Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 116
Текст из файла (страница 116)
В этом приближении (называемом гидранлическим) жидкость можно рассматривать как «двухмерную» среду, обладающую в каждой точке определенной скоростью ни, кроме того, характеризующуюся в каждой точке значением величины Ь вЂ” толщины слоя. Соответствующие общие уравнения движения отличаются от уравнений, полученных в 9 12, лишь тем, что изменения величин при движении не должны предполагаться малыми, как это делалось в 9 12 при изучении длинных гравитационных волн малой амплитуды; в связи с этим в уравнении Эйлера должны быть сохранены члены второго порядка по скорости. В частности, для одномерного движения жидкости в канале, зависящего только от одной координаты х (и времени), эти уравнения имеют внд дй д (ий) ди ди дй — + — = О, — + и — = — я — (108,1) д( дх ' д( дх дх (глубина й предполагается здесь постоянной вдоль ширины канала).
Длинные гравитационные волны представляют собой, с общей точки зрения, малые возмущения движения рассматриваемой си. стемы. Результаты 9 12 показывают, что такие возмущения рас- ') другой пример автомодельного движения такого рода представляет задача о распространении ударной волны, создаваемой в результате короткого сильного удара по полупространству, заполненному газом (Зельдович Я. Б.
— Акустнч, журнал, 1966, т. 2, с. 29). Изложение этой задачи мож. ио найти также в указанной на стр. 461 книге Я. Б. Зельдовича н Ю. П. Робвера (гл. ХИ) и в кинге Боренблогто Г. Я. Подобие, автомодельиость, промежуточная асимптотика. — Мл Гидрометеоиздат, 1982, сл. 4. вто ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА !гл. х пространяются относительно жидкости с конечной скоростью, равной то уравнения (!08;!) примут вид дй д да ди 1 дй д! дк ' д! дх й дк ' — + — ор= 0, — + о —.= — = —, (!08,4) формально совпадающий с видом уравнений адиабатического течения политропного газа с у = 2(р р'). Это обстоятельство позволяет непосредственно переносить в теорию «мелкой воды» все газодинамические результаты, относящиеся к движению без образования ударных волн. Для последних соотношения в теории мелкой воды отличаются от газодинамических соотношений для идеального газа.
«Ударная волна» в текущей по каналу жидкости представляет собой резкий скачок высоты жидкости й, а с нею и ее скорости о (так называемый прыжок воды). Соотношения между значениями этих величин по обе стороны разрыва можно получить с помощью условий непрерывности потоков массы и импульса жидкости. Плотность потока массы (отнесенная к 1 см ширины канала) есть /=рой. Плотность же потока импульса получается интегрированием р+ро' по глубине жидкости и равна ("+! ) 2 +! ='Г о Поэтому условия их непрерывности дают два уравнения: Вп1,, даг ОА = огьв "'А+ е = ОГГГВ+ (108,5) с = ~/йй. (108,2) Эта скорость играет здесь роль скорости звука в газодинамике. Так же, как это было сделано в $82, мы можем заключить, что если жидкость движется со скоростями о ( с (так называемое спокойное течение), то влияние возмущений распространяется на весь поток как вниз, так и вверх по течению.
При движении же со скоростями о ' с (стргиительпое течение) влияние возмущений распространяется лишь иа определенные области по:- тока вниз по течению. Давление р (отсчитываемое от атмосферного давления на свободной поверхности) меняется по глубине жидкости согласно гидростатическому закону р = рд(й — а), где г — высота -точки иад дном. Полезно заметить, что если ввести величины л р = рй, р= ~ рГ(в= — рй~й= — Р, (108,3) о 871 теория «мнлкои воды» % ци! Эти соотношения устанавливают связь между четырьмя величинами: пь пэ, Ьь Ьш две из которых могут быть заданы произвольно. Выражая скорости пь оэ через высоты Ьь Ьэ, получим: п~= ~ — '(Ь, + Ь ), п~~= ~ -й1-(Ь, + Ь ). (108,6) Потоки же энергии по обе стороны разрыва неодинаковы; их разность определяет количество энергии, диссипируемой (в 1 с) в разрыве.
Плотность потока энергии вдоль канала равна еч + 2)~ 21(е + о Воспользовавшись выражениями (108,6), получим для искомой разности Пусть жидкость движется через разрыв со стороны 1 на сторону 2. Тогда тот факт, что энергия диссипнруется, означает, что должно быть д, — дт > О, и мы приходим к выводу, что Ь,>Ь„ (108,7) т. е. жидкость движется со стороны меньшей на сторону большей высоты.
Из (108,6) можно теперь заключить, что о, > с, = т/дй„п, < с, = Чейз (108,8) в полной аналогии с газодинамическими ударными волнами. Неравенства (108,8) можно было бы найти и как необходимое условие устойчивости разрыва, подобно тому как это было сделано в З 88. Задача Найти условие устойчивости таигенциальиого разрыва иа мелной воде— линии, вдоль которой жидкость по обе стороны от нее движется с различными скоростями (С. В. БезВеикое, О.
П. Погйке, 1983). Решен не. Ввиду указанной в тексте аналогии между гпдродинамикой иелкой воды и динамикой сжимаемого политропного газа, поставленная задача эквивалентна задаче об устойчивости тангенциального разрыва в сжимаемом газе (задача 1 к й 84). Отличие состоит, однако, в том. что в случае мелкой воды должны рассматриваться возмущейня, зависящие лишь от координат в плоскости жидкого слоя (вдоль скорости ч и перпендикулярно к ней), но не от координаты * вдоль глубины слоя '): приблнжеиию мелкой воды отвечают возмущения с длнной волны Х > Л.
Поэтому найденная в задаче к й 84 скорость ое оказывается теперь границей неустойчивости: разрыв устойчив при о ) ое (о — скачок скорости на разрыве). Поскольку плотность и глубина жидкости по обе стороны разрыва одинаковы, то роль звуковой скорости по обе стороны от него играет одна и та же величина е1 еэ — — ц/кй. так что разрыв устойчив при о > 242ЫИ. г) В задаче к й 84 ей соответствовала координата ц.
ГЛАВА Х! ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА 9 109. Волна разрежении Линия пересечения двух ударных волн является в математическом отношении особой линией двух функций, описывающих движение газа. Такой же особой линией является край всякого острого угла на поверхности обтекаемых газом тел. Оказывается возможным исследовать движение газа вблизи особой линии в самом общем виде (Е. РгапЩ Тй. Мерег, 1908).
Рассматривая область вблизи небольшого участка особой линии, мы можем считать последнюю прямой, которую мы выберем в качестве оси г цилиндрической системы координат г, ф, а. Вблизи особой линии все величины существенным образом зависят от угла гр. Напротив, от координаты г они зависят лишь слабо, и прн достаточно малых г зависимостью от г можно вообще пренебречь. Несущественна также зависимость величин от координаты г, — изменением картины течения вдоль небольшого участка особой линии можно пренебречь. Таким образом, мы должны исследовать стационарное движение, при котором все величины являются функциями только от нз ф. Уравнение сохранения энтропии тгЧз =0 дает пв — =О, от- Ф лф куда з = сопз1 '), т.
е. движение изэнтропичио. Поэтому в уравнении Эйлера можно писать Чш вместо Чр/р: (уЧ)у= — Чсв. В цилиндрических координатах получаем три уравнения: Пег " о св гров огсз до г в и — =О. Нф г ' г грф г г Лф ' в лф Из последнего имеем ьк = сопя(; без ограничения общности можно положить аз=О и рассматривать движение как плоское,— это сводится просто к соответствующему выбору скорости движения системы координат вдоль оси г. Первые два уравнения переписываем в виде в иф (109,1) г'пе Х ! ир и'ю /= (109,2) 1) Если положить ов — — О (вместо пз/Пф = О), то, кзк легко заключить из нзписвнных ниже урввиеннй движения, получится о, = О, о, Ф О, Такое движение соасветствовзло бы пересечению поверхностей тзнгеицизльных рзз. рывов (со скачком скорости о4 и ввиду неустойчивости таких разрывов не предстзвлиет интереса.
574 пеРесечение поверхностен РлзРывл [гл. х! приравнивая нулю первый множитель в (109,5), мы получаем просто тривиальное решение — однородный поток. Во-вторых, уравнению (109,5) можно удовлетворить, положив 1 = о'/с', т. е. оч — — ~с. Радиальная же скорость определится из (109,3). Обозначая в этом уравнении сопз1 посредством вр, получаем: о„= ~ с, о, = ~ 1/2 (вр — в) — с'. В этом решении перпендикулярная к радиус-вектору составляющая о скорости в каждой точке равна по величине местной скорости звука.
Полная же скорость о = Д'+ о,', следовательно, больше скорости звука. Как абсолютная величина скорости, так и ее направление меняются от точки к точке. Поскольку скорость звука не может пройти через нуль, то ясно, что непрерывная функция о„(ф) должна быть равна везде +с или же везде — с.
Выбирая соответствующим образом направление отсчета угла рр, мы можем условиться считать, что о„= с, Что касается выбора знака у о„то мы увидим ниже, что он диктуется физическими соображениями и должен быть положительным. Таким образом: о„с, о,= ~72(вр — в) — с'.
(109,8) Иэ уравнения непрерывности (109,4) имеем йф = — д(ро )/ро,. Подставив сюда (109,8) и интегрируя, получим: ф=— (109,9) р чр'з 1, — ~1 — р' Если известно уравнение состояния газа и уравнение адиабаты (напомним, что з = сонэ(), то с помощью этой формулы можно определить зависимость всех величин от угла ф.
Таким образом, формулы (109,8 — 9) полностью определяют движение газа. Займемся теперь более подробным изучением полученного решения. Прежде всего заметим, что прямые ф =сопз1 пересекают в каждой точке линии тока под углом Маха (его синус равен о /о = с/о), т. е. являются характеристиками. Таким образом, одно из двух семейств характеристик (в плоскости х, р) представляет собой пучок выходящих из особой точки прямых н обладает в данном случае важным свойством — вдоль каждой из них все величины остаются постоянными.
В этом смысле рассматриваемое решение играет в теории плоского стационарного движения такую же роль, какую играет изученное в $ 99 автомодельное движение в теории нестационарных одномерных течений. Мы вернемся еще к этому вопросу в $115. Из (109,9) видно, что (рс)'( 0 (' обозначает дифференциро. ванне по ф). Написав (рс)' = — р с' (рс] р кр 575 ВОлнА РАЗРежзиия и замечая, что производная Ы(рс)/пр положительна (см. (99,9)), мы находим, что производная р' ( 0; вместе с нею отрицательны и производные р'= с'р'„ш' = р'/р. Далее, из того, что производная и' отрицательна, следует, что абсолютная величина скорости о=~2(ш» — ш) — возрастающая функция ф.
Наконец, из (109,7) следует, что у' > О. Таким образом, получаем следующие неравенства: — л ( О, — и < О, — > О, -л. > О. (109,10) Другими словами, в направлении обхода вокруг особой точки, совпадающем с направлением обтекания, плотность и давление падают, а вектор скорости возрастает по абсолютной величине и поворачивается в направлении обхода. Описанное движение часто называют волной разрежения; ниже мы будем пользоваться этим термином. Легко видеть, что волна разрежения не может иметь места во всей области вокруг особой линии. Действительно, поскольку о есть монотонно возрастающая функция ~р, то при полном обходе вокруг начала координат (т.е. при изменении ч~ на 2я) мы получили бы для в значение, отличное от исходного, что нелепо. Ввиду этого истинная картина движения вокруг особой линии должна представлять собой совокупность секториальных областей, разделенных плоскостями ~р = сопз1, являющимися поверхностями разрывов. В каждой из таких областей происходит либо движение, описываемое волной разрежения, либо движение с постоянной скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
