Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны.
Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Решение этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений, — как раз тот, приравниваиие которого нулю дает дисперсионпое уравнение спонтанных возмущений (90,10). Тот факт, что в области (90,17) это уравнение имеет вещественные корни для соз 9, означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая фор- .
') Эта неустойчивость тоже была указана С. П. Льякозым (1954); правильное значение нижней границы в (90,17) найдено В. М. йонтороаичем (195?). й эе1 ТОФРиРОВОчндя неустОйчиВОсть ударных ВОлн 477 мулировка возможности спонтанного излучения звука, т. е. излучения без падающей извне звуковой волны, То же самое относится и к коэффициенту прохождения звука, падающего иа поверхность разрыва спереди, навстречу ей. В этом случае не существует отраженной волны, а позади по» верхности разрыва возникают прошедшие звуковая и энтропийио-вихревая волны.
В области (90,17) возможно обращение коэффициента прохождения в бесконечность '). Скажем несколько слов о некоторых возможных, в принципе, типах ударных адиабат, содержащих области рассмотренных неустойчивостей '). Условие (90,!2) требует отрицательной производной с(рз/с(из, причем ударная адиабата должна быть наклонена (к оси абсцисс) в точке 2 менее круто, чем проведенная в нее хорда 12 (т. е. обратно тому, что имеет место в обычных случаях— рис. 53).
Для этого адиабата должна перегнуться, как показано на рис. 60; условие неустойчивости (90,!2) выполняется на участке аЬ, Рис. 60 Рис, 61 Условие (90,13) требует положительности производной 4(рз/и!Уз, причем наклон адиабаты должен быть достаточно мал. На рис, 60 это условие выполняется на определенных отрезках адиабаты, непосредственно примыкающих к точкам а и Ь и расширяющих, таким образом, область неустойчивости.
Условие (90,13) может оказаться выполненным и на участке (сс( на рис. 6! ) адиабаты, не содержащей участка типа аЬ. ') Вычисление коэффициентов отражения и прохождения звука на ударной волне при произвольных направлениях падения в произвольных средах— см. Дьяков С. П. — ЖЭТФ, 1957, т. ЗЗ, с. 948, 962; Конторович В. М.— ЖЭТФ, 1957, т.
ЗЗ, с. 1527; Акустический журнал, !959, т. 5, с. 314. 1) В политропном газе й — (с~/о~)т, в чем легко убедитьсн с помощью полученных в 4 89 формул. Ни одно нз условий (90,12 — !3) н (90,17) при этом заведомо не выполняется, так но ударная волна устойчива. Устойчивы, конечно, также и ударные волны слабой интенсивности в произвольной среде. уддрхые Волны (гл. !х 478 Условие (90,17) еще менее жестко, чем (90,13) и еще дополнительно расширяет область неустойчивости на адиабатах Гюгонио с !(Рз/!!)гз ) О.
Более того, нижний пРедел в (90,17) может быть отрицательным, так что неустойчивость этого типа может, в принципе, иметь место и в некоторых участках адиабат обычного вида, со всюду отрицательной производной с(рз/с()гз. Вопрос о судьбе гофрировочно-неустойчивых ударных волн тесно связан со,следующим замечательным обстоятельством: прн выполнении условий (90,12) нли (90,!3) решение ггдродинамических уравнений оказывается неоднозначным (С. 8. 6аЫьег, 1963). Для двух состояний среды, 1 и 2, связанньж друг с другом соотношениями (88,! — 3), ударная волна является обычно единственным решением задачи (одномерной) о течении, пере.- водящем среду из состояния 1 в 2.
Оказывается, что если в состоянии 2 выполнены условия (90,12) или (90,13), то решение указанной гидродинамической задачи не однозначно: переход из состояния 1 в 2 может быть осуществлен не только в ударной волне, но н через более сложную систему волн. Это второе решение (его можно назвать распадным) состоит пз ударной волны меньшей интенсивности, следующего за ней контактного разрыва и нз изэнтропической нестацнонарной волны разрежения (см. ниже 9 99), распространяющейся (относительно газа позади ударной волны) в противоположном направлении; в ударной волне энтропия увеличивается от з, до некоторого значения з, ( з,, а дальнейшее увеличение от зз до заданного зз происходит скачком в контактном разрыве (эта картина относится к типу, изображенному ниже на рнс. 78, б; предполагается выполненным неравенство (88,2))'). Вопрос о том, чсм определяется отбор одного из двух решений в конкретных гндподннамнческих задачах, не ясен.
Если отбирается распадное решение, то это означало бы, что неустойчивость ударной волны с самопроизвольным усилением поверхностной ряби вообще не осуществляется. По-видимому, однако, такой отбор не может быть связан именно с этой неустойчивостью, поскольку неоднозначность решения не ограничена условиями (90,12 — !3) з). Задачи 1.
На ударную волну падает сзади (со стороны сжатого газа) нормально к ней плоская звуковая волна. Определить козКзициеит отражения звука ') В статье багдлег С. 5. — Рьуз. Р!пыз, 1963, т. 6, р. 1366 зто показано для области (90,!31. Более обшее рассмотрение, включающее н область (90,191, дано Кузяецозыл (г'. М. — ЖЭТФ, 1985, т.
88, с. 470; там же рассмотрены ударные аднабаты с нарушением условия (д'У(др!)г ) О, когда рзспадные решения складываются нз других совокупностей воли. з) По-видимому, область неоднозначности простирается иа ударной аднабате несколько за пределы области неустойчивости, определяемой этими условиями.
См, об этом указанную выше статью Н. М. Кузнецова, 2 за! Гоч>РНРОВОчндя ннустОйчиВОсть уддрнъ<х ВОлн 479 Р е ш е н и е. Рассматриваем процесс в системе координат, в которой ударная волна покоится, а газ движется через нее в положительном направлении осн х; падающая звуковая волна распространяется в отрицательном направлении оси х. При нормальном падении (а потому и отражении) в отраженной знтропнйной волне скорость бч<>"» = О. Возмущение давления; бр бр»">+ бр">, где индекс (О) относится к падающей, а индекс (зв) — к отраженной звуковым волнам. Для скорости бо.
= ба имеем «(бр<за> б «<а>) с, (разность вместо суммы возникает ввиду противоположяых направлений распространения обоих волн). Второе из граничных условвй (90,7) имеет прежний внд (но в нем теперь бр = бр<в>+ бр<>в>+ 6)>»>"»)1 с учетом (908) и формулы (86,6) переписываем его как 6.- — ' " (б," > +6,<'). 21 Приравняв друг другу оба выражения ба, получим для искомого отношения амплитуд давлении в отраженной и падающей звуковых волнах: 1 — 2М вЂ” й (1) бр< > 1+2М,— й 2. На ударную волну падаег сперели, нормально к ней, плоская звуковая полна.
Определить коэффициент прохождения звука '). Р еще н не. Возмущение а газе ! перед ударной волной 2 бр, =бр, 6Р> =6(« — — брь да, — бр„ <О) <а> 1 1 с» с, а в газе 2 позади иее: 64" = бу<в ' + 6Р<вв >, ба, = — бр св бр»=бр (индексы (О), (зв), (знт) относятся к падающей звуковой и к прошедшим авуковой и энтропийным волнам). Возмущения брв и 6<«в связаны друг с другом соотиошениел», следующим нз уравнения ударной адиабаты: еслк последнее выражено в виде !'в = Ув(лы р», )>»), то ') Для политропного газа эта задача рассматривалась Д. И.
Блохин«е. вь>м (1945) и Бюргерсом (Б 64. Вигдегз, 1946), (где Мз = о»<св) Оно обращается в бесконечность на верхней границе области (90,17) Для политропного газа 7>= — М< з. При слабой интенсивности ударной волны (рв — р> ~ р») отношение (!) стремится к нулю как (рв — р>)', а в обратном случае большой интенсивности стремится к постоянному пределу бр ц~у — »/2(у: !) бр<Ш Ч<у + Ц<2 (1 — 1) [Гл 1Х УДАРНЫЕ ВОЛНЫ (индекс 11 у производных укааывает, что они берутся вдоль алиабаты Гюгоиио ')).
Граничное условие (00,7) заменяется теперь на ., — , 1 ьрт — ьр, ьУ, — ьУ, 1 2 Рт — Р1 У! — У, 1 — — — (ЬР— ЬР~ — 1' (ЬУз — Ь)',)]. 2~ Приравняв два выражения для Ьот — Ьзь получим для искомого отношения амплитуд в прошедшей и падающей звуковых волнах; ЬР1' 1 (1 + М~)т + Ч (2) ЬРО 1+2М вЂ” Ь где Ь имеет прежнее значение, а Для политропиаго газа т — 1 (м',— 1)' т+ 1 Мт1 н козффипиент прохождения При слабой интенсивности ударной волнь1 отсюдз получается мв~ у+1 Рт Р~ — ии 1+— ь ~О1 2у Р1 а в обратном случае большой интенсивности: ЬР(зз! 1 Рз ЬРЮ1 т+ «Й» (у — 1) Р1 В обоих случаях амплитуда давления в прошедшей звуковой волне возра.
стает по сравнению с давлением в падаюшей волне. й 91. Распространение ударной волны по трубе Рассмотрим распространение ударной волны по среде, заполняющей длинную трубку с переменным сечением. Наша цель состоит при атом в выяснении влияния, оказываемого изменением площади ударной волны на ее скорость (ст. В. %'ЬПлалт, 1958). Будем считать, что площадь 5(х) сечения трубки лишь медленно меняется вдоль ее длины (ось х) — мало на расстояниях Производная (дУз/дрз)з есть та, что мы обозначали выше просто как з(Узl Рз, подразумевая, что производная берется при постоянных Рь Уь ф м] РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ПО ТРУБЕ !в! порядка ширины трубки.
Это дает возможность применить приближение (его называют гидравли !есхим), которое уже было использовано в 3 77: можно считать все величины в потоке постоянными вдоль каждого поперечного сечения трубки, а скорость — направленной вдоль ее оси; другими словами, течение рассматривается как квазиодномерное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
