Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 101
Текст из файла (страница 101)
1к кдлпныа волны степенями свободы молекулы и т. п. (Я. Б. Зельдович, 1946) '). Пусть т — порядок величины времени релаксации. Как начальное, так н конечное состояния газа должны быть полностью равновесными; поэтому прежде всего ясно, что полная ширина ударной волны будет порядка величины тпг — расстояния, прохо- димого газом в течение времени А т. Кроме того, оказывается, что г если интенсивность волны пре\ вышает определенный предел, то структура волны усложняется, в 7 чем можно убедиться следующим образом. На рис.
61 сплошной линией г изображена ударная адиабата, проведенная через заданную начальную точку 1, в предположе! нии полной равновесности конечных состояний газа; наклон касательной к этой кривой в точРнс. 67 ке ! определяется «равновесной» скоростью звука, которую мы обозначали в $ 81 посредством гм Пунктиром же изображена ударная адиабата, проведенная через ту же точку 1, в предположении, что релаксацнонные процессы «заморожены» и не происходят вовсе; наклон касательной к этой кривой в точке 1 определяется значением скорости звука, которое было обозначено в $81 как с .
Если скорость ударной волны такова, что со ( о, ( с, то хорда 12 расположена так, кзк указано на рис. 67 нижним отрезком. В этом случае мы получим простое расширение ударной волны, причем все промежуточные состояния между начальным состоянием 1 и конечным 2 изображаются в плоскости р, 17 точками на отрезке 12. Это следует из того, что (при пренебрежении обычными вязкостью и теплопроводностью) все последовательно проходимые газом состояния удовлетворяют уравнениям сохранения вещества рп = ! = сопз1 и сохранения импульса р+ !Ч/ = сопя! (ср.
подробнее аналогичные соображения в 9 129). Если же пг .» с, то хорда занимает положение 11'2'. Все точки, лежащие на ее отрезке между точками 1 и 1', вообще не соответствуют каким-либо реальным состояниям газа; первой '1 Так, в двухатомпых газах при температурах позади ударной волны порядка 1000 — 6000 К медленным релаксациоииым процессом является возбуждение внутркмолекуляриых колебаний.
При более высоких температурах роль такого процесса переходит к термической диссоциации молекул иа составлякяцие их атомы. ИЗОТГсРМИЧПСКИИ СКАЧОК 49т тз Рис. 68 $95. Изотермический скачок Рассматривая в $93 строение ударной волны, мы по существу предполагали, что коэффициенты вязкости и температуропроводности — величины одного порядка, как это обычно и бывает, Возможен, однако, и случай, когда )( » и.
Именно, если температура вещества достаточно высока, то в теплопроводности будет участвовать добавочный механизм — лучистая теплопроводность, осуществляемая находящимся в равновесии с веществом тепловым излучением. На вязкости же (т. е. на переносе импульса) наличие излучения сказывается в несравненно меньшей степени, в результате чего т и может оказаться малым по сравнению с у. Мы увидим сейчас, что наличие такого неравенства приводнт к весьма существенному изменению структуры ударной волны. Пренебрегая членами, содержащими вязкость, напишем уравнения (93„2) и (93,3), определяющие структуру переходного слоя, в виде р+1 ( =р +1 тг и ат !'и' !зрт — = гн + — щ —— 10л 2 ' 2 (95,!) (95,2) ') Такой случай мог бы, в принципе, иметь место в диссоцннрующем многоатомном газе, если в равновесном состоянии за ударной волной достигается достаточно полная диссоциация его молекул на меньшие части.
Диссоциация увеличивает значение отношения теплоемкостей т, н тем самым уменьшает предельное сжатие в ударной волне, если только она уже настолько полна, что нагреванне газа не требует заметной затраты знергин па продолжение днссоциации. (после 1) реальной ~очкой является точка 1', отвечающая состоянию с вовсе несмещенным относительно состояния 1 релаксационным равновесием. Сжатие газа от состояния 1 до состояния 1' совершается скачком, вслед за чем уже происходит (на расстояниях — о~т) посте- 1 ! пенное сжатие до конечного состояния 2' Если равновесная и неравновесная ударные адиабаты пересекаются (рнс. 68), появляется возможность существования ударных волн еще одного типа: если скорость волны такова, что хорда 12 пересекает адиабаты выше точки их взаимного пересечения (как на рис.
68), то релаксация будет сопровождаться понижением давления — от значения, отвечающего точке 1' до значения, отвечающего точке 2 (С. П. Дьяков, 1954) '). [гл. ~х удавные волны 498 Правая сторона второго из этих уравнений обращается в нуль лишь на границе слоя. Поскольку температура позади ударной волны должна быть выше, чем впереди нее, то отсюда следует„ что на протяжении всей ширины переходного слоя и — >О, пх (95,3) т.
е, температура возрастает монотонно. Все величины в слое являются функцией одной переменной— координаты х, а потому и определенными функциями друг от друга. Продифференцировав соотношение (95,1) по к', получим: Производная (др/дТ)г у газов всегда положительна. Поэтому знак производной г(Т/67 определяется знаком суммы (др/дГ) г + +1'. В состоянии 1 имеем /' ) — (др~/дГ~), (так как п~ ) с,), а поскольку адиабатическая сжимаемость всегда меньше изотермической, то во всяком случае и Следовательно, на стороне 1 производная аг, — < О. Ы Ь'~ (95,4) (это неравенство отвечает достаточно большой интенсивности ударной волны — см.
ниже (95,7) ). Тогда в состоянии 2 будем иметь г(Т,/г(р„так что где-то между значениями р = ~', и Р'= Р, функция Т(Р) будет иметь максимум (рис. 69). Ясно, что переход от состояния 1 к состоянию 2 с непрерывным изменением $~ станет невозможным, так как при этом неизбежно нарушилось бы неравенство (95,3). В результате мы получим следующую картину перехода от начального состояния 1 к конечному состоянию 2. Сначала идет область, в которой происходят постепенное сжатие вещества от Если эта производная отрицательна и на всем протяжении ширины переходного слоя, то по мере сжатия вещества (уменьшения р) при переходе со стороны 1 на сторону 2 температура будет монотонно возрастать в согласии с неравенством (95,3).
Другими словами, мы будем иметь дело с ударной волной, сильно расширенной благодаря большой теплопроводности (расширение может оказаться столь большим, что самое представление об ударной волне станет условным), Другая ситуация возникает, если изотеРмическии скАчОк удельного объема Р1 до объема Г (значение У, при котором впервые становится Т(У')= Тм см. рис. 69); ширина этой области, определяюшаяся теплопроводностью, может быть весьма значительной. Сжатие же от Г до УА происходит затем скачком при постоянной (равной Тз) температуре.
Этот разрыв можно назвать изогерлшческил~ скачком. Определим изменения давления и плотности в изотермическом скачке, предполагая газ идеальным. Условие непрерывности потока импульса (95.1), примененное к обоим сторонам скачка, дает Р +1" =Рк+! кв Для термодинамически идеального газа пишем У= РгТ(1лр и, имея в виду, что Т'= Т,, получим: Ул. Р + =Рс+ ррт, рот, РР РРс Рнс. 69 Это квадратное уравнение для р' имеет (помимо тривиального .корня р' = рд) решение Выражаем /' согласно формуле (85,6): Р| Р1 р=у, у,ка 195,5) Р = з ((7+ 1) Р1+ (7 1) Рк).
(95,6) Поскольку должно быть рз ) р', то мы находим, что изотермический скачок возникает лишь при отношениях давлений рк и рь удовлетворяюших условию (95,7) Р~ 3 — т' (Яау1е18Ь, 1910). Это условие можно, конечно, получить и непосредственно из (95,4). Поскольку при данной температуре плотность газа пропорциональна давлению, то отношение плотностей в изотермическом скачке равно отношению давлений: (95,8) Рс У Рс н стремится,при увеличении рз к значению (у — 1)/2.
после чего, подставив сюда Уз/)л~ из (89,1), получим для поли- тропного газа удАРные волны !гл. ~х' $96. Слабые разрывы Наряду с поверхностями разрывов, на которых испытывают скачок величины р, р, ч и т, п., могут существовать также и такие поверхности, на которых эти величины как функции координат обладают какими-либо особенностями, оставаясь сами непрерывными. Эти особенности могут быть самого разнообразного характера. Так, на поверхности разрыва могут испытывать. скачок первые производные по координатам от величин р, р, ч, ... нлн же эти производные могут обращаться в бесконечность. Наконеп, то же самое может иметь место для производных не первого, а более высоких порядков. Все такие поверхности мы будем называть поверхностями слабого разрыва в противоположность сильным разрывам (ударным волнам н тангенциальным разрывам), в которых испытывают скачок сами указанные величины.
Отметим, что ввиду непрерывности самих этих величин на поверхности слабого разрыва, непрерывны также и их тангенциальные производные; разрыв непрерывности испытывают лишь нормальные к поверхности производные. Легко убедиться простыми рассуждениями, что поверхности слабого разрыва распространяются относительно газа (по обе стороны поверхности) со скоростью, равной скорости звука. Действительно, поскольку функции р, р, ч, ... сами не испытывают скачка, то их можно сгладить, заменив функциями, совпадающими с ними везде, кроме окрестности поверхности разрыва, а в этой окрестности отличающимися лишь на сколь угодно малые величины, но так, что сглаженные функции не имеют уже никаких особенностей.
Истинное распределение, снажем, давления, можно, таким образом, представить в виде наложения совершенно плавного распределения рз без всяких особенностей и очень малого нарушения р' этого распределения вблизи поверхности разрыва. Последнее же, как н всякое малое возмущение, распространяется относительно газа со скоростью звука. Подчеркнем, что в случае ударной волны сглаженные функции отличались бы от истинных на величины, вообще говоря, отнюдь не малые, и предыдущие рассуждения поэтому неприменимы. Однако если скачок величин в ударной волне достаточно мал, то эти рассуждения вновь делаются применимыми, н такие разрывы тоже должны распространяться со скоростью звука,— этот результат был уже получен в 5 86 другим способом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
