Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Число и характер этих областей для различных конкретных случаев будут установлены в следующих параграфах. Сейчас укажем лишь, что граница между волной разрежения и областью однородного течения должна быть непременно слабым разрывом. Действительно, эта граница не может быть тангенциальным разрывом (разрывом скорости п,), так как на ией ие обращается в нуль нормальная к ней компонента скорости пч = с.
Она не может также быть ударной волной, так как нормальная компонента скорости (о ) по одну сторону от такого разрыва должна была бы быть больше, а по другую — меньше скорости звука, между тем как в данном случае с одной нз сторон границы мы во всяком случае имеем о = с. Из сказанного можно вывести важное следствие. Возмущения, вызывающие образование слабых разрывов, исходят от особой линии (оси г) и распространяются по направлению от нее. Это значит, что ограничивающие волну разрежения слабые разрывы должны быть «исходящими» по отношению к этой линии, т.
е. компонента скорости ш касательная к слабому разрыву должна быть положительна. Таким образом, мы оправдали сделанный в (109,8) выбор знака у о,. Бта [гл х! ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА Применим теперь полученные формулы к политропному газу. В таком газе и1 = сз/(у — 1); уравнение же адиабаты Пуассона можно написать в виде рс "1" "=сонэ!, рс '™1Т-11=сонэ( (109,11) (ср. (99,13)). Пользуясь этими формулами, представим интеграл (109,9) в виде где с„— критическая скорость (см.
(83,14) ). Отсюда /у+ ! С вЂ” агссоз — + сопз(, т †! С Согласно формуле (109,8) получаем отсюда: е /т+ ! /т — ! с. З(п — 1р, т †! ' т+! (109,13) Далее, воспользовавшись уравнением адиабаты Пуассона в виде (109,11), находим зависимость давления от угла 1р: р=р,(соз ~/~, 1р) (109,14) Наконец, для угла т (109,6) имеем: А=41+ агс1к ( т, — с18 т — 1р) (109,15) 'т+! -и т+! (угол т отсчитывается от того же направления, от которого отсчитывается 1р). Поскольку должно быть о, ) О, с ) О, то угол е! в этих формулах может меняться только в пределах между 1р = О и 1Р =1Р,„, ГДЕ (109, 16) Это значит, что волна разрежения может занимать сектор с углом раствора, не превышающим р,„; так, для двухатомного газа (воздух) этот угол равен 219,3'. При изменении ф от 0 до 1р,„угол т меняется от и/2 до 1р ., Таким образом, направление скорости в волне разрежения может повернуться на угол, не превышающий ч1 „— и/2 (для воздуха 129,3').
или, выбирая начало отсчета 1р так, чтобы было сопз1 =0: В =С=С„СОЗ Л/» ! 1Р. ч т+! (109,12) 577 ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ % 1091 При ф = ф „давление обращается в нуль, Другими словами, если волна разрежения простирается нплоть до этого угла, 1,0 и ся Рн и 0,0 Х 100' 00' 40 Рнс. 97 то ограничивающий ее с этой стороны слабый разрыв представляет собой границу с вакуумом. При этом он, естественно, совпадает с одной из линий тока; и имеем здесь: о =с=0 в В /у+1 и, = о = н/ с.
= опм„, '1/ у — ! т. е. скорость направлена по радиусу и достигает своего предельного значения о ,„ (см. 9 83). На рис, 97 даны графики величин р/р„ с„/о и т как функции угла ф для воздуха (у = 1,4). Полезно заметить форму, ко- Рнс. 98 торую имеет определяемая формулами (!09,12 — 13) кривая в плоскости о, о„(так называемый годограф скоростей). Это — дуга эпициклоиды, построенной ь(ежду окружностями радиусов о = с, и о = о,„(рнс. 98), Задачи 1.
Определить форму линий тока в волне раарежеиня. Решение. Уравненяе линий тока для двухмерного движения в полярных координатах есть ог/о, = г оф/о . Подставляя сюда (109,19 — 13) [Гл. хг йта ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ РАЗРЫВА и интегрируя, получаем: уу — ! г,(соз ~ч г — ф[ Ьг т+1 / Эти линии тока представляют собой семейство подобных кривых, обращенных своей вогиутостью в сторону начала координат, являющегося центром подобия.
2. Определить наибольщий возможный угол между слабымн разрывами, ограничивающими волну разрежения, при заданных значениях оь с~ скорости газа и скорости звука иа первом из них. Решен ие. Длк соответствующего первому разрыву значеиик угла ф находим из (109,12): /у-[-1 с, ф1 = ~1!/ — агссоз —. т 1 с. ' Значении же фз ф „, так что искомый угол равен .
/у+1 с фз — ф1 ~ — агсз[п 1-. 'тг' у — ! С Критическак скорость сч выражаетса через оь с, уравнением Бернулли 2 т з о, с! о, у + 1 ш~+— 2 у — 1 2 2(у-1) + с. Наибольший возможный у~ел поворота скорости газа в волив разрежения получится соответственно с помощью (109,15) кан разность Х(фз) Х(фз): /у+1 .
с1 с Х ~ — агсвт — — агсз[п -)-. '7 у — 1 с. о! Как функции от о,[сь Х,. имеет наибольшее значение прн о,/с, 1 Хтзх 2 т, 1(/ у — ! ПРи ог/с,-ьсо Хм.„стРемитси к иУлю, как 2 с, Х у $110. Типы пересечений поверхностей разрыва Ударные волны могут пересекаться друг с другом; это пересечение происходит вдоль некоторой линии.
Рассматривая движение в окрестности небольших участков этой линии, мы можем считать ее прямой, а поверхности разрывов — плоскими. Таким образом, достаточно рассмотреть пересечение плоских ударных волн. Линия пересечения разрывов представляет собой в математическом отношении особую линию (как уже указывалось в начале $ 109).
Вся картина движения вокруг нее складывается нз ряда секториальных областей, в каждой из которых' имеется либо однородный поток, либо описанная в 9 109 волна разре- ПЕРЕСЕЧЕНИЕ РАЗРЫВОВ 679 9 но1 женин. Ниже излагается общая классификация возможных тн пов пересечения поверхностей разрывов '). Прежде всего необходимо сделать следующее замечание. Если по обе стороны ударной волны движение газа является сверхзвуковым, то (как было указано в начале 9 92) можно го.
ворнть о «направлении» ударной волны и соответственно этому различать ударные волны, «исходящие» от линии пересечения, и волны, «приходящие» к ннй. В первом случае касательная составляющая скорости направлена от линии пвресечвния, и можно сказать, что возмущения, вызывающие образование разрйва, исходят от этой линии. Во втором же случае возмущения исходят из какого-то места, постороннего по отнбшению к линии пересечения.
Если по одну из сторон от ударной волны движение является дозвуковым, то возмущения распространяЖгея в обе стороны вдоль ее поверхности н понятие о направлении волны теряет, строго говоря, смысл, Для нижеследующих ргссуждений существенно, однако, что вдоль такого разрыва могут распоостраняться исходяб)ие от места пересечения возмущения. В этом смысле подобные ударные волны в излагаемых ниже рассуждениях играют ту же роль, что и чисто сверхзвуковые исходящие волны, и под исходящими ударными волнами ниже подразумеваются обе эти категории волн. На следующих ниже рисунках изображаются картины течения в плоскости, перпендикулярной к лйнин пересечения.
Без ограничения общности можно считать, что движение происходит в этой плоскости. Параллельная линии пересечения (а потому и всем плоскостям разрывов) компонента скорости должна быть одинакова во всех ооластях вокруг линии пересечения и поэтому надлежащим выбором системы координат может быть всегда обращена в нуль. Укажем, прежде всего, некоторые заведомо невозможные конфигурации. Легко видеть, что не может быть такого пересечения ударных волн, при котором нет хотя бы одной приходящей волны, Так, при изображенном на рис.
99,а пересечении двух уходящих ударных волн линии тока натекающего слева потока отклонились бы в разные стороны, между тем как во всей области 2 скорость должна быть постоянной; это затруднение не может быть преодолено введением в область 2 еще каких-либо других разрывов '). Аналогичным образом убеждаемся в невозможности ') Она была дана Л. П. Ламдар (1944), а в некоторых пунктах (относящнхся к взаимод6йствкю ударных волн с тзнгенпнальнымн я слабымп раз рывамн] дополнена С. П. Дьяковым (1954). ') Чтобы не загромождать текст однообразнымн рассуждевкямн, мы ге будем прнводнть аналогичные соображення для случаев, когда имеются области дозвукового движения и уходянгей волной является в действнтельносгн ударнзк волна, гранячащая с дозвуковой областью.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЯ РАЗРЫВА )гл. х! изображенного на рис. 99, б пересечения уходящей ударной волны с уходящей же волной разреженяя; хотя в такой картине и можно добиться постоянства направления скорости в области 2, но при этом не сможет быть выполнено условие постоянства давления, так как в ударной волне давление возрастает, а в волне разрежения — падает.
д> 'Ча' в) а) Слабый )оеевио Линия тока разрыв разрыв Ударная волна Рис. 99 Далее, поскольку пересечение не может оказывать обратного влияния на приходящие ударные волны, то одновременное пересечение (вдоль общей линия) более чем двух таких волн, возйикаюших от каких-то посторонних причин, было бы невероятной случайностью. Таким образом, в картине пересечения могут участвовать всего лишь одна или две приходяшие ударные волны. Весьма существенно следующее обстоятельство: протекающий мимо точки пересечения газ мо- 8 жет пройти лишь через одну исходящую яз этой точки ударную волну или волну разрежения. г Пусть, например, газ проходит че- рез следующие друг за другом 5 две исходящие из точки О удар- ные волны, как это показано на Ряс.
100 рис. 99,в. Поскольку позади вол- ны Оа нормальная компонента скоРости Рз, ( с,, то тем более была бы меньше с» ноР- мальная к волне ОЬ компонента скорости в области 2 в противоречии с основным свойством ударных волн. Аналогичным образом убеждаемся в невозможности прохождения газа через следующие одна за другой исходящие нз точки О две волны разрежения нли волну разрежения и ударную волну. Эти соображения, очевидно, не распространяются на приходящие к точке пересечения ударные волны. ПЕРЕСГЧЕНИЕ РАЗРЫВОВ $ иа) 58) Теперь мы можем приступить к перечислению возможных типов пересечений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
