Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Я 86, 114), что в слабой ударной воляе изменение энтропии и ротора скорости— величины более высоких порядков малости; поэтому в первом приближении движение можно считать изэитропвческим и потенциальным и позади разрыва. В этом параграфе мы рассмотрим теоретически важный вопрос — о характере стационарного плоского обтекания, когда скорость набегающего потока равна в точности скорости звука.
Мы увидим, что при таком обтекании непременно имеется простирающаяся от тела до бесконечности ударная волна. Отсюда следует важное заключение о том, что ударная волна должна впервые возникнуть прн числе М, во всяком случае меныпем единицы. ') Здесь надо иметь в виду, что Е(а, (), у, в) сводится к полиному, если лля а (или р) имеет место а = — л нли т — а ° — и. 625 ОБТЕКАНИЕ СО ЗБУКОБОП СКОРОСТЬЮ $!Щ Итак, рассмотрим плоское обтекание тела с бесконечно длинным размахом («крыла») произвольного, не обязательно симметричного сечения. При этом мы будем интересоваться картиной течения на достаточно больших (по сравнению с размерами) расстояниях от тела. Для удобства изложения мы сначала опишем качественно получающиеся результаты, а затем перейдем к количественному расчету.
На рис. 122 АВ и А'В'— звуковые линии, так что слева от них (вверх по течению) лежит целиком дозвуковая область; стрелкой В В изображено направление натекающего потока (которое мы ниже выбираем в качестве оси х с началом где-либо в районе тела). На некотором расстоянии от линии перехода возникают «исходящие» от тела ударные волны (ЕГ и Е'Г на рис. 122). Оказывается, что все исходящие от тела характеристики (в области между линией перехода и ударной волной) можно разделить на две группы. Характеристики первой группы достигают звуковой линии, оканчиваясь на ней (или, иначе говоря, отражаясь от нее в виде характеристики, приходящей к телу; на п! рис.
122 изображена одна из таких характеристик). Характеристики же вто- Рис. 122 рой группы оканчиваются на ударной волне. Обе эти группы разделены предельнылпл характеристихалщ — единственными, уходящими на бесконечность и никогда не достигающими ни звуковой линии, ни ударной волны (С0 и С'0' на рис.
122). Поскольку возмущения (связанные, например, с изменением контура обтекаемого тела), распространяющиеся от тела по характеристикам первой группы, достигают границы дозвуковой области, то ясно, что часть сверхзвукового потока, лежащая между линией перехода и предельной характеристикой, влияет на дозвуковую область; весь же поток в области справа от предельных характеристик никакого влияния на ноток слева не оказывает: течение слева никак не изменится прн возмущении потока справа (в том числе при изменении профиля тела справа от точек С, С'). Течение позади ударной волны, как мы знаем, никак пе влияет на течение перед ней.
Таким образом, весь поток можно разделить на три части (слева от 0СС'0' между 0СС'0' и ЕЕЕ'Р, справа от РЕЕ'Р'), причем течение во второй никак не влияет на течение в первой, а течение в третьей — на течение во второй. Перейдем теперь к количественному расчету описанной картины (являющемуся в то же время ее проверкой). 1гл. хн ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ТАЗА Начало координат в плоскости годографа (6 =З1=0) соответствует бесконечно удал иной области в физической плоскости, а выходящие из начала координат годографические характеристики соответствуют предельным характеристикам СА1 и СО'.
На рис. 123 изображена окрестность начала координат, причем буквы соответствуют обозначениям на рис. 122. Ударная волна изображается в плоскости годографа не одной линией, а двумя (со- ответствующими движению газа по ~в обеим сторонам разрыва), причем и области между ними (заштрихованной на рис. 123) не соответствуют никакой области в физической плоскости. Прежде всего необходимо выяснить, какой из общих интегралов ФА соответствует данному случаю обг' текания. Если Ф(й,т!) имеет поря- док однородности й, то функции В' х=дФ/дт! и у=дФ/дй будут одно- родными — соответственно порядков Рес.
123 й — 1/3 и й — 1/2. При стремлении 0 и т! к нулю мы должны, вообще говоря, попасть иа бесконечность в физической плоскости, т. е, л и у должны стремиться к бесконечности. Очевидно, что для этого должно быть л ( 1/3. С другой стороны, предельные характеристики в физической плоскости не должны лежать целиком на бесконечности, т. е. не должно быть у = ~со по всей линии 90'=4цз. Для этого (при 2й+1/6(5/6) второй член в квадратных скобках в выражении (118,6) должен вообще отсутствовать.
Таким образом, функция Ф(й,з1) должна изображаться первым членом выражения (118,6): Ф=А0 Р( — и, — л+ —, — 2й+ —; ! — —,). (!20,1) ЕА Г 1 Функция у(О,З1) (тоже удовлетворяющая уравнению Эйлера— Трикоми) будет иметь такой же внд с л — '/А вместо 1с. Но если выражение (120,1) имеет место, например, вблизи верхней характеристики (8=+А/зт1зт'), то при произвольном й ( '/з оно отнюдь не будет иметь место также и вблизи второй характеристики (9 = — '/зз!'М). Поэтому мы должны потребовать также, чтобы вид (120,1) функции Ф(6, т1) оставался таким же при обходе вокруг начала координат в плоскости годографа от одной характеристики к другой, причем обход должен происходить через полуплоскость т! ( 0 (путь А'В' на рис.
119). Такой обход соответствует в физичсской плоскости переходу от удаленных точек одной из предельных характеристик к удален- взт ОВТЕКАНИЕ СО ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ $1ВВ ным точкам другой предельной характеристики, причем путь перехода проходит через дозвуковую область и потому нигде не пересекает ударную волну, нарушающую непрерывность течения. Преобразование гнпергеометрической функции в (120,1) прн таком переходе дается первой из формул (118,!3), н мы должны потребовать обращения в нуль коэффициента перед г, в этой формуле. Это условие выполняется при следующих значениях я ( /з.' 6 2' я=О, 1~ 2~ Из всех этих значений должно быть окончательно выбрано лишь одно: й= — —.
1 з' (120,2) Можно показать, что все значения й с и ) ! приводят к неоднозначному отображению плоскости годографа на физическую плоскость (при однократном обходе первой вторая обходится несколько раз), т. е. к неоднозначности физического течения, что, разумеется, нелепо. Значение же й='/4 дает решение,в котором не по всем направлениям в физической плоскости стремление 9 и т) к нулю означает уход на бесконечность; ясно, что такое решение тоже физически непригодно.
При й= — '/з коэффициент при г1 в правой стороне формулы (118,13) равен +1, т. е. при обходе от одной характеристики к другой функция Ф вообще не меняется. Это значит, ,что Ф есть четная функция 9, а координата у =дФ/дй — соответственно нечетная функция. Физически это означает, что в рассматриваемом вами первом приближении картина течения на больших расстояниях От тела оказывается симметричной относительно плоскости у = О независимо от формы тела, в частности от наличия или отсутствия подъемной силы. Таким образом, мы выяснили характер особенности, которую имеет Ф(ть0) в точке т! = 0= 0.
Уже непосредственно отсюда можно сделать заключение о форме звуковой линии, предельных характеристик и ударной волны на больших расстояниях от тела. Каждая из этих линий должна соответствовать определенному значению отношения 04/т!В, и поскольку Ф имеет вид Ф = 0-м'!(т!'/04), то с помощью формул (118,4) мы найдем, что я~ О-мз, уОР 0-4/з. Поэтому форма перечисленных линий определяется уравнениями вида х = сопз! ° 84В (120,3) со своим значением сопз! для каждой из них. Вдоль этих плОскОе течение сжимхемоГО ГАЭА 1Гл.
хп 628 линий 0 и т) падают по законам: Оооу-з7з 7) оо у-з76 (120,4) (Ф. И. Франкль, 1947; К. 47744!ег1еу, 1948)'). Мы будем для определенности писать формулы со знаками, соответствующими верхней полуплоскости (у ) 0). Покажем, как могут быть вычислены коэффициенты в этих формулах. Значение й = — '/з есть одно из тех, при которых Ф, сводится к алгебраическим функциям (см. предыдущий па- раграф). Тот частный интеграл, который в данном случае Опреа, д) деляет Ф, может быть написан в виде Ф= — —, где а!— 2 да' произвольная положительная постоянная, а / есть тот корень кубического уравнения )з — Зп)+ 80=0, (120,5) который при 90' — 47)з ~ О совпадает с единственным вещественным корнем, Отсюда 2 д8 20Π— т!) ' (120,б) а также для координат дФ а, !14+ Пт дФ а~) х= — = ' ',, у= — = —,, (!20,7) дп 2! - — Ч)' ' да 117 — Ч)' Эти формулы можно представить в удобном параметрическом виде, введя в качестве параметра величину з = /з/()з — т)); тогда х 26 — 1 ! 375 ппз .
7)уз76 О77зз176 (з 1) Оут 476(8 2З) у 475 1 26776 ' ! (120,8) чем определяется в параметрическом виде зависимость 7) н 0 от координат. Параметр з пробегает положительные значения, начиная от нуля (з = 0 соответствует х = — оо, т. е. натекающему с бесконечности потоку). В частности, значение л= '/з соответствует х = О, т. е. дает распределение скоростей при больших у ') Упомянем, что аналогичные результаты оказывается возможным получить и лля осесимметрнчного обтекания (с М = !), В пилинлрвчсскнх корлинатах х, г форма звуковой поверхности, прелель. ной характеристики и уларной волны, и законы изменения скорости на ннх лаются (впали от тела) формулами х=сопзт г7, охсог, вгсог 4 7 — 6Р См. Гудерле41 К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
