Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Если же в сечении 5 ,„ достигается лишь некоторая точка е, то в расширяющейся части сопла давление будет возрастать соответственно обратному перемещению по кривой вниз от точки е. На первый взгляд могло бы показаться, что с ветви сЬ кривой можно перейти на ветвь аЬ скачком, минуя точку Ь, посредством образования ударной волны; это, однако, невозможно, так как «втекавший» в ударную волну газ не может иметь дозвуковой скорости. Имея в виду все эти замечания, проследим теперь за измене- нием режима вытекания по мере постепенного увеличения внеш.него давления р,.
При малых давлениях, начиная от нуля и до значения р, = р',, устанавливается режим, при котором в сечении 5,„,„достигается давление р, и скорость с» = с„. В расширяющейся части сопла скорость продолжает расти, так что осуществляется сверхзвуковое течение газа, а давление продолжает соответственно падать, достигая на выходном конце значения р', вне зависимости от величины р,. Падение давления от р, до р, происходит вне сопла, в отходящей от края его отверстия волне разрежения (как зто будет описано в ф !12). Когда р, начинает превышать значение р'„ появляется отходящая от края отверстия сопла косая ударная волна, сжимающая газ от выходного давления р', до давления р, (5 112).
Мы ') Согласно формулам 183ДЗ вЂ” !71 уравнение этой зависимости: 506 ОДНОМЕРНОЕ ДПИЖЕНИР СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. Х увидим, однако, что стационарная ударная волна может отходить от твердой поверхности лишь постольку, поскольку она не обладает слишком большой интенсивностью ($ 111). Поэтому при дальнейшем повышении внешнего давления ударная волна скоро начинает передвигаться внутрь сопла, причем перед ней, на внутренней поверхности сопла, возникает отрыв.
При некотором значении р, ударная волна достигает наиболее узкого сечения сопла и затем исчезает; течение становится всюду дозвуковым с отрывом на стенках расширяющейся (диффузорной) части сопла. Все эти сложные явления имеют уже, разумеется, существенно трехмерный характер. Задача На малом участке длины трубы к стационарно текущему по ней газу подводится небольшое количество тепла. Определить изменение скорости газа прв прохождении нм этого участка. Газ предполагается политропным. Решен не.
Пусть Яд есть подводямое в единицу времени количество тепла (3 — площадь сечения трубы в данном ее участке). Йа обеих сторонак участка подогрева одинаковы плотности потока массы ( = ро и потока импульса р+ (о; отсюда Лр = — /Ло, где Л обозначает изменение величины при прохождении этого участка. Разность же плотностей потока энергии (ш+ оз(2)1 равна о. Написав тп в виде ур тр" (у () р (у () 1 получим (считая Лв и Лр малыми): о) Ло+ — (р Ло+ пар) =я. 7 у — ! Исключая Лр из этих двух соотношений, найдем: р (с — вз) Мы видим, что прн дозвуковом течении подвод тепла ускоряет поток (Ло ) О), а при сверхзвуковом — замедлиет. Написав температуру газа в виде Т рррр = рроЯ/ ()( — газовая постоянная), найдем для ее изменения выражение - —.( ~- )- .
( — * — "). И р (т — )) О Г Сз )() )(( (с — е') ч у Прн сверхзвуковом движении это выражение всегда положительно — температура газа повышается; при дозвуковом же движении оно может быть как положительным, так и отрицательным. % 98. Вязкое движение сжимаемого газа по трубе Рассмотрим течение сжимаемого газа по трубе (постоянного сечения) настолько длинной, что нельзя пренебрегать трением газа о стенки, т. е. вязкостью газа. Стенки трубы мы будем предполагать теплоизолированными, так что никакого обмена теплом между газом и внешней средой не происходит. При скоростях течения порядка илн превышающих скорость звука (о которых только и идет здесь речь) течение газа по трубе является, конечно, турбулентным (если только радиус трубы не слишком мал).
Турбулентность движения будет существенна здесь для нас только в одном отношении. Именно, мы видели в $ 43, что при турбулентном течении скорость (средняя) практически постоянна почти по всему сечению трубы и быстро падает до нуля лишь на очень близких расстояниях от стенок. На этом основании мы будем считать скорость течения о просто постоянной по всему сечению трубы, определив ее так, чтобы произведение 5ра (5 — площадь сечения) было равно полному расходу газа через сечение трубы. Поскольку полный расход газа 5ра постоянен вдоль всей длины трубы, а 5 постоянно по предположению, то должна быть постоянной также и плотность потока газа ! = ро = сопзй Далее, поскольку труба теплоизолирована, то вдоль нее должен быть постоянным также и полный поток энергии, переносимой газом через поперечное сечение трубы.
Этот поток равен 5рв(ш+ оа/2), и ввиду (98,1) можно написать: 02 /Я$гс га + — = ш + — = сопз(. 2 2 (98,2) Что же касается энтропии газа з, то благодаря наличию внутреннего трения она, конечно, отнюдь не остается постоянной, а возрастает по мере движения газа вперед по трубе. Если х— координата вдоль оси трубы, причем положительное направле. ние оси х совпадает с направлением течения, то АА — > О. дх (98,3) Продифференцируем теперь соотношение (98,2) йо х, Помня, что пга = Т г(з + у' пр, имеем: Т вЂ” + У' — + ~Р— =О.
ч'з др гЛI НА ах я'х Далее, подставляя сюда (98,4) получаем: ~т+(р ЯЯ ~„= — р~(+)'( Е ~+. Согласно известной термодинамической формуле (98,8) 4 ев ВЯЗКОЕ ЛВНЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ БОТ воз одномерное движение сжимаемого гхзх ~гл. х Коэффициент теплового расширения газов положителен. Поэтому в силу (98,3) заключаем, что положительно также и все выражение в левой стороне оавенства (98,5). Знак же производной пр/Нх совпадет, следовательно, со знаком выражения ййы видим, что — <О при о<с, — „>О при о>с.
~986) Нд дд Таким образом, при дозвуковом течении давление падает вниз по течению (как и для несжимаемой жидкости). При сверхзвуковом же движении давление возрастает вдоль трубы. Аналогичным образом можно установить знак производной с(о/г(х. Ввиду того, что /= о/*г' = сопз(, знак по/пх совпадает со знаком производной пГ/с(х. Последняя же может быть выражена через положительную производную г(з/пх с помощью (98,4 — 5). В результате мы найдем, что — >О при о<с, — „<О при о>с, (98,7) ду др т. е. скорость возрастает вниз по течению при дозвуковом и падает при сверхзвуковом движении. Любые две термодинамические величины текущего вдоль трубы газа являются функциями друг от друга, совершенно не зависящими, в частности, от закона сопротивления трубы.
Эти функции зависят как от параметра от значения постоянной )' и определяются уравнением го + )'Р'/2 = сопз(, получающимся путем исключения скорости из уравнений сохранения массы н энергии газа. Выясним характер, который имеют кривые зависимости, например, энтропии от давления. Переписав (98,5) в виде р2 — — ! Ыр ср — = )г Г+)2у ~до ) мы видим, что в точке, где о = с, энтропия имеет экстремум. Легко видеть, что этот экстремум является максимумом.
Действительно, для значения второй производной от з по р имеем в этой точке: (что связано с предполагающейся везде положительностью про- изводной (д'У/др') р). 1 96! ВЯЗКОЕ ПВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ 509 Таким образом, кривые зависимости з от р имеют вид, изображенный на рис. 73. Справа от максимумов лежит область дозвуковых, а слева — сверхзвуковых скоростей, При увеличении параметра /' мы переходим от более высоких к более низко расположенным кривым.
Действительно, продифференцировав уравнение (98,2) по / при постоянном р, получим: Йз /ги < о. '+ '( — ".), Из полученных результатов можно сделать интересный вывод. Пусть на входе трубы скорость газа меньше скорости звука. По направлению вниз по течению энтропия рас- и тет, а давление падает; В~С Б<Р это соответствует передвижению по правой вет- / ви кривой з = з (р) по на- / правлению от В к О (рис. 73).
Так может, однако, я // в продолжаться лишь до тех пор, пока энтропия не до- / стигнет своего максималь- / ного значения. Дальнейшее передвижение по кри- Р вой за точку О (т. е. в Рис. тэ область сверхзвуковых скоростей) невозможно, так как оно соответствовало бы уменьшению энтропии газа по мере его течения по трубе, Переход с ветви ВО на ветвь ОА кривой не может произойти также и посредством возникновения ударной волны, так как скорость «втекающего» в ударную волну газа не может быть дозвуковой.
Таким образом, мы приходим к выводу, что если на входе трубы скорость газа меньше скорости звука, то движение остается дозвуковым и на всем дальнейшем ее протяжении. Скорость, равная местной скорости звука, если и достигается вообще, то только на выходном конце трубы (при достаточно низком давлении во внешней среде, в которую выпускается газ). Для того чтобы осуществить сверхзвуковое течение газа по трубе, необходимо впускать газ в трубу уже со сверхзвуковой скоростью.
В связи с общими свойствами сверхзвукового движения (невозможностью распространения возмущений вверх по течению) дальнейшее течение газа будет происходить совершенно независимо от условий на выходе из трубы. В частности, будет происходить совершенно определенным образом возрастание энтропии вдоль длины трубы, и максимальное ее значение будет достигнуто на определенном расстоянии к= /» от входа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
