Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Свг довьск (1946) и Неймааом (д оол Иеащала, 1947]. С меньшей почиотой (без построения аналитического решения уравнений) задача была рассмотрена Тейлором (О. 1. Тау!ог, 1941, опубликовано в 1950), зхдлчл о сильном взгыве 669 Мы будем рассматривать волну на расстояниях, не слишком далеких от источника, в той области, где волна обладает еще большой интенсивностью. В то же время эти расстояния предполагаются большими по сравнению с размерами источника: это дает возможность считать, что выделение энергии Е произошло в одной точке (в начале координат). Болыпая интенсивность ударной волны означает, что скачок давления в ней очень велик. Мы будем считать, что давление пз позади разрыва настолько велико по сравнению с давлением р~ невозмущенного газа впереди него, что г» ~ 7+» л Это дает возможность везде пренебрегать р, по сравнению с рм причем отношение плотностей рз/р, будет равно своему предельному значению (у + 1)/(у — 1) (см.
$89), Таким образом, вся картина движения газа будет определяться всего двумя параметрами: начальной плотностью газа р, н выделяющейся при взрыве энергией Е. Из этих параметров и двух независимых переменных — времени 1 и координаты (расстояния от центра) г — можно составить всего одну независимую безразмерную комбинацию, которую мы напишем в виде г(р,(ЕР) ыз. В результате все движение будет обладать определенной автомодельностью. Прежде всего можно утверждать, что положение самой ударной волны в каждый момент времени должно соответствовать определенному постоянному значению указанной безразмерной комбинации.
Тем самым сразу определяется закон перемещения ударной волны со временем; обозначив расстояние волны от центра посредством Я, имеем (108, 1) гл и зрпп Ц »и 6! бр~~ Р» (108,2) Таким образом, в рассматриваемой задаче закон движения удар- ной волны определяется (с точностью до постоянного множи- теля) уже из простых соображений размерности. где р — числовая постоянная (зависящая от у), которая сама определится в результате решения уравнений движения. Ско» рость распространения ударной волны (скорость относительно невозмущенного газа, т. е. относительно неподвижной системы координат): ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА (ГЛ. Х Давление р!, плотность р! и скорость ох = из — и! газа (относительно неподвижной системы координат) на «задней» стороне разрыва могут быть выражены через и! по полученным в $89 формулам.
Согласно (89,10 — !1) имеем '): 2 о = — и, 3 т+ ! ! р,=р,—,, р,= +, р,иг (106,3) т+! 2 Плотность остается постоянной во времени, а оз и рз убывают соответственно как (-'га и 1-аж. Отметим также, что создаваемое ударной волной давление ра растет с увеличением полной энергии взрыва как Ехгз.
Перейдем, далее, к определению движения газа во всей области за ударной волной, Введем вместо скорости о, плотности р газа и квадрата сз=ур/р скорости звука в нем (который заменит собой переменную р — давление) безразмерные переменные У, гх.б, определив их посредством ') (!06,4) о = — )г, 2Г бг В соответствии с (106,3), на поверхности разрыва (т. е. при $ = 1) они должны принимать значения У(П= ',, О(1)= — '+,', 3(1)=-" — ",-Д.
(106,6) Уравнения центрально-симметричного адиабатического движения газа гласят: — + — + — =О, др д (рв) 2ро (106,7) дв ди 1 др — +о — = — —— д! дг р дг ' — + о — г!1и — =О. (' ') дг дг рт Последнее уравнение есть уравнение сохранения энтропии, в которое подставлено выражение (83,12) для энтропии политропного газа. После подстановки выражений (106,4) получается система уравнений в полных производных для функций У, тг, 3'. Интегрирование этой системы облегчается тем, что один из ее ') Определяемые формулами (З9,)!) скорости удариой волны относительно газа мы обозначаем здесь как в, н нз.
') Не смешивать обозначение У в атом н следующем параграфах с обозначением удельного объема в других местах! Величины У, О, б могут быть функциями только одной безразмерной независимой «автомодельиой» переменной, которую определим как (106,5) зпдхчх о сильном взпыве аа! интегралов может быть написан непосредственно из следующих соображений. Тот факт, что мы пренебрегаем давлением р, невозмущенного газа, означает, другими словами, что мы пренебрегаем первоначальной энергией газа по сравнению с энергией Е, приобретаемой им в результате взрыва.
Поэтому ясно, что полная энергия газа внутри ограниченной ударной волной сферы постоянна (и равна Е), Более того, ввиду автомодельности движения очевидно, что должна оставаться неизменной энергия газа и внутри любой сферы меньшего радиуса, расширяющейся со временем по закону $ = сонэ( с любым (а не только равным $,) значением сопз(! радиальная скорость перемещения точек этой сферы равна о = 2г/5( (ср.
(106,2)). Легко написать уравнение, выражающее это постоянство энергии. С одной стороны, в течение времени Ш через поверхность сферы (площади 4яг2) уходит энергия ((4 2 ( 1 и ) С другой стороны, за это же время объем сферы увеличивается на элемент 2((вп4пгэ, внутри которого заключен газ с энергией 2(24пгтвпр (в+ — ). Приравняв зти два выражения друг другу, подставив в и и из (83, 10 — 11) и введя безразмерные функции согласно (106,4), *олучим соотношение т (т — !)(! — р) )" (106,8) 2 (тр — !) — -(1 — ) ) — = 3(, П'и П'(ПО П'(П$ л(п$ = д!ах П'(П а П вЂ” 2$' — — (у — 1) — = — — к.
Ы)пй Д(пй ! — К ' (106,9) Из этих двух уравнений в помощью соотношения (106,8) выражаем производные дУ/2(1п(( и ((1п 6/п(Р' в виде функций толь« ко от У, после чего интегрирование с учетом граничных условий которое и является искомым интегралом системы уравнений. Ои автоматически удовлетворяет граничным условиям (!06,6).
После установления интеграла (106,8) интегрирование системы уравнений элементарно, хотя и громоздко. Второе в третье из уравнений (106,7) дают одиомвпиов лвижвиив сжимлгмого глзл !гл х (106,6) приводит к следующим результатам: ( (5 — (Зу — 1) У) ~ ~ (УУ вЂ” 1)~ О = — "",' ~-У вЂ” '+ , '(у У вЂ” !)1 * ( —,"+ ' !6 — (зу — !) У) ~ Х (106,10) Х [ †, '", (! — У)~ '. 137' — 77+!2 б(т — !) 3 (эу — 11(2т+ О ' ~з 27+! ' мз 27+! ' ч~ 2 т= —— чз — 2 — у ' Формулы (106,8), (106,10) дают полное решение поставленной задачи.
Постоянная (), входящая в определение независимой переменной $, Определяется условием Е = ~ р ( — + ) 4пг' г(г, ч выражающим равенство полной энергии газа энергии взрыва Е. После введения безразмерных величин это условие принимает вид ! рз 16Я ~ О ~ У' 2 (106,11) У оо $Б!ч1 гз оо вэзчнчг у Отсюда следует, что отношения и/пз и р/рз как функции отношения г/Я $ стремятся при й-+.0 к нулю по законам и/оа оо г/й, р/р, сю (г/К) дт (106, 12) отношение же давлений р/ра стремится к постоянному пределу, а отношение температур — соответственно к бесконечности ').
') Эти утверждения относятся к значениям у - 7 (при этом функция У(й) меняется от значения У(1) 27[7+ 1) до У(0) = !1у). Для реальных газов, термодинамические функции которых можно было бы аппроксимировать формулами для. политропиого газа, это неравенство заведомо выполняется (фактвческв верхним пределом у является в этом смысле значение б/3, отвечающее одиоатомиому газу). Укажем, однако, для формальной полноты, что при у) 7 функция У(еь) меняется от значения 27(у+1) при $ ! до предельного значения 1, достигаемого при определенном (зависящем от у) значении $ = эт ( 1; в этой точке функция о обращается в нуль, т. е. возникает расширяющаяся сферическая область пустоты. о Так, для воздуха (у = 7/5) оказывается р = 1,033.
Из формул (106,10) легко видеть, что при $-ьО функция У стремится к постоянному пределу, а функция тт — к нулю по законам СХОДЯЩАЯСЯ СФЕРИЧЕСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА бвз й ~от) На рис. 94 изображены графически величины о/оз, р/рз и р/р, как функции г/14 для воздуха (у = 1,4). Обращает нв себя внимание очень быстрое убывание плотности по направлению внутрь сферы: почти все вещество сконцентрировано в сравнительно узком слое позади фронта ударной волны. Это обстоя- Хр тельство является естественным следствием того, что по поверхности наибольшего, равного гг, радиуса должно быть распределено вещество с шестикратной по сравнению с нормальной плотностью '), 5 107.
Сходящаяся сферическая ударная волив Рядом поучительных особенностей обладает задача о сходящейся к центру ударной )) волне большой интенсивности '). Вопрос о конкретном ме- Рис. 94 ханнзме возникновения такой волны нас не будет интересовать; достаточно представлять себе, что волна создана каким-то «сферическим поршнем», сообщающим газу начальный толчок; по мере схождения к центру волна усиливается. Мы будем рассматривать движение газа на той стадии процесса, когда радиус тт сферической поверхности разрыва уже мал по сравнению с ее начальным радиусом в радиусом «поршня» )то. На этой стадии характер движения в значительной степени (ннже будет видно — какой) не зависит от конкретных начальных условий. Ударную волну будем считать уже настолько сильной, что давлением р~ газа перед ней можно (как и в предыдущем параграфе) пренебречь по сравнению с давлением рз позади нее.
Что касается полной энергии газа, заключенной в рассматриваемой (переменной!) области г — )1 « г(„ то Она отнзодь не постоянна (как будет видно ниже — убывает со временем). Пространственный масштаб рассматриваемого движения может определяться лишь самим, меняющимся со временем, ра- ') Результаты вычислений длн других значений т, а также аналогичное решение задачи о сильном взрыве в случае цилиндрической симметрии ириведеиы Л. И.
Седовым в кинге «Методы подобии и размерности в механикс», изд. 9 — Мз Наука, 1991, гл. 1'1г, 9 11. т) Эта задача была рассмотрена независимо Гудерлеем (б. бит)ег)еу, 1942) и Л. Л. Ландау и К. П. Станюковичем (1944, опубликовано в 1950).
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ~гл. х 564 диусом ударной волны 17(г), а масштаб скорости — производной 4((4/4(б В этих условиях естественно предположить, что движение будет автомодельным, с независимой «автомодельной переменной» $ = г/)7(г). Однако зависимость 14(() нельзя определить из одних только соображений размерности. Примем момент фокусировки ударной волны (т.
е. момент, когда Я обращается в нуль) в качестве ( = О. Тогда времени до фокусировки отвечают значения ( ( О. Будем искать функцию (х(() в виде Я (г) = А ( — г)' (107,1) с неизвестным заранее показателем авгомодельносги а. Оказывается, что этот показатель определяется условием существования самого решения уравнений движения (в области г « 17,) с надлежащими граничными условиями.
Тем самым определяется н размерность постоянного параметра А. Величина же этого па. раметра остается неопределенной и может быть, в принципе, найдена лишь путем решения задачи о движении газа в целом, т. е. путем сшивки автомодельного решения с решением на расстояниях г — Йо, зависящим от конкретных начальных условий. Именно через этот параметр, и только через него, зависит движение при Я ~ )7« от способа начального создания ударной волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
