Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Таким образом, первоначально покоившийся газ при нестационарном расширении в волне разрежения может ускориться лишь до скорости, не превышающей 2со/(у — )). Мы уже упомянули в начале параграфа простой пример автомодельного движения, возникающего в цилиндрической трубе, когда поршень начинает двигаться с постоянной скоростью.
Если поршень выдвигается из трубы, он создает за собой разрежение, н возникает описанная выпге волна разрежения. Если же поршень вдвигается в трубу, он производит перед собой сжатие газа, а переход к более низкому первоначальному давлению может произойти лишь в ударной волне, которая и возникает перед поршнем, распространяясь вперед по трубе (см. задачи к этому параграфу)').
Задачи 1. Газ находится в цилиндрической трубе, неограниченной с одной стороны н закрытой поршнем с другой. В начальный момент'времени яоршеиь начинает вдвигаться в трубу с постовниой скоростью (1. Определить возникающее движение газа (считая газ политропиым). Р е ш е и н е. Перед поршнем возникает ударная волив, передвигающаяся вперед по трубе. В начальный момент времени положении (Т втой волны и поршня совпадают, а в дальнейшем волна «обгоняет» поршень и возии- г кает область газа между ней и поршнем (область 2).
В области впереди от ударной вол- Ю иы (область 1) давление газа равно его (Т 7 первоначальному значению рь а скорость (относительно трубы) равна нулю. В области же Рис. 75 2 газ движется с постоянной скоростью, равной скорости поршни (7 (рис. 75). Разность скоростей газон ! н 2 равна, следовательно, тому же (1 и согласно формулам (85.7) я (89,1) можно написать: (г = ч((Р» — Р~) (1' — У») = (р — Р ) ~/ ЕР, (у 1) ш + (у+ 1) ш ') Упомянем об аналогичной трехмерной автомодельной задаче: центрально-снмметрическом движении газа, создаваемом равномерно расширяющейся сферой (7.
И, Седов, 1945; О. Тау(ог, 1946). Перед сферой возникает сферическая же ударная волна, распространяющаяся с постоянной скоростью. В отличие от одномерного случаи скорость движения газа между сферой и ударной волной ие постоянна; уравнение, определяющее ее как фувкцию отношения гд (а вместе с тем и скорость распространения ударной волны), не мозкет быть проинтегрнроваио в аналитическом аиде. См. Седов Л.
И,, Методы подобия и размерности в механике. — Мл Наука, 1981, гл. 1У, $6; Тпу(ог й, И вЂ” Ргос. Коу. Зос., 1946, ч. А186, р. 273. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА (ГЛ. Х 516 Отсюда получаем для давления р, газа между поршнем и ударной волной ,а,, у(у+ П У' уУ /, (у+ П'У* Эная ра, можно вычислить согласно формулам (89,4) скорость ударной волны отнбсительно газов впереди и позади нее. Поскольку газ 1 покоится, то скоость волны относительно него есть скорость ее распространения по трубе.
ели координата к вдоль длины трубы отсчитываетсн от начального места нахождения поршня (прнчем газ находится со стороны х ) 0), то для положении ударной волны в момент 1 получим: (положение же поршня есть к = У!). 2. То же, если поршень выдвигается нз трубы со скоростью У. Решение. К поршню примыкает область газа (! на рве. 76,о), двнжущегосн в отрицательном направлении осн х с постоянной скоростью — У, равной скорости поршни. Далее следует волна -В разрежения 2, в которой газ двнжетсн в отрнца- 1 тельном наарзвлеини оси х со скоростью,меннющейся от значении — У до нуля по линейному а) закону (99,17).
Давление же меняется по зало кону (99,!6) от значения и (уч~ у Р~ Ро ( 2 ) 2 3 б) ) в газе ! до ра в неподвижном газе 3. Граница области 2 с областью 1, определяетсн условием о = — У; согласно (99,17) получим: -У -йс с х 7'-! Рнс. 76 х (со — — У) 1 = (с — У) 1 7+1 2 (с — скорость звука в газе 1). На границе же с областью 3 и = О, откуда х = сай Обе зтн границы представляют собой слабые разрывы, из которых второй всегда распространнетсн вправо (т.е. в сторону от поршни); первый же (граница 1 — 2) может распространяться как вправо (как это изображено на рис. 76,о), так н влево — если скорость поршня У ) 2са/(2+ 1), Описанная няртииа может иметь место только при условии !/ < 2са/(у — 1). Если же У ) 2са/(у — !), то перед поршнем образуется область вакуума (газ как бы не успевает двигатьсн за поршнем), простирающаяся от поршня до точки г координатой х = — 2са//(у — 1) (1 на рис.
76, б). В атой точке и — 2с,/(у — 1); за ней следует область 2, в которой скорость падает до нуля (в точке х = са1), а дальше область 3 неподвижного газа. 3. Газ находится в цилиндрической трубе, не ограниченной с одной стороны (х ) О) н закрытой заслонкой с другой (х = О). В момент времени 1 = 0 заслонка открывается, и газ вьпускзется в наружную среду, давление р; которой меньше первоначального давления р, в трубе.
Определить возникающее движение газа. Решение. Пусть — о, есть скорость газа, соответствующая по формуле (99,16) внешнему давлениао рн при х= О, !) О должно быть и= — и„. Если и, ~ 2са/(у + 1), то получается картина распределения скорости, изображенная на рнс. 77, о. Прн и, = 2са/(у + 1) (что соответствует скоростд ОДНОМЕРНОЕ АВТОМОДЕЛЬНОЕ ДВИ)КЕНИЕ 517 вытекания, равной местной скорости звука на выходе трубы, — в этом легко убедиться, положив о = с в формуле (99,14)) область постоянной скорости 2се исчезает и получается кзртина, изображенная на рис. 77, б. Величииа— у + 1 представляет собой наибольшую возможную скорость вытекания газа из трубы в рассматриваемых условиях. Если внешнее давление зт Ре ( Ре ( + 1 ) (с--ке1п,) се .му Са Рис.
77 ди г у — ! и~тра ~! — ) б( ~ 2 с У ((' — скорость поршня, еч — масса, приходящаяся на единицу его площади). Интегрируи, получим: т — ! 1 ц(!) Ес., ~.!+ (у+!)Ре 11 т+! у — !ь ! 2шсю 5. Определить движение в изотермической автомодельйой волне разрежения. Решен не. Изотермвческая скорость звука и при постоянной температуре с =сопят=сук Согласно (99,5 — В) находим гоэтому: о= сг !и — =с, !и — = — — с г Р Р Ре ' Ре — г, — г; б. С помощью уравнения Бюргерса (5 93) определить связанную с диссипацией структуру слабого разрыва между волной разрежении и неподвижным газоы. р е шеи не. Пусть неподвижный газ находится слева, а волна разрежеяия — справа от слабого разрыва (тогда последний движется влево).
Без учета диссипации, в первой из этих областей имеем о О, а во второй движение описывается уравнениями (99,5 — 6) (с обратным знаком перед с), при- то соответствующая ему скорость о, сделалась бы больше, чем йсе/(7+ 1). В действительности при этом давление на выходе трубы будет продолжать оставаться равным предельному значению (1), а скорость вытекания — равной 2се/(у + 1); остальное падение давления (до р,) происходит ао внешней среде. пе 4. Бесконечная труба перегорожена порш- ! нем, по одну сторону от которого (х(0) в а) начальный момент времени находится газ под давлением Рь а по ДРУгУю стоРонУ (х ) О)— вакуум.
Определить движение поршня под влиянием расширяющегося газа. Решение. В газе возникает волна раз- Зол режения, одна кз границ которой перемеща- !'-! ется вместе с поршнем вправо, а другая — влево. Уравнение движения поршня 616 одиомяиноя днижяния сжилтлямого глзл 1гл, к чем вблизи разрыва скорость о мала; с точностью до членов первого порядка по о имеем к Ро о(со 'о — о — с ~ — со+ ох1+ — — ~ — со+ и о оо о(ро где а определено в (102,2), а индекс О указывает значения величии при о = О (ниже этот индекс опускаем).
С точностью до величии второго порядка малости скорость в волне, распространяющейся влево, подчяияется полученному в задаче 1 $ 93 уравнению (6), или уравнению Бюргерса ди ди д'и — +и — =р —, дг дз дао ' где р = ас', а неизвестная и = ао выражена в функции от 1 и 9 = к + с1; переменная ь измеряет расстояние от слабого разрыва в каждый момент времени Л Требуется найти непрерывное решение этого уравнения с граничными условиямн и = Ь/Г при Ь-ь оо, и = О при Ь- †, отвечающими движению без учета дисснпации.
В соответствии с законом расширения слабого разрыва (96,1), переменная 1 должна входить в решение в комбинации к=о/П/Г с переменной Ь. Такое решение может удовлетворять поставленным граничным условиям, если и (1, ь) = — ф (=). 1 ч/Г Функция ф связана с введенной в задаче 2 $93 функцией Чо соотношением Г о(к 21о!пю ~ф(к) — ) ф(2) —, таи что ор зависит тОлькО От 2, причем ф (к) = 2)ок — 1п Чо (2). дя Уравнение (3) указанной задачи принимает вид йрор" — иао', откуда (к) ~ е о)оно(к. Решение, удовлетворяющее граинчным условиям: -! и(к, ь) — ез94" е оров да 3 илн окончательно для сиоростн о(ь, 1): ыг Г оя,г) — еоми~ ~ е * о(к аггг ~ 1Д,/;т чем н определяется структура слабого разрыва, 519 РАЗРЫВЫ В НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВНЯХ е 100! й 100.
Разрывы в начальных условиях Одной из важнейших причин возникновения поверхностей разрыва в газе могут являться разрывы в начальных условиях движения. Начальные условия (т. е. начальные распределения скорости, давления и т. п.) могут быть заданы, вообще говоря, произвольным образом. В частности, эти начальные распределения отнюдь не должны быть непременно везде непрерывными функциями и могут испытывать разрывы на некоторых поверхностях. Так, если в некоторый момент Времени привести В соприкосновение две массы газа, сжатые до различных давлений, то поверхность их соприкосновения будет поверхностью разрыва в начальном распределении давления. Существенно, что скачки различных величин в разрывах начальных условий (или, как мы будем говорить, в начальных разрывах) могут быть совершенно произвольньпии; между ними не должно существовать никаких соотношений.
Между тем, мы знаем, что на поверхности разрывов, которые могут существовать в газе в качестве устойчивых образований, должны соблюдаться определенные условия; так, скачки плотности и давления в ударной волне связаны друг с другом ударной адиабатой. Поэтому ясно, что если в начальном разрыве эти необходимые условия не соблюдаются, то в дальнейшем он во всяком случае не сможет продолжать существовать как таковой. Вместо этого начальный разрыв, вообще говоря, распадается на несколько разрывов, каждый из которых является каким-нибудь из возможных типов разрывов (ударная волна, тангенциальный разрыв, слабый разрыв); с течением времени эти возникшие разрывы будут отходить друг от друга '). В течение малого промежутка времени, начиная от начального момента 1= 0, разрывы, на которые распадается начальный разрыв, еще не успеют разойтись на большие расстояния друг от друга, и потому вся исследуемая картина движения будет ограничена сравнительно узким объемом, прилегающим к поверхности началыюго разрыва.
Как обычно, достаточно рассматривать в общем случае отдельные участки поверхности начального разрыва, каждый нз которых можно считать плоским. Поэтому можно ограничиться рассмотрением плоской поверхности разрыва. Мы выберем эту плоскость в качестве плоскости у, г. Из соображений симметрии очевидно, что разрывы, на которые распадется начальный разрыв при 1)0, будут тоже плоскими и перпендикулярными к оси х. Вся картина движения будет зависеть только от одной координаты х (и времени), так что задача сводится к одномерной.
Благодаря отсутствию каких бы то ни было характеристических параметров длины и вре- ') Общее исследование етого вопроса дано Н. Е. Кочиным (1926). ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. Х мени, задача автомодельна, и мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе результатами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
