Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Это значит, что для каждой точки профиля о будет не постоянной (как для плоской волны), а будет убывать как г-ы». Если о1 есть значение о (для заданной точки профиля) на расстоянии (большом) гь то можно написать о = о~(г1/г)'~~. Таким образом, для скорости и точек профиля волны будем иметь /г| и=с+ао, ~/ †. ''1/ ° ' (102,7) Первый член представляет собой обычную скорость звука и соответствует перемещению волны «без изменения формы профиля» (отвлекаясь от общего уменьшения амплитуды как г-'~А, т. е. понимая под профилем распределение величины о ~/г).
Второй же член приводит к искажению профиля. Величина бг этого дополнительного смещения точек профиля в течение времени (г — г1)/с получится интегрированием по дг/с: бг = 2а — ' ~/г ~ ( 1/г — ~/г,). (! 02,8) Искажение профиля цилиндрической волны растет медленнее, чем у плоской волны (где смещение бх растет пропорционально самому проходимому расстоянию х). Но и здесь оно, разумеется, приводит в конце концов к образованию разрывов. Рассмотрим ударные волны, образующиеся в достаточно далеко удалившемся от источника (оси) одиночном цилиндрическом звуковом импульсе. Цилиндрический случай существенно отличается от плоского прежде всего тем, что одиночный импульс не может состоять из одного только сжатия или только разрежения; если за передним фронтом звукового импульса имеется область сжатия, то за ней ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ~ГЛ.
Х должна следовать область расширения (см. $ 71)'). Точка максимального разрежения будет отставать от всех расположенных сзади нее, в результате чего и здесь возникнет опрокидывание профиля и появится разрыв. Таким образом, в цилиндрическом звуковом импульсе образуются две ударные волны. В переднем разрыве скорость скачком возрастает от нуля, затем следует область постепенного уменьшения сжатия, сменяющегося разрежением, после чего давление вновь возрастает скачком во втором разрыве.
Но цилиндрический звуковой импульс специфичен (по сравнению как с плоским, так и сферическим случаями) еще и в там отношении, что он не сможет ~/гто иметь заднего фронта — стремление о к нулю происходит лишь асимптотич/гдо чески. Это приводит к тому, что в заднем разрыве о возрастает не до нуля, а лишь до некоторого конечного (отрицательного) значения, и лишь затем Рис. 84 асимптотически стремится к нулю.
В результате возникает профиль изображенного на рис. 84 вида. Предельный закон, по которому будет происходить окончательное затухание ударных волн со временем (илн, что то же, с расстоянием г от оси), можно найти аналогично тому, как это было сделано выше для плоского случая. Из приведенного там вывода видно, что предельный закон отвечает времени, когда смещение бг верхней точки профиля становится уже большим по сравнению с «первоначальной» шириной импульса 11 (под которой будем понимать, например, расстояние от переднего разрыва до точки с о = О). Это смещение на пути от г, до г « г~ есть 2« 'Ьг = — (Ло), ~'г,г, где (Ьо)1 «первоначальный» (на расстоянии г|) скачок на переднем разрыве.
Тогда «конечный» тангенс угла наклона линейной части профиля между разрывами будет = Огг1(бо),/Ьг ~ .ж с/2а т/г. Условие постоянства плошади профиля дает 11 «/г1 (Ло), =/зс/а х/г, откуда 1~ гнм (вместо закона 1оохм' в плоском случае). Предельный закон убывания скачка Ло в переднем разрыве получается затем из 1 у7/то = сопз1, т, е. до -з!я (102,9) 1) Мы будем иметь в виду именно такое расположение. Оно отвечает, в частности, применению излагаемых результатов к ударным волнам, вознииаюпсим при сверхзвуковом движении конечного тела (4 !22), ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОИ ВОЛНЕ 541 $1021 Наконец, рассмотрим сферический случай ').
Общее убывание амплитуды расходящейся звуковой волны происходит как 1/и (где и — теперь расстояние от центра). Повторяя все изложен- ные выше для цилиндрического случая рассуждения, получим для скорости перемещения точек профиля волны аи,г, и=с+ —, Г (102,!О) после чего найдем смещение бг точки профиля на пути от г, до г: бг= — '' !п —. (102,!1) С Г1 I 1 1 Аг!п —. Ло, ! ) (102, 12) где а — некоторая постоянная размерности длины®). Задачи 1. В начальный момент профиль волны состоит из неограннчеаиого ряда зубцов, изображенных на рнс. йбч). Определить изменение профили н знергии волны со временем.
Решение. Заранее очевидно, что в последующие моменты времени г профиль волны будет состоить из зубцов такого же вида, с той же длиной 1„ но меньшей высотой сь Рассмотрим один из зубцов: в момент 1 = О абсцисса ') Речь может, например, идти об ударной волне, возникающей прн взрыве, н рассматриваемой на болыпих расстояниях от источника. з) Поскольку фактически в газе всегда имеет место обычное поглощение звука, связанное с теплопроводностью и вязкостью, то ввиду медленности искажении сферической волны она может поглотитьсн прежде, чем успеют образоваться разрывм. ') Эта цостонннан не совпадает, вообще говоря, с гь Дело в том, что аргумент логарифма должен быгь безразмерным н потому прн г ~ г, нельзя просто пренебречь !и г~ и (102,11).
Определение же коэффициента прн г в большом логарифме требует более точного учета первоначальной формы профили. ') Такой профиль — асимптотическан форма профиля любой периодической волны. Мы видим, что искажение профиля сферической волны растет с расстоянием лишь логарифмически — гораздо медленнее, чем в плоском и даже цилиндрическом случаях. Сферическое распространение звукового импульса сжатия должно сопровождаться, как и в цилиндрическом случае, следующим за сжатием разрежением (см. 5 70). Поэтому и здесь должны образоваться два разрыва (сферический одиночный импульс может, однако, иметь задний фронт и тогда во втором разрыве п возрастает скачком сразу до нуля)' ).
Тем же способом найдем предельные законы возрастания длины импульса н убывания интенсивности ударной волны: одномерное движение сжимлпмого глзл !гл. х ог = о!/(1 + ао,//!,). Прн !-+ ео амплитуда волны за~ухает как 1/!. Для энергии находим Е = Ее (1 + ао1!/!~ ) точки профиля с и = о~ отсекает часть иА/о, от основания треугольника В течение же времени ! эта точка выдвигается вперед на расстояние ион Условие неизменности длины основания треугольника дает йо~/о, +Ыо~ !, откуда она затухает при !- со как !-'.
2. Определить интенсивность втоРис. 85 рой гармоники, возникающей в моно. хроматической сферической волне благодаря искажению ее профиля. Р е щ е и и е. Написав волну в виде ги = А соз(йг — ю!), мы можем учесть искажение в первом приближении, прибавив бг к г в правой стороне равенства н разлагая по степеним бг. Это дает с помощью (!02,11): ай г ги А соз (йг — ю!) — — А' !и — з!и 2 (Ггг — и!) 2с г~ (под г, надо понимать здесь расстояние, на котором волну можно еще рас- сматривать с достаточной точностью как строго монохроматнческую).
Второй член в этой формуле определяет вторую гармонику спектрального разложения волны. Ее полная (средняя по времени) интенсивность /, равна г| где Д = 2псрАг есть интенсивность основной, первой, гармоники. 5 103. Характеристики Данное в $82 определение характеристик как линий, вдоль которых распространяются (в приближении геометрической акустики) малые возмущения, имеет общее значение, и не ограничено применением к плоскому стационарному сверхзвуковому течению, о котором шла речь в $82. Для одномерного нестационарного движения можно ввести характеристики как линии в плоскости х, 1, угловой коэффициент которых и!х/Н/ равен скорости распространения малых возмущений относительно неподвижной системы координат.
Возмущения, распространяющиеся относительно газа со скоростью звука в положительном или отрицательном направлении оси х, перемещаются относительно неподвижной системы со скоростью о + с или о — с. Соответственно дифференциальные уравнения двух семейств характеристик, которые мы будем условно называть характеристиками Се и С, гласят: ( †) = о + с, ( †„ ) = о — с. (103,1) Возмущении же, переносящнеся вместе с веществом газа, «распространяются» в плоскости х, / по характеристикам третьего 343 ХАРАКТЕРИСТИКИ 4 103) семейства Со, для которых (! 03,2) Это — просто «линии тока» в плоскости х, 1 (ср.
конец й 82)'). Подчеркнем, что для существования характеристик здесь отнюдь не требуется, чтобы движение газа было сверхзвуковым. Выражаемая характеристиками направленность распространения возмущений соответствует здесь просто причинной связи движения в последующие моменты времени с предыдущим движением. В качестве примера рассмотрим характеристики простой волны.
Для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, имеем согласно (101,5) х = г(п+ с)+ 1(п). Дифференцируя это соотношение, имеем: с(х = (и + с)с(г + г)и[( + гс'(и) + ~'(п)). С другой стороны, вдоль характеристики С+ имеем г(х =(и+ -1- с)Ж; сравнивая оба равенства, найдем, что вдоль характеристики г(п(1 + гс'(и)+ 1'(п) ) = О. Выражение в квадратных скобках не может быть равно нулю тождественно, Поэтому должно быть с(р =О, т. е.
и =сопз1. Таким образом, мы приходим к выводу, что вдоль каждой из характеристик Сч. остается постоянной скорость, а с нею и все остальные величины (в волне, распространяющейся влево, таким же свойством обладают характеристики С ). Мы увидим в следующем параграфе, что это обстоятельство не случайно, а органически связано с математической природой простых волн. Из этого свойства характеристик С+ простой волны можно в свою очередь заключить, что они представляют собой семейство прямых линий в плоскости х, г; скорость имеет постоянные значения вдоль прямых к=а[о+с(п))+)(о) (101,5). В частности, в автомодельиой волне разрежения (простая волна с 1(п)=0) эти прямые образуют пучок с общей точкой пересечения — началом координат плоскости х, й Ввиду этого свойства автомодельную простую волну называют г4ентриронанной. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
