Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Таким образом, в общем случае плоской волны произвольной амплитуды не существует определенной постоянной скорости волны. Благодаря различию в скоростях точек профиля волны последний не остается неизменным и меняет со временем свою форму. Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х; для нее и = о+ с. В э 99 была вычислена производная от о+ с по плотности (см. (99,10)). Мы видели, что гги/г(р ) О. Таким образом, скорость распространения заданной точ- р /в ки профиля волны тем больше, чем больше плотность. Если обозначить посредством св скорость звука для х плотности, равной равновесной плотности ро, то в местах, где имеется сжатие, р ) р, и с ) с,; в точках разрежения, напротив, р ( ро и с < сс.
и Неодинаковость скорости перемещения точек профиля приводит к в) изменению его формы со временем: точки сжатия выдвигаются вперед, / / а точки разрежения оказываются отставшими (рис. 80, б). В конце / концов профиль волны может па- в) столько выгнуться, что кривая р(х) (при заданном 1) оказывается неод- рнс. 80 нозначной — некоторым х соответствует по трн различных значения р (рис. 80, в, пунктирная линия)'). Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неоднозначности р возникают разрывы, в результате чего р оказывается везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функцией. Профиль волны приобретает при этом вид, изображенный на рис.
80,в сплошной линией. Поверхности разрыва возникают, таким образом, на протяжении каждой длины волны. После возникновения разрывов волна перестает быть простой. Наглядная причина этого заключается в том, что при наличии поверхностей разрыва происходит отражение волны от ') 0 такой деформация профиля волны часто говорят нан о его омроки- дывамии. езо ОЛИОМЕРИОЕ ЛВИЖЕИИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !ГЛ Х ) =0» (о~э ) (!О),!2) этих поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места.
Наличие разрывов (ударных волн) приводит, как было указано в $ 85, к диссипации энергии. Поэтому возникновение разрывов приводит к сильному затуханию волны. Наличие такого затухания видно уже непосредственно из рис. 80. При возникновении разрыва как бы отсекается наиболее высокая частьпрофиля волны. С течением времени, по мере продолжающегося выгибания профиля, его вышина все более уменьшается. Происходит сглаживание профиля с уменьшением его амплитуды, что и означает постепенное затухание волны.
Из сказанного выше ясно, что образование в конце концов разрывов должно произойти во всякой простой волне, в которой имеются участки, на которых плотность убывает в направлении распространения волны. Единственный случай, когда разрывы вообще не образуются, — волна, в которой плотность монотонно возрастает в направлении распространения на всем ее протяжении (такова, например, волна, возникающая при выдиигании поршня из заполненной газом бесконечной трубы; см.
задачи к этому параграфу). Хотя после образования разрыва волна и перестает быть простой, но самые момент н место образования разрыва могут быть определены аналитически. Мы видели, что с математической точки зрения возникновение разрывов связано с тем, что в простой волне величины р, р, о как функции х (при заданном Г) становятся многозначными для моментов времени, превышающих некоторое определенное значение Г„между тем как при ! ( гл эти функции однозначны. Момент !л есть момент образования разрыва. Уже из чисто геометрических соображений ясно, что в самый момент (л кривая зависимости, скажем, о от х, должна сделаться в некоторой точке х = хл вертикальной — как раз в той точке, вблизи которой функция стала бы затем многозначной. Аналитически это означает обращение производной (до/дх)~ в бесконечность, т.
е. производной (дх/до)~ в нуль. Ясно также, что в момент !л кривая о = о(х) должна лежать по обе стороны от вертикальной касательной, в противном случае зависимость о(х) была бы многозначной уже и в этот момент времени. Другими словами, точка х =хл должна быть не точкой экстремума функции х(о), а точкой перегиба, и слеловательно, должна обратиться в нуль также и вторая производная (д'х/до')». Таким образом, место и момент образования уларной волны определяются совместным решением двух уравнений: одномкиныи вегащии волны й ю~1 Для политропного газа эти уравнения гласят: 1= — „+, )'(о), га (о) = О, (101,18) где ае — значение при о = 0 величины а, определяемой формулой (102,2).
Для политропного газа 2!'(О) Е= — + (101,15) Задачи 1. Газ находится в цилиидрической трубе, пеоораничеияой с одиой стооиы (х ) 0) и закрытой поршнем с другой (х = О!. В момент времени = 0 поршень иачияает двигаться равиоускореиио со скоростью У = ~а1. Определить возиикаюшее движение газа (считая газ политроппым).
Решеине Если поршень выдвигается из трубы (У= — а1), то возни. каст простая волна разрежеиия, передний фронт которой распространяется вправо по иеподвижиому газу со скоростью со, в области х ) с,( газ иеподвижеи. На поверхиости паршив скорость газа должиа совпадать со скоростью поршня, т.е, должио быть с = — а1 при х = -а(о/2, 1) О. Это условие дает для фуикцяи !(е) в (101,8): тан ! ( — аг! = — сот + —. 2 Поэтому имеем; х — (со + — с( 1 = ! (о) — с + — с', т+1 Ч с, у ( а 2а откуда 1! га — и — 1чсо+ а() — — ~ охсо+ — аг) — 2ат (со( — х)1 . (1) Нта формула определяет измеиеиие скорости в области от поршня до передисго фронта волны х = со1 (рпг. О(„а) в течение времеви от 1 0 до где !(0) — функция, входящая в общее решение (101,8).
Эти условия должны быть видоизменены, если простая волна граничит с неподвижным газом и ударная волна возникает как раз на этой границе. И здесь в момент возникновения разрыва кривая о = о(х) должна стать вертикальной, т. е. производная (дх/до) г должна обратиться в нуль. Обращение же в нуль второй производной не обязательно; вторым условием здесь является просто равенство нулю скорости на границе с неподвижным газом, так что имеем условие а)Л,=О Из этого условия время и место образования разрыва могут быть найдены в явном виде.
Дифференцируя выражение (!01,5), получим: 1= — 1„('), .=~ .(+ ~(О), (!01,14) одномерное движения сжимаемого глзл !гл. х Б32 2со а(у+ 1) се 2. То же при произвольном законе движения поршня. Решение. Пусть поршень в момент 1 0 начинает двигаться по за. кону х = Х(1) (причем Х(0) 0); его скорость (/ = Х'(1). Граничное условие иа поршне (с = (/ прн х = Х) дает а(2 г Рис. 81 о Х'(1), /(о) Х (1) — /~с + У х 1 Х'(1)1. Если рассматривать теперь ! как параметр, то эти два уравнения определяют в параметрическом аиде функцию /(о). Обозначая ниже этот параметр посредством т, можем написать окончательное решение в виде в Х' (т).
х Х (т) + (1 — т)~аз+ — Х (т)~, 2+1 (2) чем н определяется в параметрическом виде искомая функция э(1, х) в возникающей при движении поршня простой волне. 3. Определить время и место образования ударной волны при движении поршня по закону У = а!", л ~ О. Решение. Если а ( О, т.е. поршень выдвигается из трубы, то возникает простая волна разрежения, в которой ударные волны вообще яе образуются. Ниже предполагается а ~ О, т.
е, поршень вдвигается в трубу, создавая простую волну сжатия. При параметрическом задании функции о(х,1) формулами (2) с Х вЂ” т "+2, л+1 момент и место образования ударной волин определяются уравнениями: ( ) — ) — с, + /к ал — — [у — 1 + л (у+ 1)) = О, дх т у+ ! ат" дт )2 2 2 1')= — ) =/т ал(л — 1) — — — г [у — 1+а(у+1)) О, д~х2 л 3 2+1 ал з бтг )2 2 2 (3) 1 = 2со/(у — 1)а. Скорость газа направлена везде влево, в сторону движения поршня, н монотонно убывает по абсолютной величине в положительном направлении оси х; в этом же направлении монотонно возрастают плотиость и давление. При ! ~ 2со/(у — !)а для скорости поршня ие выполняется неравенство (101,10), а потому газ ие может двигаться вместе с иим, Между поршнем и газом возникнет область вакуума, а дальше скорость газа будет меняться по формуле (1) от зиачеяия а) .
— 2со/(у — 1) до нуля. Если поршень вдвигается в трубу ((/ = а1), то возникает простая волна сжатия; соответствующее решение по- а 2 С,з м лучается просто изменением знака у а в формуле (!) (рис, 81,6). Оно применимо, однако, лишь до момента образования ударной волны! этот момент определяется по формуле (101,13) н б) равен одномпрноп двнжнннп сжнмянмого гязл 1гл.
к нли, ввиду малости амплитуды колебаний. т яа й + — Х (ф), о (т) вг У (й) + — Х ($) 1 1 аУ (к) сз с, ай Усредняя последнее выражение, пишем йу 1 т(ху) со 4(6 са г($ сз и поскольку среднее значение от полной производной обращается в ноль, окончательно; о — Уз(сь (6) С той же точностью средняя по времени плотность потока вещества: Ро Рс=Рой+Р'о=Рой+ оз сз Используя (6) и равенство (в том же приближении) оз = 17', находим, что Ро = 0; так н должно быть (в силу закона сохранения вещества) в чисто одномерном случае, когда вот подтекаиия вещества «сбоку», Для средней плотности потока энергии имеем: д=рюо = ю,ро+ Р,ю'о Р'с Р,с,о' (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
