествования простой волны сжатия и неизбежности Огибающая Рис. 86 Рис.
87 возникновения в ней ударной волны, к которому мы пришли уже аналогичным путем в й 101. Геометрическое же истолкование условий (!01,12), определяющих время и место образования ударной волны, заключается в следующем. Пересекающееся семейство прямолинейных характеристик имеет огибающую, заканчивающуюся со стороны малых 1 угловой точкой, которая и определяет первый момент возникновения многозначности. Если уравнения характеристик заданы в параметрическом виде х = х(п), 1 = 1(п), то положение угловой точки как раз и определяется уравнениями (101,12)').
Покажем теперь коротко, каким образом данное нами физическое определение характеристик как линий распространения возмущений соответствует известному из теории дифференциальных уравнений в частных производных чисто математическому аспекту этого понятия. Рассмотрим уравнение в частных произ- ') Вся область между двумя ветвями огибающей трижды покрыта ха. рактеристиками — в соответствии с трехзначностью величин, возникающей при опрокидывании профиля волны. Особому случаю, когда ударная волна возникает на границе с областью покоя, соответствует вырождение одной из ветвей огибающей в отрезок характеристики к = сза ХАРАКТЕРИСТИКИ водных вида А —,+2В д +С д, +0=0, д'ф дтф даф (103,3) или Нх В ~ я(В' — АС с (103,5) определяет в плоскости х, 1 два семейства кривых — характеристик (для заданного решения ф(х,у) уравнения (103,3)).
Укажем, что если коэффициенты А, В, С в уравнении являются функциями только от х, 1, то характеристики не зависят от конкретного решения уравнения, Пусть данное течение описывается некоторым решением ф =фа(х,1) уравнения (!03,3), и наложим на него малое возмущение фь Это возмущение предполагаем удовлетворяющим условиям, соответствующим геометрической акустике: оно слабо меняет движение (ф, мало вместе со своими первыми производными), но сильно меняетси иа протяжении малых расстояний (вторые производные от ф, относительно велики), Полагая в уравнении (103,3) ф = фа+ фь получим тогда для ф1 уравнение причем в коэффициентах А, В, С положено ф =фо.
Следуя ме- тоду, принятому для перехода от волновой к геометрической оп- тике, пишем ф1 в виде ф,=ае'ф, где функция ф (эйконал)— большая величина, и получаем для последней уравнение А(д ) +2В д — +С( — ) =О. (103,6) Уравнение распространении лучей в геометрической акустике получается приравниванием с(х/Ж групповой скорости: Дх дф и=да где й= —, от= — -адф дф дх' дг '1 для одномерного нестационарного движения уравнению такого вида удовлетворяет потенциал снорости.
линейное по вторым производным (коэффициенты же А, В, С, В могут быть любыми функциями как от независимых переменных х, 1, так и от неизвестной функции ф и ее первых производ. ных)'). Уравнение (103,3) относится к эллиптическому типу, если везде Ва — АС ( О, и к гиперболическому„ если В'— — АС ) О, В последнем случае уравнение А г11а — 2В с(х Ф + С сгха = О, (103,4) 546 ОДНОМЕРНОГ ЛВИЖГНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл.
х Дифференцируя соотношение Айх — 2ВЬо + С!от = О, получим. и'х Вю — Ай Л! Сю — Вй а исключая отсюда с помощью того же соотношения й/щ, мы снова придем к уравнению (103,5). Задача Найти уравнение второго семейства характеристик в пеитрироваипой простой волне в политропном газе. Р е ш е н и е. В пеитрированиой простой волив, распространяющейся в сторону находящегося справа от нее неподвижного газа, имеем: х у+! = и + с = сз + 2 о. Характеристики С+ изображаются пучком прямых х = сопз! !.
Характеристики же С определяются уравнением и'л 3 — у х 4 о — с — — — — сз. с!! у+! ! у+! Интегрируя, находим: з-т 2 у+! Г Г Чт+! х — — се!+ — сз!з ~ — ) у — ! у ! гю где постоянная интегрирования выбрана так, чтобы характеристика С проходила через точку х = со!в ! = б на характеристике С+ (х =со!), граничной между простой волной и областью покоя. «Липни тока» в плоскости х, ! даются уравнением г(х 2 г х — =и ~ — ") л! у+! ~! откуда для характеристик Сз; 2 У+! Г ! Хт+! с„г+ / у — 1 у — ! ге 0 104.
Инварианты Римана Произвольное малое возмущение распространяется, вообще говоря, по всем трем характеристикам (Се, С, Со), исходящим нз данной точки плоскости х, г, Можно, однако, разложить произвольное возмущение на такие части, каждая нз которых рас. пространяется лишь по одной из характеристик. 547 ИНВАРИАНТЫ РНМАНА Рассмотрим сначала изэнтропическое движение газа. Напишем уравнение непрерывности и уравнение Эйлера в виде — + о — +рс — =О, др др с дс д! дх дх до дс 1 др — +о — + — — 0; дС дх р дх в уравнении непрерывности мы заменили производные от плотности на производные от давления согласно др У др 1 др ! др др ! др дС (, др Ус дг с' дФ ' дх с' дх ' Разделив первое уравнение на ~рс и сложив его со вторым, получим: — — дс + (-у-~ — Р )(о ~с) О.
(104,1) Далее, введем в качестве новых неизвестных функций величины У =о+ ) —. У =о — ~- Гдр Гас + У рс' — Урс' называемые инвариантами Римана. Напомним, что при изэнтропическом движении р и с являются определенными функциями от р, и потому стоящие здесь интегралы имеют определенный смысл. Для политропного газа У+ — — о + — с, 2 (104,6) (104,2) Дифференциальные операторы, действующие на У+ и У, представляют собой ие что иное, как операторы дифференцирования в плоскости х, г вдоль характеристик Ст и С . Таким образом, мы видим, что вдоль каждой из характеристик С+ и С остается постоянной соответственно величина У+ или У . А4Ы можем также сказать, что малые возмущения величины У+ распространяются только вдоль характеристик Сн а возмущения У вЂ” вдоль С .
В общем случае неизэнтропического движения уравнения (104,1) не могут быть написаны в виде (104,4), так как с(р/рс не является полным дифференциалом. Эти уравнения, однако, по-прежнему позволяют выделить возмущения, распространяющиеся по характеристикам лишь одного семейства. Таковыми являются возмущения вида бо ь бр/рс, где бо и бр — произвольные малые возмущения скорости и давления. Распространение После введения этих величин уравнения движения приобретают простой вид: — +(о+с) — 1У+ — — О, ~ — +(о — с) д ~У =О.
(104,4) ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА 1ГЛ. Х этих возмущений описывается линеаризованными уравнениями Гак +(О ~ с) д„1(бо ~ С ) =О. (104,5) Полная система уравнений движения малых возмущений полу- чаетсн добавлением сюда еще и уравнения адиабатичности ~ — + о — 1бз=0, (104,6) показывающего, что возмущения бз распространяются вдольхарактернстик СР. Произвольное малое возмущение всегда можно разложить на независимые части указанных трех видов.
Сравнение с формулой (101,4) показывает, что инварианты Римана (104,2) совпадают с теми величинами, которые в простых волнах постоянны вдоль всей области движения в течение всего времени: в простой волне, распространяющейся вправо, постоянно У, а в волне, бегущей влево, постоянно У+. С математической точки зрения это есть основное свойство простых волн. Из него следует, в частности, и указанное в предыдущем параграфе свойство — прямолинейность одного из семейств характеристик. Пусть, например, волна распространяется вправо. Каждая из характеристик СГ несет свое постоянное значение У+ и, кроме того, на ней постоянна являющаяся постоянной во всей области величина У .
Но из постоянства двух величин Уь и У следует, что постоянны также и О и р (а с ними и все остальные величины), и мы приходим к найденному в $103 свойству характеристик С+, непосредственно ведущему к их прямолинейности. Если в двух смежных областях плоскости х, 1 течение описывается двумя аналитически различными решениями уравнений движении, то граница между этими областями есть характеристика. Действительно, эта граница представлнет собой разрыв производных каких-либо величин, т. е. некоторый слабый разрыв; последние же непременно совпадают с какой-либо характеристикой. Весьма существенное значение в теории изэнтропического одномерного движения имеет следующее свойство простых волн." течение в области, граничащей с областью постоянного течения (течеиия с о = сопз1, р = сопз(), есть непременно простая волна. Доказательство этого утверждения очень просто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
