Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Но из термоднаамнческого тождества дга = Тг(э+с(р/р следует, что производная (др/дз) — рТ ( О, т.е. увеличение энтропии при постоянном ю уменьшает давление, чем и до. называется сделанное утверждение, М! ) 1 давление (122,2) всегда превышает истинное давление, даваемое формулой (122,1)'). В предельном случае очень больших скоростей (М! > 1) формула (122,!) дает ОБРАЗОВАНИЕ УДАРИЪ|Х ВОЛН % 1»з1 стает скачком во второй ударной волне.
Интенсивность передней ударной волны падает с увеличением расстояния г от ОСИ Х КаК Г-»14, а раССтОяНИЕ МЕжду ОбЕИМИ ВОЛНаМИ ВОЗраСтаЕт как г1Ы 1) Проследим за появлением и развитием ударных волн прн постепенном увеличении числа Маха Мь Сверхзвуковая область в газовом потоке появляется впервые при некотором значении М1 ( 1 в виде области, прилегающей к поверхности обтекаемого тела. В этой области появляется по крайней мере одна ударная волна — обычно замыкающая сверхзвуковую область. По мере увеличения М, эта область расширяется, а вместе с ней удлиняется и ударная волна, существование которой при М1 = 1 было доказано (для плоского случая) в й 120; тем самым была доказана необходимость первого появления ударной волны уже при М1 ( 1.
Как только М, начинает превышать единицу, появляется еще одна ударная волна — головная волна, пересекающая весь бесконечно широкий натекающий поток газа. При Мь в точности равном единице, все течение впереди тела является дозвуковым. Поэтому при М1~ 1, но сколь угодно близком к единице, сверхзвуковая часть натекающего потока, а с нею и головная ударная волна находятся сколь угодно далеко впереди тела.
По мере дальнейшего увеличения М1 головная волна постепенно приближается к телу. Ударная волна в местной сверхзвуковой зоне должна какимто образом пересекаться со звуковой линией (мы будем говорить о плоском случае). Вопрос о характере такого пересечения нельзя считать выясненным. Если ударная волна заканчивается в точке пересечения, то в самой этой точке ее интенсивность обращается в ноль, а во всей плоскости вблизи точки пересечения движение околозвуковое.
Картина течения в таком случае долж' на описываться соответствующим решением уравнения Эйлера— Трикоми. Помимо общих условий однозначности ре1пения в физической плоскости и граничных условий на ударной волне, должны выполняться еще и следующие условия: !) если по обе стороны от ударной волны движение сверхзвуковое (так будет, если в точке пересечения кончается только ударная волна, «упираясь» в звуковую линию), то ударная волна должна быть «приходящей» по отношению к точке пересечения, 2) «приходящие» к точке пересечения характеристические линии В сверхзвуковой области не должны нести на себе никаких особенностей течения (особенности могли бы возникнуть лишь в результате самого пересечения и, таким образом, должны были бы уноситься от точки пересечения). Существование решения уравнения Эйлера— ') Длн ударных волн, возникаюших при осесимметричном обтекании топких заостренных тел могут быть определены также н количественные коэффипиеиты и этих законах — см.
примечание иа стр. 644. Овтеклние кОнечных тел 1гл, х!н Трикоми, удовлетворяющего всем этим требованиям, по-види. мому, еще ие доказано'). Другая возможность для конфигурации ударной волны и звуковой линии в местной сверхзвуковой зоне состоит в окончании в точке пересечения одной лишь звуковой линии (рис, !28,б); в этой точке интенсивность ударной волны отнюдь не обращается в нуль, так что течение вблири нее является околозвуковым лишь по одну сторону от ударной волны. Сама ударная волна может при этом одним концом «упираться» в твердую поверхность, а другим (или обоими) начинаться непосредственно в сверхзвуковом потоке (ср.
конец Э 115). 5 123. Сверхзвуковое обтекание заостренного тела Форма, которой должно обладать тело для того, чтобы прн сверхзвуковом движении быть хорошо обтекаемым, т. е. испытывать по взможности малую силу сопротивления, существенно отличается от соответствующей формы для дозвукового движения. Напомним, что в дозвуковом случае хорошо обтекаемыми являются продолговатые тела, закругленные спереди и заостренные сзади.
При сверхзвуковом же обтекании такого тела перед ним появилась бы сильная ударная волна, что привело бы к сильному возрастанию сопротивления. Поэтому в сверхзвуковом случае хорошо обтекаемое удлиненное тело должно иметь заострен- йпщыаг лйнпя у/Гарная вплйп — — — упдплмермм пня ') гг. Жермен нашел несколько ткпов решеяяй уравнения Эйлера — Трнкомк, которые могли бы изображать пересечеяяе ударной волны со звуковой линией, яо пх ксслсдовакке ке было по существу завершено. Некоторые кз этях ткпов пе удовлетвоу ряют поставленному выше условкю (1). На ряс. 128,п язображеп случай, который мог бы отвечать точке окончакка ударной волны, замыкающей местную сверхзвуковую область: в точке пересечения ударная волка к рпедлеп депп звуковая линия обе закан- йал. пщ' чкваются я ямеют общую с / касательную, будучк расположевы по разные стороны / от кее (газ дакжется слева / / направо).
Выполнение услса) в/ вня (2), однако, ке прове- рено. Для показателя й реРкс. 128 шеяяя указан лкшь ввтервал, в котором оя мог бы яаходяться (3/4((п(! 1112), но ке проаереяо, может ля прк этом быть удовлетворено условяс кепрерывности коордякат кв ударной волне в физической плоскости. См, 0е/шо!п Р. Всоп!ешепм 1гапззопщпез Ьошояепев. В кял Ргоягеаз !и Аегопащ(са! Бс!епсез. — Регйашоп Ргезз, 1961, т. 5. $123! СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ЗАОСТРБННОГО ТЕЛА 64з ным не только задний, но н передний конец, причем угол заострения должен быть малым; если ось тела наклонена к направлению движения, то угол наклона (угол атаки) тоже должен быть малым. При стационарном сверхзвуковом обтекании тела такой формы скорость газа даже вблизи тела будет везде лишь незначительно отличаться по величине и направлению от скорости натекающего потока, а образующиеся ударные волны будут обладать малой интенсивностью (интенсивность головной волны убывает вместе с уменьшением раствора обтекаемого угла).
Вдали от тела движение газа будет представлять собой расходящиеся звуковые волны. Основную часть сопротивления газа можно представлять себе как обусловленную переходом кинетическои энергии движущегося тела в энергию излучаемых им звуковых волн. Это сопротивление, специфическое для сверхзвукового движения, называют волновым '); оно может быть вычислено в общем виде при любой форме сечения тела (т)г. даггпагг, Ф.
В. Мооге, 1932). Описанный характер течения делает возможным применение линеаризованного уравнения для потенциала (114,4): дт12 дтч1 2 дтч + — ря =О дуг дз' дх' (123,1) где для краткости введена положительная постоянная 2 р = — — 1 о1 с, (123,2) ') Полная сила сопротивления получается прибавлением и волновому сопротивлению сил, связанных с трением н с отрывом у заднего «онца тела. (ось х направлена по направлению движения, индекс 1 отличает величины, относящиеся к натекающему потоку); 1/(1 есть ие что иное, как тангенс угла Маха.
Уравнение (123,1) формально совпадает с двухмерным волновым уравнением, причем х/О1 играет роль времени, а О1/р— роль скорости распространения волн. Это обстоятельство не случайно и имеет глубокий физический смысл, так как движение газа вдали от тела представляет собой, как уже указано, именно излучаемые телом расходящиеся звуковые волны. Если представить себе газ на бесконечности покоящимся, а тело движущимся, то площадь поперечного сечения тела в заданном месте пространства будет меняться со временем, причем расстояние, до которого к моменту г распространятся возмущения (т. е.
расстояние до конуса Маха), будет расти как О12/р; таким образом, мы будем иметь дело с «двухмерным» излучением звука (распространяющегося со скоростью о1/()) пульсирующим контуром. Оитеклние кОнечных тел (гл, хпг Руководствуясь этой «звуковой аналогией», можно сразу же написать искомое выражение для потенциала скорости газа, воспользовавшись выражением (74,)б) для потенциала излучаемых пульсирующим источником цилиндрических звуковых волн (на расстояниях, больших по сравнению с размерами источника), заменив в последнем с( на х/(). Пусть 5(х) — площадь сечения тела плоскостями, перпендикулярными к направлению обтекания (оси х), а длина тела в этом направлении пусть будет (; начало координат выберем в переднем конце тела.
Тогда будем иметьн .-р гр(х, ») = —— В' (в) Нв 2п 3 «7(л — Е) — Рз»з ' в качестве нижнего предела написан нуль, так как при х - О (как и при х ) () надо положить тождественно 5(х) = — О. Таким образом, мы полностью определили движение газа на расстояниях » от оси, больших по сравнению с толщиной тела '). Исходящие от тела возмущения в сверхзвуковом потоке распространяются, разумеется, только в область позади конуса х— — (!»=О с вершиной в переднем конце тела; перед этим конусом имеем просто ср = О (однородный поток). Между конусами х — р» = О и х — ()» = 7 потенциал определяется формулой (!23,3); позади же конуса х — ))» = 7 (с вершиной в заднем конце тела) в этой формуле верхний предел заменяется постоянной величиной (. Оба указанных конуса представляют собой в рассматриваемом приближении слабые разрывы; в действительности это — ударные волны слабой интенсивности.
Действующая на тело сила сопротивления есть не что иное, как уносимая звуковыми волнами в единицу времени х-компонента импульса. Выберем в качестве контрольной поверхности цилиндрическую поверхность достаточно большого радиуса г с осью вдоль оси х. Плотность потока х-компоненты импульса через эту поверхность есть П„,=рп,(о„+ п) ж р! — 1 и!+ — ). д~р» дух ') Для осесимметрнчиого обтекаиня тела вращения формула (123,3) справедлива для всех вообще г вплоть до самой поверхности тела. Из нее можно, в частности, получить снова формулу (113,б) для обтекания тонкого конуса. С другой стороны, рассмотрев это полученное в лняейном пряближенин решение вдали от обтекаемого тела, можно ввестя в пего эффект нелинейного искажения профиля подобно тому, как зто было сделано и $102 для цялиядрической звуковой волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
