Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 131
Текст из файла (страница 131)
с . с 'осей х и г), перепишем это равенство в виде к С к / м2 (124,10) Для крыльев достаточно большого размаха (с постоянным вдоль размаха профилем сечения) коэффициент подъемной силы в несжимаемой жидкости пропорционален углу атаки и не зависит от длины и ширины крыла: Ск = сопз! а, (124,! 1) где сопз( зависит только от формы профиля сечения (см. 9 46). В этом случае можно поэтому написать вместо (124,10) С(01 ,('7: м', (124,!2) с к к р ! — М" (124,! 3) где С„и С'„~ — коэффициенты подъемной силы одного и того же крыла соответственно в потоках сжимаемого и несжимаемого газа.
Таким образом, мы получим такое правило: подъемная сила, действующая на длинное крыло в потоке сжимаемого газа, в (1 — Мр) ' раз болыпе подъемной силы, действующей на такое же крыло (при том же, в частности, угле атаки) в потоке несжимаемого газа (1.. РгапЩ 1922; О. С!аиегй !928). Аналогичные соотношения можно получить и для силы сопротивления. Наряду с формулой Жуковского для подъемной силы полностью переносится в теорию сжимаемой жидкости также и формула (47,4) для индуктивного сопротивления крыла.
Произведя в ней те же преобразования (124,3) и (!24,8), получим: з 1251 сввехзвтковов овтвкхнив киылл где г„— сопротивление крыла С' в несжимаемой жидкости. При увеличении длины размаха индуктивное сопротивление стремится к постоянному пределу ($47). Поэтому для достаточно длинных крыльев можно заменить г, на г„(сопротивление в не<о> сжимаемой жидкости того же крыла С, к которому относится Р,). Тогда для коэффициента сопротивления имеем: сзз =1-М, (124,14) Сравнив с (124,12), мы видим, что при переходе от несжимаемой жидкости к сжимаемой остается неизменным отношение С'„/С..
Все изложенные здесь результаты, разумеется, неприменимы при слишком близких к единице значениях Мь когда вообще становится неприменимой линеаризованная теория. д'ф з д'ч — — 5з —, = 0 ду' дх' (125,1) с граничным условием дФ ~ Р оЛк ду ~у+~о (125,2) (зиаки ~ в правой стороне равенства имеют место соответственно для верхней и нижней поверхностей крыла). Уравнение (125,1) есть уравнение типа одномерного волнового уравнения, и его общее решение имеет вид ~р=~,(х — йу)+ ~,(х+ бу). Тот факт, что влияющие на движение жидкости возмущения исходят от тела, означает, что в пространстве над крылом (у ) О) должно быть 7з — = О, так что <р =)1(х — ру), а в пространстве под крылом (у ( О): ч~ = )з(х+ йу). Будем для определенности й 125.
Сверхзвуковое обтекание крыла Для того чтобы быть хорошо обтекаемым в сверхзвуковом потоке, крыло должно иметь заостренными как заднюю, так и переднюю кромки, подобно тому как должны быть заострены тонкие тела, рассматривавшиеся в $123. Здесь мы ограничимся изучением обтекания тонкого крыла с очень большим размахом, с постоянным вдоль размаха профилем сечения. Рассматривая длину размаха как бесконечную, мы будем иметь дело с плоским (в плоскости х, у) течением газа. Вместо уравнения (123,1) будем иметь теперь для потенциала уравнение ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ 1гл. хп1 рассматривать пространство над крылом, где ф =1(» — М). Функцию 1 определим из граничного условия (125,2), написав в нем и, = — ь',(х), где у = ьз(х) есть уравнение верхней части линии профиля крыла (рис.
129,а). Имеем: — = — 91 (х) = п1ьт (х), 1 (х) = — — ьт (х). Таким образом, распределение скоростей определяется (при у ) О) потенциалом сР (х~ Д) р ьз (х РД)' Аналогично при у ( 0 мы получили бы ф= — "~ (Х+ РВ). р где у =ь1(х) — уравнение нижней части профиля. Отметим, что потенциал, а с ним и остальные величины постоянны вдоль прямых х~ру=сопз(. (характеристик) в соответствии с резуль.
татами 9 115, частным случаем которых является и полученное здесь решение. А Сз1л) 1х Рис. 129 Качественно картина течения выглядит следующим образом. От задней и передней заостренных кромок отходят слабые разрывы (аАа' и ЬВЬ' на рис. 129,б)'). В пространстве впереди разрыва аАа' и позади ЬВЬ' поток однороден, а в области между ними поток поворачивает, огибая поверхность крыла; это есть ') Это справедливо лпшь в принятом здесь приближении.
В действительности ато — не слабые разрывы, а ударные полны слабой интенсивности или узкие центрнрованные волны разрежения, смотря по тому, в пакую сторону поворачивает в них направление скорости. Так, для изображенного иа рнс. 129,6 профиля Аа и ВЬ' будут волнами разрежения, а Аи' и ВЬ вЂ” ударными волнами.
Линия же тока, исходящая от задней кромки (точка В на рис. 129,б), представляет собой в действительности таигеициальный разрыв скорости (фвктичесли размывающийся в топкий турбулентный след). $1221 СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА (в общей формуле (114,5) членом с О2 можно в данном случае пренебречь, так как О, и Ор — одинакового порядка величины).
Подставив сюда (125,3) и вводя так называемый коэффициент давления С,, получим в верхней полуплоскости Ср — — 2 = — ь2(х — ()Д). р — р| 2 92Р1Р$ Р В частности, коэффициент давления, действующего на верхнюю поверхность крыла, есть 2 Ср, — — — ь2 (х). (125,4) Аналогично найдем для нижней поверхности 2 С 1= — — ~~ (л). Р р (125,5) Отметим, что давление в каждой точке профиля сечения крыла оказывается зависящим только от наклона его контура в этой же точке.
Поскольку угол наклона линии контура профиля к оси х везде мал, то вертикальная проекция сил давления равна с достаточной точностью самому давлению. Результирующая действующая на крыло подъемная сила равна разности сил давления, действующих на ее нижнюю и верхнюю поверхности. Поэтому коэффициент подъемной силы 2р 1 Г 41„ Ср ~ 1 (Ср2 Срт) 4(х 0 (определение длин 1, 12 см.
рис. 129, а). Определим угол атаки а как угол наклона к оси х хорды АВ, проведенной через вершины острых кромок (рис. 129,а): а ж 12/1,; тогда получим окончательно простую формулу: С„= 4а .т/И2 — 1 (125,6) (А Асйеге(, 1925). Мы видим, что подъемная сила определяется одним только углом атаки и не зависит от формы сечения кры- простая волна, причем в рассматриваемом линсаризованном приближении все характеристики в ней имеют одинаковый наклон, равный углу Маха натекающего потока. Распределение давления получается по формуле д~р Р Р~= РЛ~ д„ 654 овтвклннв коначных тнл ~гл, хпг ла в отличие от того, что имеет место при дозвуковом обтекании (см. $48, формулу (48,7)).
Определим, далее, действующую на крыло силу сопротивления (это есть волновое сопротивление, имеющее такую же природу, как и волновое сопротивление тонких тел; см. $ 123). Для этого надо спроектировать силы давления на направление оси х и проинтегрировать эту проекцию по всему контуру профиля. Для коэффициента силы сопротивления получим тогда: гх С,= — ~ (г",', + ~',Я)дх. (125,7) о Введем углы наклона 0~(х) н Оя(х) верхней и нижней частей контура к его хорде АВ; тогда ь',=О, — а, ья'=Он — а.
Интегралы от О~ и О, обращаются, очевидно, в нуль, так что окончательно получим следующую формулу: 4а + 2 (6; + Вл) ~/М', — 1 (черта обозначает усреднение по х). При заданном угле атаки коэффициент сопротивления, очевидно, минимален для крыла, представляющего собой плоскую пластинку (так что О, = О, = = О). В этом случае С, = аСл. Если применить формулу (125,8) к шероховатой поверхности, то мы найдем, что шероховатость может привести к значительному увеличению сопротивления, даже если высота отдельных неровностей мала '). Действительно, сопротивление оказывается не зависящим от высоты отдельных неровностей, если не меняется средний наклон их поверхности, т.е.
среднее отношение высоты неровностей к расстоянию между ними. Наконец, сделаем еще следующее замечание. Здесь, как и везде, говоря о крыле, мы подразумеваем, что оно расположено своими кромками перпендикулярно к движению. Обобщение на случай любого угла у между направлением движения и кромкой (угол скольжения) вполне очевидно. Ясно, что силы, действующие на бесконечное крыло постоянного сечения, зависят только от нормальной к его кромкам составляющей скорости натекающего потока; в невязкой жидкости составляющая скорости, параллельная кромкам, не вызывает никаких сил. Поэтому силы, действующие на крыло со скольжением в потоке с числом Мь— такие же, какие действовали бы на то же крыло без скольжения в потоке с числом Мь равным М, з1пу.
В частности, если М, ) 1, но М1гйп у ( 1, то специфическое для сверхзвукового обтекания волновое сопротивление будет отсутствовать. '1 Но нее же больше толщины погрнничного слоя. звв ОКОЛОЗВУКОВОЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ $ 12б] й 126. Околозвуковой закон подобия Развитая в 99 123 †1 теория сверх- и дозвуковых обтеканий тонких тел неприменима в случае околозвукового движения, когда становится несправедливым линеаризованное уравнение для потенциала. В этом случае картина течения во всем пространстве определяется нелинейным уравнением (114,10): д,р дгч дгв дг(р 2а„— —.
= — +— дх дхг ду' дх' (126,1) или, при плоском движении, эквивалентным ему уравнением йлера — Трикоми). Решение этих уравнений для конкретных случаев, однако, весьма затруднительно. Поэтому существенный интерес представляют правила подобия, которые можно установить для таких течений, не прибегая к их конкретному решению. Рассмотрим сначала плоское течение, и пусть у = ч (ки) (126,2) есть уравнение, определяющее форму обтекаемого тонкого контура, причем 1 есть его длина (в направлении обтекания), а 6 характеризует его толщину (6 «1), Изменением двух параметров 1 и 6 получим семейство подобных контуров.
Уравнение движения гласит: дгр дгф дггг 2а — — = — ~ дх дхг ду (126,3) со следующими граничными условиями. На бесконечности скорость равна скорости чг нсвозмущенного потока, т. е. дв дяг М,— 1 — =О, — =М, — 1 ду ' дх а (126,4) (126,5) ввиду тонкости профиля можно требовать выполнения этого условия при у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
