Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 121
Текст из файла (страница 121)
114) радвус-вектора, прове- ') Это может, однако, быть не так при некоторых «зкзотниеских» формах обтекаемого тела Так, существуют указании на отбор волны «сильного» семейства при обтекании конуса иа переднем крае широко~о тупого тела. ОЬТЕКХННЕ КОНИЧЕСКОГО ОСТРИЯ $ 1 13] 395 денного в данную точку из вершины конуса. Соответственно уравнения движения сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям; граничные условия к этим уравнениям на ударной волне определяются уравнением ударной поляры, а на поверхности конуса — требуют параллельности скорости образующим конуса.
Эти уравнения, однако, не могут быть проинтегрированы в аналитическом виде и должны решаться численным образом. Отсылая за результатами таких вычислений к оригинальным источникам'), мы ограничимся лишь кривой (рис. 65), дающей зависимость предельного допустимого угла раствора й Нуеа 2Км»» КаК фуНКцИИ От ЧИСЛа М1. УКажЕМ таКжЕ, ЧтО Прн 1-м 1 угол тм»» стремится к нулю по закону /Ы,— ! Х .,= сонэ(п/ ч т+! (1! 3,1) или для осесимметрического движения (113,3) где введено обозначение 6 = (М21 — 1)нз. (! 13,4) Для того чтобы распределение скорости было функцией только От угла О, потенциал должен иметь вид 1р = х7($), где 9 = г7х = =1и й.
Сделав подстановку, получим для функции !(9) уравнение 3 (1 6212) 1м+ ) — О '! См. Тау1ог О. 1., Массо1 Д ЗГ. — Ргос. Коу. 8ос., 1933, ч. 139А, р. 278; И1ассо1 Х. ФГ,— Ргос. Коу. 3ос., 1937, ч. 1397» р. с39 См. также изложение е кинге: Кочин 77. Е., Кидгль И. А., Розе Н. бт Теоретнческзи гидромехзиииз.
— 7»1: Физмзтгиз, !963, ч. П, 5 27. как это можно заключить на основании общего околозвукового закона подобия (126,!1) (сопз( есть число, не зависящее ни от М„ни от рода газа). Замкнутое аналитическое решение задачи об обтекании конуса возможно лишь в предельном случае малых углов раствора конуса (Тп. Кагтап, й1. В. Моог, 1932).
Очевидно, что в таком случае скорость газа во всем пространстве будет лишь незначительно отличаться от скорости ч1 натекающего потока. Обозначив посредством хг малую разность между скоростью газа в данной точке и скоростью хг1 и введя ее потенциал 1р, мы можем применить для последнего линеаризованное уравнение (1!4,4); если ввести цилиндрические координаты х, г, оу с осью вдоль оси конуса (со — полярный угол), это уравнение примет вид — — (г — )+ — — — Рз — =О, арх ! ар,а'р (113,2) г дг(, дг) г'дм' дл" пересечение поверхностен РАзРыВА ~гл.
хт которое решается злементарно. Тривиальное решение 1=сопз1 соответствует однородному потоку, а второе решение есть 1 = сопз1(.~~1 — ٠— А ге)з — ) . й Граничное условие па поверхности конуса (т.е.прн $ = 1д Х ж Ху гласит: пг 1 дз — — = Х. о,+ох о, дг (113,5) или 1'= п,Х. Отсюда сопз1. = п,Хх, и в результате получим следующее окончательное выражение для потенциала (в области х) бгз)): р = п,Х' ~~'хл — бега — хАгс)з — „~. (113,6) Обратим внимание на то, что р имеет при г- 0 логарифмическую особенность. Отсюда находим компоненты скорости: и, = — пгххАгс)з —, и, = — "'т ~/дл — йтгх (113,7) рг* г г Давление на поверхности конуса вычисляется с помощью формулы (114,5); благодаря логарифмической особенности ср при г- О скорость и, на самой поверхности конуса (т.
е. при малых г) велика по сравнению с п„н потому в формуле для давления должен быть сохранен член с и,. В результате получим: 2 Р— П, =Р,п',Х'(1и рХ вЂ” —,). (!! 3,8) Гасе эти формулы, полученные с помощью линеаризованной теории, теряют применимость при слишком больших значениях Мп сравнимых с 1/Х (см. $ 127).
') В рассматриваемом приближении конус х рг представляет собой понерхиость слабого разрыва. В следующем приближении появляется ударная водна, интеисиаиость которой (относительный скачок давления) пропорпиональна Х', а угол полурастаора превосходит угол Маха на аеличнну, тоже пропорплональиую Хх, ГЛАВА Хи ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ф 114. Потенциальное движение сжимаемого газа Мы встретимся в дальнейшем с многочисленными важными случаями, когда движение сжимаемого газа можно рассматривать как потенциальное практически во всем пространстве.
Здесь мы выведем об!цпе уравнения потенциального течения н рассмотрим в общем виде вопрос об нх применимости'). Потенцнальность течения сжимаемого газа нарушается, вообще говоря, ударными волнами; после прохождения через ударную волну потенциальный поток становится в общем случае вихревым. Исключение представляют, однако, случаи, когда стационарный потенциальный поток проходит через ударную волну постоянной (вдоль всей ее поверхности) интенсивности; таковы, например, случаи, когда однородный поток проходит волну, пересекающую все линии тока под одинаковым углом'). В таких случаях течение остается потенциальным и позади ударной волны. Для доказательства этого утверждения воспользуемся уравнением Эйлера, написанным в виде — Чп — [ч го1ч] = — — Чр 1 1 2 Р (ср.
(2.10)), или Ч [ ш + — ] — [ч го1 ч] = ТЧз, где учтено термодинамнческое соотношение г(ш = Т г(з+ б!р/Р Ио в потенциальном потоке перед ударной волной ш+ оз/2 = = сонэ(, а на ударной волне этз величина непрерывна; поэтому она останется постоянной и во всем пространстве позади ударной волны, так что будем иметь: [ч го1 ч] = — ТЧз. (1 14,1) Потенциальный поток перед ударной волной изэнтропичен. В общем случае произвольной ударной волны с переменным вдоль ее поверхности скачком энтропии в пространстве за воч- ') В этом параграфе течение еите ие прелполагаетси плоским! ') С такими слуааими мм уже встречалнсь прн изучении сверхзвукового обтекании клина н конуса (Я !!2, 11Э).
плоское течение сжимАемОГО ГАВА [Гл. ХП ной градиент УЗФ О, а вместе с иим будет отличен от нуля и го! ч. Однако если ударная волна обладает постоянной интенсивностью, то и скачок энтропии в ней постоянен, так что течение за ней тоже будет изэнтропическим, т. е. Чу = О. Отсюда следует, что либо го[ у = О, либо векторы го[ ч и ч везде параллельны друг другу. Но последний случай невозможен: на самой ударной волне ч во всяком случае имеет отличную от нуля нормальную компоненту, а нормальная компонента го[ч во всяком случае равна нулю (нормальная компонента го! ч определяется тангенциальными производными от тангенциальных компонент скорости, непрерывных на поверхности разрыва).
Другой важный случай, когда потенциальность течения можно считать не нарушающейся ударными волнами,— это случай волн малой интенсивности. Мы видели ($86), что в таких ударных волнах скачок энтропии есть величина третьего порядка по сравнению со скачком давления или скорости. Из соотношения (114,1) видно поэтому, что величиной третьего порядка будет и го(ч за разрывом.
Это и дает возможность считать, с точностью до малых величин высших порядков, течение потенциальным и позади ударной волны. Выведем общее уравнение для потенциала скорости при произвольном стационарном потенциальном течении сжимаемого газа. Для этого исклпочаем плотность из уравнения непрерывности [([ч рч — р б[ч ч + ч ч р = О с помощью уравнения Эйлера ур с' (чЧ) ч = — — = — — Ур Р Р и получаем: сз ббч ч — , 'ч'Я ч = О. Вводя сюда потенциал согласно ч = чф и раскрывая векторные выражения, найдем искомое уравнение: (сз — фт) ф„+ (сз — ф„') фуу -1- (сз — фх) ф„— 2 (фхфуфху + фхфхфхх+.фуфхфух) = О (1 14~2) (нижние индексы обозначают здесь частные производные). В частности, для плоского движения (с' — фх) фхх + (с — ф";) [Руу — 2ф„фуф„у = О.
(1! 4,3) В этих уравнениях скорость звука сама должна быть выражена как функция скорости, что может быть, в принципе, сделано с помощью уравнения Бернулли ш+ ОУ/2 =сонэ[ и уравнения нзэнтропичностн у =сонэ! (для политропного газа зависимость с от о дается формулой (83,18) ).
Уравнение (!14,2) очень упрощается, если во всем пространстве скорость газа лишь незначительно отличается по величине .и направлению от скорости натекающего из бесконечности по- % 11»] потгипиальиов движение сжимавмого газа 599 тока '). Тем самым подразумевается и что ударные волны (если они вообще есть) обладают слабой интенсивностью, а потому не нарушают потенциальности течения. Выделим из т постоянную скорость натекающего потока в1, написав у=в1+ч', где у' — малая величина. Вместо потенциала гр полной скорости, введем потенциал 1р' скорости у'.
ч'=71р'. Уравнение для этого потенциала получится из (114,2) заменой тр =1р'+хп1 (ось х выбираем в направлении вектора к1). Рассматривая после этого тр' как малую величину и опуская все члены выше первого порядка, получим следующее линейное уравнение: (114,4) где М, = о;/с1, для скорости звука здесь подставлено, естественно, ее заданное значение на бесконечности. Давление в любой точке потока определяется в этом же приближении через скорость по формуле, которую можно получить следующим образом. Рассматривая р как фуницию п1 (при заданном л) и учитывая, что (дш/др), = 1/р, пишем: др т. дв»»( Согласно же уравнению Бернулли имеем: 1 2с(1+ ) Л 21Р+ в) 1 1 2 так что р1" 1о» (тт + ",).
(114,5) В этом выражении надо, вообще говоря, сохранить член с квадратами поперечной скорости, так как в области вблизи оси х (в частности, на самой поверхности обтекаемого газом тонкого тела) производные д1р'/ду, д1р'/дг могут стать большими по сравнению с д1р'/дх. Уравнение (114,4), однако, неприменимо, если число М, очень близко к единице (околозвуковое движение), так что коэффициент в первом члене становится малым. Ясно, что в таком случае в уравнении должны быть сохранены также и члены более высокого порядка по производным потенциала по координате х. Для вывода соответствующего уравнения снова вернемся к исходному уравнению (114,2), которое после пренебрежения ') С таким случаем мы встретились уже в $1!3 (обтекавке токкого комуса) к встретимся еще лрв кзучеякя обтекаяяя сжимаемым газом яроизвольвых тоякял тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
