Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Там же было показано, что это затухание можег быть описано (для произвольной плоской звуковой волны) введением дополнительного члена в линеаризованное уравнение движения — см. (79,9). Заменив в этом уравнении вторую про. изводную по времени второй производной по координате и изменив знак перед производной др'/дх (что отвечает распространению волны в отрицательном направлении оси х')), запишем его в виде дР дР з дзР— — с — - =ас —, д» дк дх' (93,6) где р' — переменная часть давления. Для учета слабой нелинейности надо ввести в это уравнение член вида р'др'/дх: дР' др' „т др' з д'Р' — — с — — а р — =ас —. д» дх РР дх дхз (93,7) Коэффициент из в нелинейном члене определяется путем соответствующего разложения гидродинамических уравнений идеальной (без диссипации) жидкости и оказывается равным (93,8) (см. задачу) '). ') Этот выбор направления распространения связан с замечанием, сяеланным в примечании на с.
489. ') Введя новую неизвестную функцию и = — Р'а„ новую (вместо х) незавнсямую переменную С = х + с» и обозначив м = ас', прнвеяем уравнение 492 1гл. гх УДАРНЫЕ ВОЛНЫ Уравнение (93,7) описывает распространение возмущений в слабо диссипирующей, слабо нелинейной среде.
В применении к слабой ударной волне оно описывает ее распространение в системе отсчета, в которой невозмущенный газ (перед волной) неподвижен. Требуется найти решение со стационарным (не зависящим от времени) профилем, в котором вдали от волны, прн х-ь~оо, давление принимает заданные значения ре и рн разность р,— р1 есть скачок давления в разрыве ').
Волна со стационарным профилем описывается решением вида р'(х,1) = р'(х+ о,Г), (93,9) где о, — скорость распространения такой волны. Подстановка в (93,7) приводит к уравнению — ~(о1 — с) р — -е р — ас — 1= 0, $= х+ о11, д Г з др 1 деь ~ 2 дй )= первый интеграл которого: асз Р = — — э р' + (о, — с) р'+ сопз1. (93,10) д$2 Квадратный трехчлен в правой стороне равенства должен обращаться в ноль при значениях р', отвечающих предельным условиям на бесконечностях, где производная Ыр'/й$ обращается в ноль.
Эти значения равны рз — р, и 0 если условиться отсчитывать р' от невозмущенного давления р, перед волной. Это значит, что указанный трехчнен может быть представлен в виде (Р (Рз Р1 ) Р причем константа о~ выражается через р, и р, согласно "1 =с+ 2 (Рэ Р1) (93, 11) Для самого же давления р уравнение (93,10) принимает вид д ас —, = — —. (р — Р,) (Р— Рэ1. (93,7) к виду ди ди дти — +и — =р —, дг дй дь' ' 193, 7а) в котором его называют ириеиеииеи Бюргерси (У.
М. Вигнегз, 1940), ') Мы увндии в дальнейшем ($102), что в отсутствии диссипации эффекты нелинейности приводят к искажению профиля волны по мере ее распространения — постепенному возрастанию крутизны фронта волны. В свою очередь, это возрастание приводит к усилению диссипативных эффектов,стре. ыяшнхся уменьшить крутизну профиля (т.е. уменьшить градиенты меняю. шихся величии). Именно взаймная компенсация этих противоположных тенденций приводит к возможноств распространения волн со стационарным профилем в нелинейной днссипативной среде.
ШИРИНЛ НДЛРНЫХ ВОЛН 493 Решение этого уравнения, удовлетворяющее требуемым условиям есть Р1+ Рг 1 Рт Р~ 1) (Р| — Р~) (х+ од) Р= 2 4ас'(ае Этим решается поставленная задача. Возвратившись снова к системе отсчета, в которой ударная волна покоится, напишем формулу, определяющую ход изменения давления в ней в виде Р~ + Р~ Рт Р1 1 ;93,12) 2 2 Ь ' где 8аУ' (93,! 3) (Рт Р~) (3 У(оР )е Практически все изменение давления от р1 до рз происходит на расстоянии б — ширине ударной волны. Мы видим, что ширина волны уменьшается с увеличением ее интенсивности— ска |ка давления рз — р1 ') .
Для хода изменения энтропии внутри разрыва имеем нз (93,5) и (93,12): Отсюда видно, что энтропия меняется не монотонно, а имеет максимум внутри ударной волны (при х= О). При х= ~со эта формула дает одинаковые значения з = зп это связано с тем, что полное изменение энтропии зз — з, является величиной третьего порядка по рз — Р, (ср. (36,!)), в то время как з — з1— втооого. Формула (93,12) применима количественно только при достаточно малых разностях Ря — рь Однако качественно мы можем применить формулу (93,13) для определения порядка величины ширины ударной волны н в тех случаях, когда разность Ре — Р, — поРЯдка величины самих давлений Рь Р,. СкоРость звука в га.
— порядка величины тепловой скорости о молекул. Кннематическая же вязкосгь, как известно из кинетической теорьи газов, т — (о — (с, где ! — длина свободного пробега молекул. Поэтому а — (/сз (оценка члена с теплопроводностью дает то же самое). Наконец, (дзУ/дрз)е — У/)тз и ПУ вЂ” сх.
Внося этн выражения в (93,13), получаем: б 1. (93, 15) ') Для ударной волны, распространяющейся в смесн, определенный вклад в ее шнрнну вознякает также н от процессов днффузнн в переходном слое. Вычнсленне етого вклада см. ((аяксе С.
П. — ЖЭТФ, 1934, т. 27, с. 283 Упомянем также, что ударные волны слабой янтенснвностн остаются устойчнвымн по отношению к поперечной модуляция (ср. прнмечаняе на стр. 477) н прн учете нх днсснпатнвной структуры; см. Спектор М. Д.— Пнсьма ЖЭТФ, 1983, т. 33, с. 181. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 494 [гл. [х Таким образом, ширина ударных волн большой интенсивности оказывается порядка величины длины свободного пробега молекул газа '). Но в макроскопической газойииамике, трактуюшей газ как сплошную среду, длина свободного пробега должна рассматриваться как равная нулю.
Поэтому, строго говоря, чисто газодинамические методы непригодны для исследования внутренней структуры ударных волн большой интенсивности. Задачи 1. Определить козффнцнент нелинейности а в уравнении (93,7) для распространенна звуковых волн в газе. Р еш е н не. точные гндродннамнческне уравнения одномерного двнжепня ндеалыюго (без днссяпацнн) газа: до до ! др др д — +о — = — — —, — + — ро=в. (И д/ дх р дх' д/ дх Проязвелем нх разложение с учетом членов второго парялка малости. Для этого полагаем р' р" г дзр 'л Р=рл+Р ° Р=ра+ ° + — ! л ) . сз 2 л др' ув' (2) Члены второго порядка в уравнениях люжно упростить, приведя нх всех к одннаковому виду — содержащему пронзведепне р'др'/дх, Для этого замечаем, что для волны, расцространяюшейся в отрнцательном направленнн осн х (со скоростью с) дифференцирование по / эквнвалевтно днфференцнрованню по х/с; прн этом о = — р'/срл, После всех этих замен получим нз (1) н (2) следующне уравнения: — + — — О, до ! др' (3) д/ р дх до ! др' Гдлр~, др' дх рс' д/ (, др' Уз дх (4) С той же точностью заменяем в левой стороне этого уравнення д/дх + + д/сдг -ь 2д/дх.
Наконец, вычеркнув с обоих сторон дифференцирования по х н сравнив получавшееся уравнение с (93,7), найдем для сс, чначенне (93,8). Уравнение для скорости о можно получить непосредственно нз (93,7), не повторяя заново вычнсленнй, подобных пронзведенным выше. Действительно, сумма членов первого порядка н левой стороне (93,7) содеРжит оператор ') Сальная ударная волна сопровождается значнтельным увелнченнем температуры; под / надо поннмать длину пробега, соответствующую некоторой средней температуре газа в волне. (нндекс О у постоянных равновесных значений величии опускаем); здесь нспользована также равенство (5) ([г = !/р — удельный обьем). Днфференцнруя уравнення (3) н (5) соответственно по х н по / н вычтя одно нз другого, получам УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В РЕЛАКСИРУЮШЕИ СРЕДЕ 495 д/д/ — сд/дх, который надо рассматривать как малый первого порядка: ои обращает в ноль функцию р'(х, /) в ее линейном приближении.
Поэтому мы получим уравнение для функции о(х,/) в требуемом приближении, просто заменив в (93,7) р' согласно линейному соотношению р' = — рсе; до дэ де д'е — — с — + аео — = ас'— (6) д/ дх дх дхт ' где Величина сг, безразмерна; длн политропного газа о, = (у + 1)/2. 2. Путем нелинейной подстановки привести уравнение Бюргерса (93,7а) к виду линейного уравнения теплопроводности (Е. Нор/, 1950). Р е ш е н и е.
Подстановкой и (5, /) = — 2р — 1п е Я, /) д дь уравнение (93,7а) приводится к виду откуда дф д'ф б/ (/) )ь Ф дг дьт с(/ где посредством д//л/ обозначена произвольная функция й Переабозиачеиием Ч -ь фс~ (НЕ МсняЮщИМ ИСКОМОЙ фуНКцИИ и(Ь, 1)) Эта ураВНЕНИЕ Прссбразуется к требуемому аиду дф дт~р р дг дат ' (3) !эешснче этого уравнсння с начальным условием ф(ь, О) = Чо(~) дается формулой (51„3): ч(5, /) =2(нмг) ' ~ Фа(й') сар ~— (4) Начальная же функция фо(й) связана с начальным значением искомой функции и(ь, /) равенством (п Е, (С) = — — 1 и„(Г) Лт 1 и (5) (выбор нижнего предела в интеграле произволен). й 94. Ударные волны в релаксирующей среде К значительному расширению ударной волны может привести наличие в газе сравнительно медленно протекающих релаксационных процессов — медленно протекающие химические реакции, замедленная передача энергии между различными 496 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
