Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Разрывы, возникающие при распаде начального разрыва, должны„очевидно, двигаться от места их образования, т. е. от места нахождения начального разрыва. Легко видеть, что при этом в каждую из двух сторон (в положительном и отрицательном направлениях оси х) может двигаться либо одна ударная волна, либо одна пара слабых разрывов, ограничивающих волну разрежения: Действительно, если бы, скажем, в положительном направлении оси х распространялись две образовавшиеся е одном и том же месте в момент Г = 0 ударные волны, то передняя из них должна была бы двигаться со скоростью большей, чем скорость задней волны, Между тем согласно общим свойствам ударных волн первая должна двигаться относительно остающегося за ней газа со скоростью, меньшей скорости звука с в этом газе, а вторая должна двигаться относительно того же газа со скоростью, превышающей ту же величину с (в области между двумя ударными волнами с=сонэ(), т.
е. должна догонять первую. По такой же причине не могут следовать друг за другом в одну и ту же сторону ударная волна и волна разрежения (достаточно заметить, что слабые разрывы движутся относительно газов впереди и позади них со звуковой сноростью). Наконец, две одновременно возникшие волны разрежения не могут разойтись, так как скорость заднего фронта первой равна скорости заднего фронта второй. Наряду с ударными волнами и волнами разрежения при распаде начального разрыва должен, вообще говоря, возникнуть так же н тангенциальный разрыв. Такой разрыв во всяком случае необходим, если в начальном разрыве испытывали скачок поперечные компоненты скорости ою и,.
Поскольку эти компоненты скорости не меняются ни в ударной волне, ни в волне разрежения, то их скачок будет всегда происходить на тангенциальном разрыве, остающемся на том же месте, где находился начальный разрыв; с каждой стороны от этого разрыва о„, о, будут оставаться постоянными (в действительности, конечно, благодаря неустойчивости тангенциального разрыва со скачком скорости он, как всегда, с течением времени размоется в турбулентную область). Тангенциальный разрыв, однако, должен возникнуть даже и в том случае, когда о„, о, не имеют скачка в начальном разрыве (не ограничивая общности, можно считать в этом случае, что постоянные о„и о, равны нулю, что и будет подразумеваться ниже), Это показывают следующие соображения.
Возникающие в результате распада разрывы должны дать возможность перейтн от заданного состояния 1 газа с одной стороны начального разрыва к заданному состоянию 2 с другой стороны. Состояние газа определяется тремя независимыми величинами, например, 62! РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ % 1ОО| р, р и а = а.
Поэтому необходимо иметь в распоряжении три произвольных параметра для того, чтобы посредством некоторого набора разрывов перейти, скажем, от состояния 1 к произвольно заданному состоянию 2. Но мы знаем, что ударная волна (перпендикулярная к направлению потока), распространяющаяся по газу, термодинамиче- 3' ское состояние которого задано,полностью определяется одним параметром ($ 85). То же самое относится к волне разрежения (как видно из формул (99,14 в 16), при заданном состоянии входящего в волну Л- У-Г а) разрежения газа состояние выходя- 2 щего газа полностью определится 4 заданием одной из величин в нем)..
3 3' С другой стороны, мы видели, что 1 в результате распада в каждую сторону может пойти не более одной х волны — ударной или разрежения. й У-"РТаким образом, мы будем иметь в б» 2 нашем распоряжении всего два параметра, что недостаточно. 4 Возникающий на месте началь- ~ 3 3' ного разрыва тангенциальный раз- ! рыв как раз и представляет этот не- ' ' х достающий третий параметр.
На " е) этом разрыве остается непрерывным 2 давление; плотность же (а с ней и температура, энтропия) испытывает скачок. Тангенциальный разрыв неподвижен относительного газа по — ~ 4 обеим его сторонам,и потому кнему х не относятся использованные выше 8Р- з1 соображения о взаимном обгоне — убарлал велла двух распространяющихся в одном — — ыалзвлв разрыв направлении волн. — — —.
слабый разрыв Газы, находящиеся по обе сто- Рас. 78 роны таигенциального разрыва, не перемешиваются друг с другом, так как движенич газа через тангенциальный разрыв нет; во всех перечьсленных ниже вариантах эти газы могут быть даже газами различных веществ. На рис. 78 схематически изображены все возможные типы распада начального разрыва. Сплошной линией изображен ход изменения давления вдоль оси х (изменение плотности изобразилось бы линией такого же характера, с той лишь разницей, что имелся бы скачок также и на тангенциальном разрыве). Вертикальные отрезки изображают образовавшиеся разрывы, а ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ~ГЛ Х стрелками указаны направления их распространения и направления движения газа.
Система координат выбрана везде та, в которой тангенциальный разрыв покоится; вместе с ним покоит. ся также и газ в прилегающих к нему областях 3, 3'. Давления, плотности и скорости газов в крайних слева и справа областях 1 и 2 — это те значения соответствующих величин, которые они имеют в момент времени ! = 0 на обеих сторонах начального разрыва. В первом случае (который мы условно записываем в виде Н-» У ТУ, рис. 78, а) нз начального разрыва Н возникают две ударные волны У, распространяющиеся в противоположные стороны, и расположенный между ними тангенцнальный разрыв Т.
Этот случай осуществляется при столкновении двух масс газа, движущихся с большой скоростью навстречу друг другу. В случае Н-» У ТР~ (рис. 78,б) по одну сторону от тангенциального разрыва распространяется ударная волна, а по другую — волна разрежения Р. Этот случай осуществляется, например, если в начальный момент времени приводятся в соприкосновение две неподвижные друг относительно друга массы газа (оз — о1 — — О), сжатые до различных давлений. Действительно, из всех четырех случаев, изображенных на рис. 78, только во втором из них газы ! и 2 движутся в одинаковом направлении и потому может быть о1 = оь Далее, в третьем случае (Н-» Р ТР ) в обе стороны от тангенциального разрыва распространяются по волне разрежения. Если газы 1 и 2 разлетаются друг от друга с достаточно большой скоростью ОА — ои то в волнах разрежения давление может достичь прн своем падении значения нуль.
Тогда возникает картина, изображенная на рнс. 78,г; между областями 4 и 4' образуется область вакуума 3. Выведем аналитические условия, определяющие характер распада начального разрыва в зависимости от его параметров. Будем считать во всех случаях, что рз) р„а положительное направление оси к выбираем везде в направлении от области ! к области 2 (в соответствии с рис. 78). Имея в виду, что газы по обеим сторонам начального разрыва могут быть газами различных веществ, будем различать их, называя соответственно газами 1 и 2. 1. Распад Н вЂ” У, ТУ~. Если Рз =. РА оз= о~~ $',, )А', — давление, скорость и удельные объемы в образовавшихся после РаспаДа областЯх 3 и 3', то имеем РА ) Рр ) Рь а объемы )Г и У' определяются как абсциссы точек с ординатами рз на з з ударных аднабатах, проведенных соответственно через точки ри У, и рм )АА в качестве исходных.
Поскольку газы в областях 3 и 3' в выбранной системе координат неподвижны, то согласно формуле (85,7) можно написать для скоростей о, и о,, направ- 623 РАЗРЫВЫ В ИАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ $ !00] ленных соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси Ах (Р0 Рд (р~ У 0)~ пз = .У'(Рз — Р0) (1'э ~'з). Наименьшее значение, которое может иметь давление р, при заданных р, и р, так, чтобы не противоречить исходному предположению (Рз > Р, > р,), есть рз = рь Имея также в виду, что разность п~ — пз есть монотонно возрастающая функция р„находим искомое неравенство и, — и, > т/(Р, — Р,) (р, — ~"), (100,1) где посредством 1"' обозначен объем, являющийся абсциссой точки с ординатой ра на ударной адиабате газа у„проведенной через точку рь р, в качестве начальной. Вычислив у' по формуле (89,1) (написав в ней 1" вместо )'0), получим для политропного газа условие (!00,1) в виде 2к1 п~ — ас > (рз — р~) ~/ + + ) .
(100,2) Отметим, что условия (100,1 — 2), устанавливающие границувозможных значений разности скоростей п~ — пь не зависят, очевидно, от выбора системы координат. 2. Распад Π— У ТР . Здесь Р, < р, р,'< рз. Для скорости газа в области ! имеем опять: "~ = "У'(Рз Р|) (У1 — УЗ) а полное изменение скорости в волне разрежения 4 равно согласно (99,7) и,= ~ У' — 0(РЫУ.
ж При заданных р~ и ра значения р, могут лежать в пределах от р, до р,, Заменяя р0 в разности п0 — и, один раз на рь а другой — на рз, получим условие — ~ ~ — А~ Л" < и, — и, < ~/(р, — р,)(Р— 1"). (100,8) Здесь У' имеет тот же смысл, что и в предыдущем случае; выражение, определяющее верхний предел разности щ — пь долясно вычисляться для газа 1, а нижний предел — для газа 2.
Для политропного газа получим: т — ~ '1 т0 1 Е Ри I 2У~ <(Р0 — Р1) ~~ (,) +(. +,) ° (100,4) ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА (гл. х где с, = у'узрз)гз — скорость звука в газе 2 в состоянии РМ )'2. 3. Распад Н-ь Р— ТР -+. Здесь Р, > р, > рз = р' > О. Тем же путем найдем следующее условие осуществлении этого случая: Р~ Р1 м — ~ о/ — 1тр с()г — ~ )/ — гтр гг)' < О1 — вз < — ~ Чг — 12Р с()г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
