Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 96
Текст из файла (страница 96)
2 2 УР! о! УР2 2 У+ 2 (у — !) р 2 (у — !) р 2 2 (у — !) (ср. (83,7)). Определяя иэ этих равенств Рх)рх и Р,/р~ и подставляя их в. уравнение Рг Р1 О, — Рх ос, Шо, (результат комбинирования (85,1) и (85,2)), получим у+1 / с' ~ — (о, — ох] ~! — — ' / О. 2у О102 - Ввиду того что ог ~ ох, отсюда следует искомое соотношение. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ (гл |к З. Определить отношение рт/р, по заданным температурам Ть Т, для ударной волны и термодинамически идеальном газе с непостоянной тепло. емкостью. Р е шеи не.
Для такого газа можно лишь утверждать, что в (как и е) есть функции только от температуры и что р, У, Т связаны ураииением состояния р)/ = Тст/р. Решая уравнение (85,9) относительно рт/рь получаем: от т, — т, lг и Тг Т1 12 Тт — (а — в,)— + тт/] — (в, — в,)— +— р, «Т1 ЗТ, тг/ ь/т Т, ЕТ, ] Т,' где в~ = в(Т), в, = в(Т). $90. Гофрироночная неустойчивость ударных волн Соблюдение условий эволюционности само по себе необходимо, но еще недостаточно для гарантирования устойчивости ударной волны.
Волна может оказаться неустойчивой по отношению к возмущениям, характеризующимся периодичностью вдоль поверхности разрыва и представляющим собой как бы «рябь», или «гофрировку», на этой поверхности (такого рода возмущения рассматривались уже в $29 для тангенциальных разрывов)'). Покажем, каким образом исследуется этот вопрос для ударных волн в произвольной среде (С.
П, Дьяков, 1954). Пусть ударная волна покоится, занимая плоскость х = 0; жидкость движется сквозь нее слева направо, в положительном направлении оси х. Пусть поверхность разрыва испытывает возмущение, при котором ее точки смещаются вдоль оси х на малую величину (90,! ) где й„ вЂ” волновой вектор «ряби». Эта рябь на поверхности вызывает возмущение течения позади ударной волны, в области х ) 0 (теченне же перед разрывом, х < О, ие испытывает возмущения в силу своей сверхзвуковой скорости).
Произвольное возмущение течения складывается нз энтропийно-вихревой волны и звуковой волны (см. задачу к 9 82). В обоих зависимость величин от времени и координат дается множителем вида ехр(/((сг — ш/)] с той же частотой ш, что н в (90,1). Из соображений симметрии очевидно, что волновой вектор (с лежит в плоскости ху; его у-компонента совпадает с й„ в (90,!), а х-компонента различна для возмущений двух типов, В энтропийно-вихревой волне )сии — — ш, т. е. й, = ш/пт (пав невозмущенная скорость газа за разрывом). В этой волне возмущение давления отсутствует, возмущение удельного объема связано с возмущением энтропии, 6(гв"т) = (д)г/дз) 6з, а возму- г) Неустойчиаость по отношению к таким аозмушеииям назыаают гофрироиочной (соггцяаиоп (пз(аЬ|Иу по английской терминологии). 2 22! РОФРиРОВОчнАя неустоичивость удАРных ВОлн 47з щение скорости подчинено условию (4 бусзнт! — бо(энт! + Ь бо(энт! — 0 (90,2) х н и В звуковой волне в движущемся газе связь между частотой и волновым вектором дается равенством (аз — (су)2 = сий' (см.
(68,1)); поэтому й в этой волне определяется уравнением ( ~х 2) с11йх + й )' (90,3) бР!эв! (сз/У~)2 бУ!зв! (и2 о2йх) бч!зв! = У (гбР!зв! (90,4) (90,5) Возмущение в целом представляется линейной комбинацией возмущений обоих типов: бо(звт! 1 бо<зв! бУ бу(энт>+ баэз! бр брхзв! (90 6) Оно должно удовлетворять определенным граничным условиям на возмущенной поверхности разрыва. Прежде всего, на этой поверхности долмсна у быть непрерывна тангенциальная к ней составляющая скорости, а скачок нормальной составляющей должен выражаться через возмущенные давление и плотность равенством (85,7).
Эти условия записываются как «!1=(»2+ бя)(, Х Уэп — (Уз+ бч) п = э(Р2 РЗ+ бР (1 ! 1 2 51 )) и где 1 и и — единичные векторы касательной и нормали к поверхности разрыва (рис. 59). С точностью до величин первого порядка малости компоненты этих векторов (в плоско- рис. 59 сти ху) равны 1(2йЬ, 1) и п(1, — 2йЬ); выражение 2йь возникает как производная д~/ду. С этой же точностью граничные условия для скорости пршгнмают внд бои —— 2й~(о! — о,), бо„—" " ~ ~ —,, ~. (90,7) Далее, возмущенные значения Рэ+ бр и У2+ бУ2 должны удовлетворять тому же уравнению адиабаты Гюгонио, что и не- возмущенные Р2 и У2.
Отсюда получаем условие, связываю!цее брибУ: бр=+бУ, (90,8) где производная берется вдоль адиабаты. Возмущения давления, удельного объема и скорости связаны со- отношениями: УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 474 ггл. гх Наконец, еще одно соотношение возникает из связи между потоком вещества через поверхность разрыва и скачками давления и плотности на ней. Для невозмущенного разрыва это соотношение выражается формулой (85,6), а для возмущенного аналогичное соотношение есть — э (игп — пп) 1 а Рт Р~+ бр У, — Ух — ЬУ где и — скорость точек поверхности разрыва. В первом приближении по малым величинам имеем пи = — гогЬ; разлагая написанное равенство также н по степеням бр и 6У, получим: 2гю бр ЬУ вЂ” +— Р— Р~ Уг — Ут (90,9) '(й'„+ Я вЂ” ( — + й'„) (го — о,й„) (1+ й) = О, (90,10) где для краткости обозначено й = )а(45'е/с(рх), а !' имеет обычный смысл: ! = пг/)хг — — оа/)га.
Величину й„в (90,10) надо понимать как функцию й„и еэ, определяемую равенством (90,3). Условие неустойчивости состоит в существовании возмущений, экспоненциально возрастающих со временем, причем они должны экспоненциально убывать с удалением от поверхности разрыва (т, е, при я -.оо); последнее условие означает, что источником возмущения является сама ударная волна, а не какой-то внешний по отношеннго к ней источник. Другими словами, волна неустойчива, если уравнение (90,10) имеет решения, у которых !гп ег ) О, 1гп й; ) О.
(90,1!) Исследование уравнения (90,!О) на предмет выяснения условий существования таких решений довольно громоздко. Мы не будем производить его здесь, ограничившись указанием окончательного результата'). Гофрнровочная неустойчивость ударной г) Все эти равенства берутся при х О, и под перечисленными величинами а них могут подразумеваться постоянные амплитуды, беэ переменных энспоиеиниальных множителей.
') Это исследование можно найти а оригинальной статье: Дьяяов С.П.— ЖЭТФ, )954, т. 27, с. 288. В следующем параграфе будет приведено еще и менее строгое, но более наглядное обоснование условий !90,)2 — 13), Равенства (90,2), (90,4 — 5), (90,? — 9) составляют систему восьми линейных алгебраичесних уравнений для восьми величин ~.
6р, 6Угэаг~ 6Угэа~ 6ог-м бомм '). Условие совместности этих уравнений (выражаемое равенством нулю определителя их коэффициентов) имеет вид: волны возникает если !' — < — 1 '2 д(т дрс (90,12) (е=т > 1+ 2 — '; дрг сз (90,13) напомним, что производная берется вдоль ударной адиабаты (при заданных рь )г!) '), Условия (90,!2 — 13) отвечают наличию у уравнения (90,10) комплексных корней, удовлетворяющих требованиям (90,11). Но в определенных условиях это уравнение может иметь также и корни с вещественными со и й„отвечающие «уходящим» от разрыва реальным незатухающим звуковым и энтропийным вол. нам, т. е. спонтанному излучению звука поверхностью разрыва.
Мы будем говорить о такой ситуации как об особом виде неустойчивости ударной волны, хотя неустойчивости в буквальном смысле здесь нет, — раз созданное на поверхности разрыва возмущение (рябь) неограниченно долго продолжает излучать волны, не затухая и не усиливаясь при этом; энергия, уносимая излучаемыми-волнами, черпается из всей движущейся среды я). Для определения условий возникновения этого явления, преобразуем уравнение (90,10), введя угол 8 между (с и осью к! тогда сяя„= сов сон О, с,й„= ото з(п О, пт = Гоо( 1 + — 'соз 81, (90,14) аэз = Сз (К + йд) (ато — частота звука в системе координат, движущейся вместе с газом за ударной волной), и получаем квадратное относительно сон О уравнение: вз у 4 е~ 1 з 2оз 1 8+ (вт(сз) — ! — + — — 1~ соз' 9+ — ~ — 11с058+ с,' ~1+8 сз 1+а ч -~ — ~ — — г! ч- ",'ч — с.
(90,16) + ~ 4/ Скорость распространения звуковой волны в движущемся со скоростью оз газе, по отношению к неподвижной поверхности ') Отметим, что при выводе (90,12 — !3) используется только обязательное условие (88,1), но не используется неравенство рз ) рь Поэтому эти условия неустойчивости относятся и к ударным волнам разрежения, которые могли бы существовать при (д'(г/др'), ( О, ') Сравните с аналогичной ситуацией для тангенцнальных разрывов— аадача 2 5 84. ф ва! ГОФРИРОВОЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНЫХ РОЛН 476- нддннын волны )гл. 1х 476 разрыва, есть па+ сасоз О. Звуковая волна будет уходяшей, если эта сумма положительна, т. е.
если — оз/се < созО < 1 (90,16) (значения сон О (0 отвечают случаям, когда вектор (с направлен в сторону разрыва, ио снос звуковой волны движущимся газом делает ее все же «уходящей»). Спонтанное излучение звука ударной волной возникает, если уравнение (90,15) имеет корень, лежащий в этих пределах. Простое исследование приводиг к следующим неравенствам, определяющим область этой неустойчивости '): 1 — оь сз — о~от)'сз ., Луа оа ,- < 14 — < 1 + 2 — (90,17) 1 — о2) С2+ оР2) сз ирз сз (нижний и верхний пределы здесь фактически отвечают нижнему и верхнему пределам в условиях (90,16)). Область (90,17) примыкает к области неустойчивости (90,13), расширяя ее.
К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90,17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает. В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
