Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Таким образом,мы приходим к результату, что Хл+о(га и ) = д,. Хл(но~ и) = д !!л ( ю ~/ 2 ! з О ! ° (105,7) Но это есть обычное волновое уравнение, общее решение которого есть: Хо = го(и+ и)+ /о(и — О), где (о, /о — произвольные функции. Таким образом, Хо = 1! ( т/2 и~ + и) + /о ( т/2!а — о). ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !гл. х Применяя эту формулу л раз к функции )(о (105,6), получаем искомое общее решение уравнения (105,5): )( = д к ((! ( ~/'2 (2п + 1) гв + о) + )т (.~/2 (2п + 1) гв — и)), или д" ' ~ Р~ (Ч/2(2л+ 1) в+ о)+ Р,(.у~2(2п+ 1) пг — о) ~ а "-'1 зуш где Р!, Га — снова две произвольные функции.
Если ввести вместо гн скорость звука согласно с 2п+1 га = — = с, у — 1 2 то решение (105,8) примет внд )(=( — ) ( — Р! (с+ ~ — — ) + — Ра (с — ) ~. (105 9) Выражения с~ 2л+1 2 =с~ — о, стоящие в качестве аргумента в произвольных функциях, представляют собой не что иное, как инварианты Римана (104,3), постоянные на характеристиках. В применениях часто возникает необходимость в вычислении значений функции )((о, с) на характеристике. Для этой цели служит следующая формула '): ( — ) ~ — Р(с~ )~ — „, — „, „, (105,10) ~) Проще всего эту формулу можно нынестн с помощью теорнн функцнй комплексного переменного, используя теорему Кошн.
Для пронэвольной функцмн Р(с+ и) имеем: д '1" ' Р !с + и) ( — )' с до)! с к — ! l д Х Р(с+и) ! (о — 1)1 Х Р(.~/а -! и) 2к— — о'а, с 2пг .~6 (а — сг1э где интеграл берется в плоскости комплексного переменного а по контуру охватывающему точку а = с'. Положив теперь к с+ а н произведя а ннтеграле подстановку ВГа = 2Ь вЂ” с, получим: 1 („ 1)! ,(, Р (2й + а) 2" 1 йпг Т Ь (ь — с) где теперь контур нптегрнровання по й охватывает точку 1 с; снова прнменяя теорему Кошн, находим, что этот интеграл совпадает с напясакным в тексте выражением. 00З пгоизвольноя одномвеноя движения 5 !051 при О ~э„+( =с+ и (а — произвольная постоянная). Выясним теперь, в каком взаимоотношении с найденным здесь общим решением газодинамических уравнений находится решение, описывающее простую волну.
Последнее отличается тем свойством, что в нем о и и являются определенной функцией друг от друга, п = п(и), и поэтому обращается тождественно я нуль якобиан д(0, И) д(х, В Между тем при преобразовании к переменным п, ш нам пришлось разделить уравнение движения на этот якобиан, в результате чего решение, для которого Л = О, оказалось потерянным. Таким образом, простая волна не содержится непосредственно в общем интеграле уравнений движения, а является их особым интегралом. Для понимания природы этого особого интеграла существенно, однако, что он может быть получен из общего интеграла путем своеобразного предельного перехода, тесно связанного с физическим смыслом характеристик как линий распространения малых возмущений.
Представим себе, что область плоскости и, п0, в которой функция Х(о, ш) отлична от нуля, стягивается к очень узкой в (пределе в к бесконечно узкой) полосе вдоль одной из характеристик. Производные от у в поперечных к характеристике направлениях пробегают при этом значения в очень широком (в пределе — бесконечном) интервале, поскольку Х очень быстро убывает в этих направлениях.
Такого рода решения Х(п, ш) уравнений движения заведомо должны существовать. Действгтельно, рассматриваемые как «возмущение» в плоскости п, и они удовлетворяют условиям геометрической акустики и, как должно быть для таких возмущений, расположены вдоль характеристики. Из сказанного ясно, что при такой функции у время ( = = дх/дш будет пробегать сколь угодно большой интервал значений, Производная же от Х вдоль характеристики будет некоторой конечной величиной. Но вдоль характеристики (например, одной из характеристик Г ) имеем: Поэтому производная от у по и вдоль характеристики (обозна. чим ее как — ((и) ) есть дХ дХ+ дХ дм дХ ( дХ ди д» дв д0 д0 дм ОДНОМЕРНОЕ ДВНЖЕНИЕ СЖНМАЕМОГО ГАЗА ~гл.
х ввв Выражая частные производные от Х через х н 1 согласно (105,1), получим отсюда соотношение х =(о+ с)с+1(о), т. е. как раз уравнение (101,5) простой волны. Соотношение же (101,4), устанавлвиающее связь между о н с в простой волне, автоматически выполняется в силу постоянства з' вдоль характеристики Г . В $ 104 было показано, что если в некоторой части плоскости х, 1 решенне уравнений движения сводится к постоянному течению, то в граничащих с нею областях должна иметься простая волна. Поэтому движение, опнсываюшееся общим решением (105,8), может следовать за постоянным движением (в частности, за областью покоя), лишь через промежуточную стадию простой волны. Граница между простой волной н общим решением, как н всякая граница между областями двух аналитически различных решений, есть характеристика. При решении различных конкретных задач возникает необходимость в определении значения функции Х(ло, о) на этой граничной характеристике.
Условие сшивания простой волны с общим решением на граннчной характеристике получается подстановкой выражений (105,1) для х н Г в уравнение простой волны х=(о~с)1+ + /(о); это дает — ~ с — +1(о) =О, дх дх до дю Кроме того, в простой волне (н на граничной характеристике) имеем: др дю ~(о ==Ь вЂ” =~ —, рс с нлн ~с = ото/с(о. Подставив это в написанное условие, получим: откуда окончательно Х = — ~ 1 (о) с(о, (105,11) чем н определяется искомое граничное значение и. В частности, если простая волна центрнрована в начале координат, т. е. 1(о) — = О, то Х = сопв1; поскольку функция Х вообще определена лишь с точностью до адднтнвной постоянной, то в этом случае можно, не уменьшая общности, положить на граничной характернстнке у = О.
Задачи 1. Определить движение, возиияающее при отражении Пеитрнрованной иолам разрежения от твердой стенни. Решен не. Пусть волна разрежения возникает в момент Л = О в точке л = О и распростраияетси в положительном направлении оси л; она дойдет ПРОИЗВОЛЬНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ до стенки через промежуток времени ! = !/с», где ! — расстояние до стенки. На рис.
91 изображена диаграмма характеристик для процесса отражения волны В областях ! и !' газ неподвижен, в области 8 днижется с постоянной скоростью э — (г'). Область 2 есть падаюшая волна разрежения (е прямолинейными характеристиками С»), а 5 — отраженная волна (с прямолинейными характеристиками С ). Область 4 есть «область взаимодействия», в которой должно быть найлено решение; попадая в эту область, прямолинейные характеристики искризляются. Это решение вполне определяется граничными условиями на отрезках аЬ н ас. На аЬ (т. е. на стенке) должно быть и = 0 при ввиду (105,! ) имеем отсюда условие дх — = — ! при о=О. дз -Граница же лс с волной разрежения есть отрезок характеристики С ; поэтому на нем у — ! Ю с — — э с — — = сопз1, 2 2п+! Рис.
91 а поскольку в точке а имеем э О, с = сз, то сопз! сз. На этой границе должно быть )( = О, так что имеем условие о 0 при с — — с». 2а+ 1 Легко убедиться в тои, что функция нида (105,9), удовлетворяющая этим условиям, есть Х- — 'угу — '(-д;-) (-,' ~( — —,„",) -41 ~, (Н чем и определяется искомое решение. Уравнение характеристики ас есть (см. задачу $ !03) аз+! г Сс, ~йЬ+1) х — (2а+ 1) се!+ 2 (и+ 1) ( — з) ~!) Ее пересечение с харзктериствкой Ос к у+! 2(п -1- 1) — = с» — — (!=с,— и ! 2 2п+1 впределяет момент исчезиовенмя падающей волны: 1(2п+!)и ь се гс [(2п + !) сз — (!)" ~ На рис 91 предполагается, что (! ( 2с»/(у+ !); в противном случае характеристика Ос направлена в сторону отрицательных х (рнс.
92). Процесс ') Если волна разрежения возникает от поршня, который начинает вы- двигаться из трубы с постоянной скоростью, то (! есть скорость поршня. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА (ГЛ. Х взаимодействия падающей и отраженной волн длится при этом бесконечное (а ие конечное. как иа рис. 91) время. Функция (!) опнсынает такхсе и взаимодействие двух одинаковых кентрированиых волн разрежения, вышедших в момент времени ! = О из точек х 0 и я 2! н распростраияющнхсн навстречу друг другу, как это оче. видно из соображений симиетрни (рис.
93) '). 21 !'нс. 93 Рис. 92 2. Вывестн уравнение, аналогичное уравнению (105,3), для одномерного нзотермического движения идеального газа. Решен не. Дла изотермкческого движения в уравнении Бернулли вместо тепловой функции ш стоит величина = сг 1 — = сг )п р, 1йр зГйр 3 р где ег = (др/др)à — квадрат нзотермической скорости звука; у идеального т газа в изотермическои случае сг = сапы. Выбрав эту величину (вместо ю) в качестве независимой переменной, получим тем же способом, что н в тексте, для функции Х следующее линейное уравнение с постоянными коэффициентами; д'Х дХ дзх ег —,+ — — —, О.
др' др до' 2 106. Задача о сильном взрыве Рассмотрим распространение сферической ударной волны большой мощности, возникшей в результате сильного взрыва, т. е. мгновенного выделения в некотором небольшом объеме большого количества энергии (которую обозначим посредством Е); газ, в котором волна распространяется, будем считать политропным '). ') Излагаемое ниже решение этой задачи получено независимо Л. И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
