Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Такое течение описывается уравнениями до до ! др — + о — + — — =О, д! дх о дх — +о — — с ( — +о — )=О, др др з Г др др х д! дх А. д! дх ) 5 — + — (роЗ) = О. др д д! дх (91,1) (91,2) (91,3) где буквы без индекса обозначают постоянные значения величин в однородном потоке в однородной части трубки, а символ 6 обозначает изменение этих величин в трубке переменного сечения.
Умножив первое и третье из этих уравнений соответственно на рс и се и сложив затем все три уравнения, напишем следующую их комбинацию: [д! + (о+ с) дх~!бР+ Рсбо) = — — З дх (91,4) Первое из них †уравнен Эйлера, второе — уравнение адиаба- тичности, а третье — уравнение непрерывности, представленное в виде (77,!). Для выяснения интересуюшего нас вопроса достаточно рас- смотреть трубку, в которой изменение плошади Я(х) не только медленно, но и по абсолютной величине остается относительно малым на протяжении всей длины, Тогда будут малы и связан- ные с непостоянством сечения возмущения потока, и уравнения (91,1 — 3) могут быть линеаризоваиы.
Наконец, должны быть по- ставлены начальные условия, исключающие появление каких- либо посторонних возмущений, которые могли бы повлиять на движение ударной волны; нас интересуют только возмущения, связанные с изменением 5(х). Эта цель будет достигнута, если принять, что ударная волна первоначально движется с постоян- ной скоростью по трубе постоянного сечения, и площадь сечения начинает меняться только вправо от некоторой точки (которую примем за к = О). Линеаризованные уравнения (91,! — 3) имеют внд дбо дби ! дбр — +о — + — — =О, д! дх р дх дбр дбр з С дбр дбр Х вЂ” +о — „— с ~ — +о — )=О, д! дх ~ д! дх) дбр дбр дбо ро дбд — +о — +р — + — — =О, д! дх дх Я дх 4за хдхгные волны ~гл.
~х Общее решение этого уравнения дается суммой общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью. Первое есть г"(х — о( — с(), где с' — произвольная функция; оно описывает звуковые возмущения, приходящие слева. Но в однородной области, при х ( О, возмущений иет; поэтому надо положить г" — = О. Таким образом, решение сводится к интегралу неоднородного уравнения: рос' 68 бр+ рсбо =— о+с Я (91,5) Р М о~ — о, + с, Г 1+ 2о~/с, — а 1 3 Ьо1 о,с, 1. !+а гда снова введено обозначение 1 ~~Р2 Я н12 6=в Рз "Рз аРа (91,7) (91,8) Ударная волна движется слева направо со скоростью о1 с~ по неподвижной среде с заданными значениями рь Рь Движение же среды позади ударной волны (среда 2) определяется решением (91,5) во всей области трубки слева от точки, достигнутой разрывом к данному моменту времени.
После прохождения волны все величины в каждом сечении трубки остаются постоянными во времени, т. е. равными тем значениям, которые С)ни получили в момент прохождения разрыва: давление рь плотность Р, н скорость о~ — оз (в соответствии с принятыми в этой главе обозначениями, оз обозначает скорость газа относительно движущейся ударной волны; скорость же его относительно стенок трубки есть тогда о1 — оз).
В этих обозначениях (и снова выделив переменные части этих величин) равенство (91,5) запишем в виде — '., (Ьрз+ р,с,(бо, — Ьот1). (91,6) 8 ра(и~ — оз) сз Все величины боь бом бра можно выразить через одну из них, например, боь Для этого пишем варьированные соотношения (85,1 — 2) на разрыве (при заданных р, и Р,): Р Ьо~ = озЬРз+ Работ 2! (Ьо, — бо,) = ЬР, + озбра (где 1'= Р,о1= Рзоз — невозмУщенное значение потока); к ним надо еще присоедннить соотношение ЬРз = и ЬРз А» ИР где производная берется вдоль адиабаты Гюгонио. Вычисление приводит к следующему окончательному соотношению, связывающему изменение бо, скорости ударной волны относительно неподвижного газа перед ней, с изменением ЬЯ площади сечения т убки: КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА $ зз) Коэффициент при квадратной скобке в (91,7) положителен.
Поэтому знак отношения би1/63 определяется знаком выражения в этой скобке, Для всех устойчивых ударных волн этот знак положителен, так что бп1/63 ( О. Но при выполнении какого-либо из условий (90,12 — 13) гофрировочной неустойчивости выражение в скобках становится отрицательным, так что бп~/65 ) О. Этот результат дает возможность наглядного истолкования происхождения неустойчивости.
На рис. 62 изображена «гофрированная» поверхность ударной волны, перемещающаяся направо; стрелками схематически показано направление линий тока. При перемещении ударной волны на выдавшихся вперед участках поверхности плошадь 65 растет, а на отставших участках — уменьшается. При бог/63 = 0 это приводит к замедлению выступивших участков и ускорению отставших, так что поверхность стре- рнс. 62 мится сгладиться. Напротив, при бпг/63 ) 0 возмущение формы поверхности будет усиливаться: выступающие участки будут уходить все дальше, а отставшие — все более отставать 1). 9 92. Косая ударная волна Рассмотрим стационарную ударную волну, отказавшись при этом от подразумевавшегося везде выше выбора системы координат, в которой скорость газа направлена перпендикулярно к данному элементу поверхности волны.
Линии тока могут пересекать поверхность такой ударной волны наклонно, причем пересечение сопровождается преломлением линий тока. Касательная составляющая скорости газа не меняется при прохождении через ударную волну, а нормальная составляющая согласно (87,4) падает: ОГГ = ОЫ ОГа ) Оан Поэтому ясно, что при прохождении через ударную волну линии тока приближаются к ней (как это показано на рис. 63). Таким образом, преломление линий тока на ударной волне происходит всегда в определенном направлении.
Выберем направление скорости нг газа перед ударной волной в качестве оси х, и пусть гр — угол между поверхностью разрыва и осью х (рис. 63). Возможные значения угла гр ограничены лишь условием, чтобы нормальная составляющая скорости н, ') Выражение (91,7) для произвольной (не политропной) среды и его связь с условиями гофраровочной неустойчивости ударных воли указаны С.
Г. Сугаяом и В. Е. Фартовым, А. гу. Ни (1981). 1гл. 1х удАРные Волны превышала скорость звука сь Поскольку —— о з!и «р, то отсюда следует, что ф может иметь произвольные значения в интервале между ««/2 н углом Маха а!1 а, «ф < я/2, з!п а, = с!/о! =— 1/Мь Движение позади ударной волны может быть как до-, так и сверхзвуковым (меньше скорости звука сз должна быть лишь нормальная компонента скорости); движение же перед ударной волной — непременно сверхзвуко- У вое.
Если движение газа по обе стороны от ударной волны является сверхзвуковым, то все возмущения могут распространяться вдоль се поверхности лишь в ту сторону, куда направлена касательная к ней составляющая скорости газа. В этом смысле можно говорить о «направлении» ударной волны и различать по отношению к какому-либо месту «исходящие» из него и «прияодяРис. 63 щие» волны (подобно тому как мы это уже делали для характеристик, вокруг которых движение всегда является сверхзвуковым; см. 9 82).
Если же движение позади ударной волны является дозвуковым, то понятие о ее направлении теряет, строго говоря, смысл, так как возмущения могут раепространяться вдоль ее поверхности во все стороны. Выведем соотношение, связывающее друг с другом две компоненты скорости газа после его прохождения через косую ударную волну; при этом будем предполагать газ политропным.
Непрерывность касательной к волне составляющей скорости означает, что о« соз «р = ог» соь ф + о», з!и ф, или 18'ф = (92,1) Далее, воспользуемся формулой (89,6); в этой формуле о« и о» обозначают нормальные к плоскости ударной волны составляющие скорости и должны быть теперь заменены на о«з!п ф и о» з!и ф — о»«соз ф, так что имеем: Р!»»!пф О У«05,ф т 1 — — +, » (92,2) 2с, Р, ««пф у+1 (У+1)Р, А|п ф Из двух написанных соотношений можно исключить угол ф, После простых преобразований получим следующую формулу, КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА определяющую связь между оз и оз„(при заданных о, и с1): 2 с! '! „„( —.',)-— ! !Р1 отх) 2 (т 1 2к) с! ., —.2.+— у+! (92,3) Этой формуле можно придать более изящный вид, если ввести в нее критическую скорость. Согласно уравнению Бернулли и определению критической скорости имеем: 2 2 о! с! о, у + ! '+ 2 у †! + 2 2(у — 1) (ср.
задачу 1 $ 89), откуда с.= — о + — с-. у — ! 2 2 у+! ~ у+! 1' (92,4) Введя эту величину в (92,3), получим: 2 О1втх С ти ( 1 Хт) 2 — О! О Озх+ С у+! (92,5) Уравнение (92,5) называют уравнением ударной поляры (А. Визео)алп, 1931).
На рис. 64 изображен график этой зависимости; это есть кривая третьего порядка (так называемая " г" строфоида или декартов лист). Оиа пересекает ось абсцисс в с чв точках Р и ч! (рис. 64), соответ-,г. ствующих значениям ох, = с',/гт 2 и оз„= о, ). Проведя из начали с 1 Ф~ й координат луч (ОВ на рнс, 64) Х Озэ под углом Х к оси абсцисс по длине его отрезка до точки пересечения с кривой ударной поляры, мы определяем скорость Рис. 64 газа за скачком, поворачивающим поток на угол х.
Таких точек пересечения имеется две (А и В), т. е. заданному значению х отвечают две различные ударные волны. Направление ударной волны тоже может быть Однако точки этих ветвей не имеют физическо2о смысла: онн дали бы дли оьо изз значении, при которых оз.1оы ) ), что невозможно. ') От точки О, пвлиюшейси двойной точкой кривой, строфоида в действительности продолжается еще в виде двух уходящих к бесконечным (оз„( ветвей (не изображенных на рнс, б4) с обшей вертикальной асимптотой оз. с~/о! + 2о1/(у+ !) удавные волны !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
