Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Линии же тока, проходящие под точкой О, с ударной волной вообще не пересекаются. Однако отс<ода нельзя сделать заключение о том, что вдоль них рассматриваемое решение применимо везде. Дело в том, что возникающая ударная волна оказывает возмущающее влияние и на газ, текущий вдоль этих линий тока, и таким образом нарушает движение, которое должно было бы иметь место в ее отсутствии. В силу свойства 'сверхзвукового потока эти возмущения будут, однако, проникать лишь в область газа, находящуюся вниз по течению от характеристики ОА, исходящей из точки начала ударной волны (одна ич характеристик второго семейства). Таким образом, рассматриваемое здесь решение будет применимым во всей области слева от линии АОВ.
Что касается самой линии ОА, то она будет представлять собой слабый разрыв. Мы видим, что непрерывная (без ударных волн) во всей области простая волна сжатия вдоль вогнутой поверхности, аналогичная простой волне разрежения вдоль выпуклой поверхности, невозможна. В ударной волне, возникающей при обтекании вогнутого профиля, мы имеем пример волны, «начинающейся» от некоторой точки, расположенной в самом потоке вдали от твердых стенон. Такая точка «начала» ударной волны обладает некоторыми общими свойствами, которые мы здесь отметим. В самой точке начала интенсивность ударной волны обращается в нуль, а вблизи нее мала, Но в ударной волне слабой интенсивности скачок энтропии н ротора скорости — величины третьего порядка малости, и потому изменение течения при прохождении через волну отличается от непрерывного потенциального иззнтропического изменения лишь в величинах третьего порядка. Отсюда следует, что в отходящих от точки начала ударной волны слабых разрывах должны испытывать скачок лишь производные третьего порядка от различных величин.
Таких разрывов будет, вообще говоря, два: слабый разрыв. совпадающий с характеристикой, и тангенциальный слабый разрыв, совладающнй с линией тока (см конец $96). УРАВНЕНИЕ ЧАПЛЫГИНА $ Но) 6 116. Уравнение Чаплыгина (общая задача о двухмерном стационарном движении сжимаемого газа) Рассмотрев стационарные простые волны, перейдем теперь к общей задаче о произвольном стационарном плоском потенциальном движении.
Говоря о потенциальном течении, мы подразумеваем, что движение нзэнтропично и что в нем отсутствуют ударные волны. Оказывается возможным свести поставленную задачу к решению всего одного линейного уравнения в частных производных (С. А. Чаплыгин, 1902). Это осуществляется путем преобразования к новым независимым переменным — компонентам скорости о„, о„(это преобразование часто называют преобразоеаниел! годографа; плоскость переменных о», о„называют при этом плоскостью годографа, а плоскость х, у — физической плоскостью) .
Для потенциального движения вместо уравнений Эйлера можно написать сразу их первый интеграл, т. е. уравнение Бернулли: о' и!+ а)о. 2 (1!6„!) Уравнение непрерывности гласит: дк (Рок)+ д (Рпо)=0. д д (! 16,2) Вводя функцию получаем: Ф = — )р + ха, + уо„, ЙФ = х )(ок + у г(оо, (1!6,6) где Ф рассматривается как функция от а и и,. Отсюда имеем: х= —, у= дФ дФ (!16,4) док ' доо ' Удобнее, однако, пользоваться не декартовыми компонентами скорости, а ее абсолютной величиной о и углом О, образуемым ею с осью х: г,=псов О, п„=аз)пО.
(1! 6,6) Для дифференциала потенциала Ф скорости имеем: !(Ф ак 4(х+ пу ау. Произведем преобразование от независимых переменных х, у к независимым переменным о,, ад путем преобразования Лежандра. Для этого пишем: !АФ = д(хок) — х док+ г((уоо) — у)(ао. Ооз плОскОе течение сжимлемого ГАЗА (гл. хи Произведя соответствующее преобразование производных, легко получаем вместо (116,4) следующие соотношения: х= Π— — — ', у = з!п Π— + — —. ()ю,б) дФ о!и О дФ ° дФ соя О дФ до и дО ' ди о дО Связь между потенциалом !р и функцией Ф дается при этом простой формулой дФ ~р= — Ф+ и —. ди ' (1 16,7) Наконец, для того чтобы получить уравнение, определяющее функцию Ф(и, О), надо преобразовать к новым переменным уравнение непрерывности (116,2).
Написав производные в виде якобианов: д (ро„, у) д (ро„, х) д (х, у) д (х, у) умножив на д(х,у)/д(и, О) и подставив (116,5), имеем: д(росио О, у) д(ри мпО, х) д (и, О) . д (о, О) При раскрытии этих якобианов надо подставить для х и у выражения (116,6). Кроме того, поскольку энтропия з является заданной постоянной величиной, то, выразив плотность в виде функции от з и ги и подставив для ги выражение еи = шо†из/2, мы найдем, что плотность может быть написана в виде функции только от скорости: р = р(и). Имея все это в виду, получим после простых преобразований следующее уравнение: д (ро) С дФ ! д~Ф Х доФ вЂ” 1 — + — —, !+ ри — =О. ди, ди о дв' х ди' Согласно (83,5) имеем: н в результате получим окончательно для функции Ф(и, О) следующее уравнение Чаплыгина: д'Ф и' д'Ф дФ вЂ” + .
— +и — =О. дв' ои диа ди 1 —— и' (! 16.8) Здесь скорость звука является заданной функцией скорости, с = с(и), определяемой уравнением состояния газа и уравнением Бернулли. Уравнение (!16,8) вместе с соотношениями (116,6) заменяет собой уравнения движения. Таким образом, задача о решении нелинейных уравнений движения сводится к решению линейного УРАВНЕНИЕ ЧАПЛЫГННА 669 й нщ уравнения для функции ср(о, 0). Правда, нелинейными оказываются зато граничные условия для этого уравнения. Эти условия заключаются в следующем.
На поверхности обтекаемого тела скорость газа направлена по касательной к ней. Выразив координаты уравнения поверхности в виде параметрических уравнений Х = Х(0), У = У(О) (как это было объяснено в предыдущем параграфе) и подставив Х и У в (116,6) вместо х и д, мы получим два уравнения, которые должны удовлетворяться при всех значениях О, что возможно отнюдь не при всякой функции Ф(о, 0).
Граничное условие как раз и будет заключаться в требовании, чтобы оба эти уравнения были совместными при всех О, т. е. одно из них должно быть автоматическим следствием другого. Удовлетворения граничных условий1, однако, еще не достаточно для того, чтобы гарантировать пригодность полученного решения уравнения Чаплыгина для определения реального течения во всей области движения в физической плоскости. Необходимо еще выполнение следующего требования: якобиан д(х, у) Ь= — ' д (6, о) нигде не должен менять знак, проходя через нуль (за исключением лишь тривиального случая, когда обращаются в нуль все четыре составляющие его производные).
Легко видеть, что если это условие нарушается, то при прохождении через определенную равенством А=О (так называемую предельную)' линию в плоскости х, у решение, вообще говоря, становится комплексным '), Действительно, пусть на линии о = оо(0) имеем А=О и пусть при этом (ду/дО) ~О. Тогда имеем: ГдО ~ д(л, у) д(о, 6) д(х, у) /д~~ т.ду 1~ д(о, 6) д(о, у) д(о, у) ~ дс,Ув Отсюда видно, что вблизи предельной линии и как функция от х (при заданном у) определяется уравнением вида 1 /д'хч и по одну из сторон от предельной линии и становится комп- лексной ') . ') Прохождение же через нуль путем обращения Л в бесконечность не запрещается. Если на некоторой линии 1(Л = О, то зто приводит лишь к тому, что соответствие между плоскостями х, у и о, 6 становится ие взаимно однозначным в том смысле, что при обходе плоскости х, у некоторая часть плоскости а, О проходится дважды или трижды.
') Это утверждение остается, очевидно, справедливым и в тех случаях, когда одновРеменно с Л обРаЩаетсЯ в нУль и (дтл/дса)а, но пРонзводиаа (дл/дс)а по-прежиему меняет знак при и = см т.е, разность к — кз пропорциональна более высокой четной степени е — с,. В(О плОское течение сжимАемОГО ГА3А 1ГЛ. хн Легко видеть, что предельная линия может появиться лишь в областях сверхзвукового дан!кения. Непосредственное вычисление с использованием соотношений (!16,6) и уравнения (116,8) дает Ясн©ь что при о ( с всегда О ) О, и лишь при о ) с О может Йз(!снять знак, пройдя через нуль.
Появление в решении уравнения Чаплыгина предельных линий свидетельствует о том, что в данных конкретных условиях невозможен непрерывный во всей области движения режим об. текания, и в потоке должны возникать ударные волны. Следует, однако, подчеркнуть, что положение этих волн отнюдь не совпадает с предельными линиями. В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай сверхзвукового стационарного двухмерного течения (простую волну), характерный тем, что в нем величина скорости является функцией только ее направления: о=о(0). Это решение не могло бы быть получено из уравнения Чаплыгина; для него тождественно 1/Ь вм О, и оно теряется, когда при преобразовании к плоскости годографа приходится умножать уравнение движения (уравнение непрерывности) на якобиан Л.
Положение здесь аналогично тому, что мы имели в теории одномерного нестационарного движения. Все сказанное в й 105 о взаимоотношении между простой волной и общим интегралом уравнения (105,2) полностью относится и ко взаимоотношению между стационарной простой волной и общим интегралом уравнения Чаплыгина. Положительность якобиана (1 при дозвуковом движении позволяет установить определенное правило, относящееся кнаправлению поворота скорости вдоль потока (А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
